Electricité : Circuits électriques :

Exercice n° 1 :

Le réseau de la figure ci-dessus comprend :

Un générateur de f.e.m. `E` et de résistance interne `r`.
Un condensateur de capacité `C`.
Un emsemble de résistances extérieures et un intérupteur `K`.

On donne : `E=126\ V`, `r=2\ \Omega`, `R= 20\ \Omega` et `C=10\ \mu F`.

Partie 1 : L'intérupteur `K` est ouvert.

1- Calculer les intensités des courants `I_0`, `I_1`, `I_2` et `I_3` circulant dans les différentes branches.

Réponse

ccc

Appliquons:

la loi d'Ohm entre les bornes `A` et `B`: ##V_A-V_B=3RI_1=(R+2R)I_2=3RI_3\implies## ## I_1=I_2=I_3##

la loi des nœuds au nœud A : ##I_0=I_1+I_2+I_3\implies## ## I_1=I_2=I_3=\dfrac{I_0}3##

la loi des mailles à la maille I : ##E=rI_0+\dfrac{R}2I_0+\dfrac{R}2I_0+3RI_1\implies####E=rI_0+\dfrac{R}2I_0+\dfrac{R}2I_0+3R\dfrac{I_0}3\implies## ##E=(r+2R)I_0\implies####I_0=\dfrac{E}{r+2R}\implies####I_0=\dfrac{126}{2+2\times 20}\implies##

##I_0=3\ A## et ## I_1=I_2=I_3=1 \ A##

2- En dédduire la puissance électrique `P_e` dissipée par effet Joule dans la résistance `2R`.

Réponse

##P_e=2RI_2^2\implies####P_e=2\times20\times1^2\implies##

##P_e=40 \ W##

Partie 2 : A l'instant `t=0 \ s` , le condensateur est entièrement déchargé et l'interrupteur `K` fermé.

1-Après avoir simplifié le circuit électrique, établir l'équation différentielle qui régit la charge électrique `q(t)` du condensateur où `t` est le temps.

Réponse

Les deux résistances ##\dfrac{R}2## sont en série, on les remplace par une résistance équivalente égale à leur somme `R.` De même pour les deux résistances `2R` et `R`, on les remplace par une résistance équivalente égale à leur somme `3R.` Cette derniere résistance équivalente et les deux résistances `3R` sont en parallèle, on les remplace par une résistance équivalente égale à :

##\dfrac1{R_e}=\dfrac1{3R}+\dfrac1{R+2R}+\dfrac1{3R}\implies####R_e=R##

ccc

- Le courant électrique `i_C` traversant le condensateur est relié à `q` par : ##i_C=\dfrac{dq}{dt}##

- La tension `v_C` aux bornes de ce condensateur par ##v_C=\dfrac{q}{C}##.

- Loi des mailles appliquée à la maille II : ##v_C-Ri=0\implies####\dfrac{q}{C}-Ri=0\implies## ##i=\dfrac{q}{RC}##

- loi des nœuds appliquée au nœud `A` : ##i_0=i+i_C\implies## ##i_0=i+i_C\implies## ##i_0=\dfrac{q}{RC}+\dfrac{dq}{dt}##

- Loi des mailles appliquée à la maille I :##-E+rI_0+Ri_0+v_C\implies####\dfrac{q}{C}+(R+r)\left(\dfrac{q}{RC}+\dfrac{dq}{dt}\right)=E\implies## ##(R+r)\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{2R+r}{RC}q=E\implies## ##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{\dfrac{R+r}{2R+r}RC}=\dfrac{E}{R+r}\implies## ##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{\dfrac{20+2}{2\times20+2}\times20\times 10\times 10^{-6}}=\dfrac{126}{20+2}\implies##

##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{1,05\ \ 10^{-4} }=5,73##

2-a) Déterminer en fonction du temps `t`, l'expression de `q(t)`.

Réponse

La solution de cette équation différentielle est égale à la somme de 2 solutions, homogène et particulière:

##q(t)=q_h(t)+q_p(t)##

##\dfrac{dq_h}{dt}+\dfrac{q_h}{1,05\ \ 10^{-4} }=0\implies## ##\dfrac{dq_h}{q_h}=-\dfrac{dt}{1,05\ \ 10^{-4} }\implies## ##Ln\left(\dfrac{q_h}{A_1}\right)=-\dfrac{t}{1,05\ \ 10^{-4} }\implies## ##q_h(t)=A_1e^{-\dfrac{t}{1,05\ \ 10^{-4} }}##
La solution particulière est constante, ##q_p(t)=B_1##, puisque le second membre de l'équation différentielle, égal à `5,73\ ` , est constant :

##\dfrac{dq_p}{dt}+\dfrac{q_p}{1,05\ \ 10^{-4} }=5,73\implies## ##\dfrac{dB_1}{dt}+\dfrac{B_1}{1,05\ \ 10^{-4} }=5,73\implies## ##\dfrac{B_1}{1,05\ \ 10^{-4} }=5,73\implies## ##B_1=5,73\times1,05\ \ 10^{-4}\implies## ##B_1=6,02\ 10^{-4}\ C##

La solution générale : ##q(t)=A_1e^{-\dfrac{t}{1,05\ \ 10^{-4}}}+6,02\ 10^{-4}##

Pour déterminer la constante d'intégration ##A_1##, il suffit d'utilliser la condition initiale `q(0) =0 \ C` :

##A_1e^{-\dfrac{0}{1,05\ \ 10^{-4} }}+6,02\ 10^{-4}=0\implies## ##A_1=-6,02\ 10^{-4}\ C##

##q(t)=6,02\ 10^{-4}\left(1-e^{-\dfrac{t}{1,05\ \ 10^{-4} }}\right)##

b) Calculer la valeur de la charge finale `Q` du condensateur `C` ainsi que la valeur de la constante de temps `\tau` du circuit.

Réponse

La valeur de la charge finale `Q` du condensateur `C` est obtenu lorsque fait tendre `t` vers `+\infty` :

##Q=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}q(t)\implies## ##Q=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}\left(6,02\ 10^{-4}\left(1-e^{-\dfrac{t}{1,05\ \ 10^{-4} }}\right)\right)\implies##
##Q=6,02\ 10^{-4}\ C##

##\tau=1,05\ \ 10^{-4}\ s##

c) En déduire à l'instant `t=\tau`, la valeur de l'intensité, `i_c(\tau)`, traversant le condensateur `C`.
(On prendra la valeur du nombre de Neper `e=3`).

Réponse

##i_C(t)=\dfrac{dq}{dt}\implies## ##i_C(t)=\dfrac{d}{dt}\left(6,02\ 10^{-4}\left(1-e^{-\dfrac{t}{1,05\ \ 10^{-4} }}\right)\right)\implies## ##i_C(t)=\dfrac{6,02\ 10^{-4}}{1,05\ \ 10^{-4}}e^{-\dfrac{t}{1,05\ \ 10^{-4} }}\implies## ##i_C(t)=5,73\ e^{-\dfrac{t}{1,05\ \ 10^{-4} }}##

##i_C(1,05\ \ 10^{-4} )=5,73\ e^{-\dfrac{1,05\ \ 10^{-4} }{1,05\ \ 10^{-4} }}\implies## ##i_C(1,05\ \ 10^{-4} )=5,73\ e^{-1}\implies## ##i_C(1,05\ \ 10^{-4} )=\dfrac{5,73}{3}\implies##

##i_C(1,05\ \ 10^{-4} )=1,91\ A##