Electricité : Circuits électriques :

Exercice n° 2 :

ccc

On considère le circuit de la figure ci-dessus comportant un générateur de f.e.m. `E` et de résistance interne `r`, un récepteur de de f.c.e.m. `e` et de résistance interne `r^{\prime}`, un condensateur de capacité `C`, un emsemble de quatre résistances, `R_1`, `R_2`, `R_3` et `R_4`, et un interrupteur `K`.

On donne : `E=12\ V`, `e=6\ V`, `r=0,5\ \Omega`, `r^{\prime}=0,2\ \Omega`, `R_1=R_4= 1\ \Omega`, `R_2=R_3= 2\ \Omega` et `C=1\ \mu F`.

Partie I : L'intérupteur `K` est ouvert.

1- Calculer la résistance équivalente de l'ensemble des quatre résistances, `R_1`, `R_2`, `R_3` et `R_4`.

Réponse

ccc

Les deux résistances ##R_1## et `R_2` sont placées en série, on les remplace par une résistance équivalente égale à leur somme `R_1+R_2`. De même pour les deux résistances `R_3` et `R_4`, on les remplace par une résistance équivalente égale à leur somme `R_3+R_4`. Ces deux dernieres résistances équivalentes sont placées en parallèle, on les remplace par une résistance équivalente égale à :

##\dfrac1{R_{eq}}=\dfrac1{R_1+R_2}+\dfrac1{R_3+R_4}\implies## ##R_{eq}=\dfrac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}\implies## ##R_{eq}=\dfrac{(1+2)(2+1)}{1+2+2+1}\implies##

##R_e=1,5 \ \Omega##

2- Calculer l'intensité du courant débité par le générateur.

Réponse

ccc

Appliquons la loi des mailles à la maille I :

##E-rI_0-R_{eq}I_0-e-r^{\prime}I_0\implies## ##E-e=(r+R_{eq}+r^{\prime})I_0\implies## ##I_0=\dfrac{E-e}{r+R_{eq}+r^{\prime}}\implies## ##I_0=\dfrac{12-6}{0,5+1,5+0,2}\implies##

##I_0=2,73\ A##

3- Quelle est la puissance électrique fournie par le générateur et la puissance transformée par le récepteur, en déduire la puissance dissipée par efet Joule dans tout le circuit.

Réponse

- Puissance fournie par le générateur :

##P_E=EI_0\implies####P_E=12\times2,73\implies##

##P_E=32,8 \ W##

- Puissance transformée par le récepteur :

##P_e=eI_0\implies####P_E=6\times2,73\implies##

##P_E=16,4 \ W##

- Puissance dissipée par effet Joule dans tout le circuit :

Le circuit électrique comprend un générateur qui fournit une puissance `P_E`, un recepteur qui transforme une puissance `P_e` et diverses résistances qui dissipent une puissance `P_J` par efet Joule. Le bilan de puissance est :

##P_E=P_e+P_J\implies## ##P_J=P_E-P_e\implies## ##P_J=32,8-16,4\implies##

##P_J=16,4 \ W##

Partie 2 : A l'instant `t=0 \ s` , le condensateur est entièrement déchargé et l'interrupteur `K` fermé.

1-Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution de la charge électrique `q(t)` du condensateur en fonction du temps `t`.

Réponse

ccc

- Le courant électrique `i_1` traversant le condensateur est relié à `q` par : ##i_1=\dfrac{dq}{dt}##

- La tension `v_C` aux bornes de ce condensateur par ##v_C=\dfrac{q}{C}##.

- Loi des mailles appliquée à la maille II : ##v_C-R_{eq}i_2=0\implies####\dfrac{q}{C}-R_{eq}i_2=0\implies## ##i_2=\dfrac{q}{R_{eq}C}##

- loi des nœuds appliquée au nœud `A` : ##i_0=i_1+i_2\implies## ##i_0=\dfrac{q}{R_{eq}C}+\dfrac{dq}{dt}##

- Loi des mailles appliquée à la maille I :

##E-ri_0-v_C-e-r^{\prime}i_0=0\implies## ##v_C+(r+r^{\prime})i_0=E-e\implies## ##\dfrac{q}{C}+(r+r^{\prime})\left(\dfrac{q}{R_{eq}C}+\dfrac{dq}{dt}\right)=E-e\implies## ##(r+r^{\prime})\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{r+r^{\prime}+R_{eq}}{R_{eq}C}q=E-e\implies## ##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{\dfrac{r+r^{\prime}}{r+r^{\prime}+R_{eq}}R_{eq}C}=\dfrac{E-e}{r+r^{\prime}}\implies## ##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{\dfrac{0,5+0,2}{0,5+0,2+1,5}\times1,5\times 10^{-6} }=\dfrac{12-6}{0,5+0,2}\implies##

##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{0,477\ \ 10^{-6} }=8,58##

2- En déduire l'expression de `q(t)` et celle du courant `i_0(t)` traversant le récepteur.

Réponse

La solution de cette équation différentielle est égale à la somme des 2 solutions, homogène et particulière:

##q(t)=q_h(t)+q_p(t)##

##\dfrac{dq_h}{dt}+\dfrac{q_h}{0,477\ \ 10^{-6} }=0\implies## ##\dfrac{dq_h}{q_h}=-\dfrac{dt}{0,477\ \ 10^{-6}}\implies## ##Ln\left(\dfrac{q_h}{A_1}\right)=-\dfrac{t}{0,477\ \ 10^{-6} }\implies## ##q_h(t)=A_1e^{-\dfrac{t}{0,477\ \ 10^{-6} }}##
La solution particulière est constante, ##q_p(t)=B_1##, puisque le second membre de l'équation différentielle, égal à `8,58\ ` , est constant :

##\dfrac{dq_p}{dt}+\dfrac{q_p}{0,477\ \ 10^{-6} }=8,58\implies## ##\dfrac{dB_1}{dt}+\dfrac{B_1}{0,477\ \ 10^{-6} }=8,58\implies## ##\dfrac{B_1}{0,477\ \ 10^{-6} }=8,58\implies## ##B_1=8,58\times0,477\ \ 10^{-6}\implies## ##B_1=4,09\ 10^{-6}\ C##

La solution générale : ##q(t)=A_1e^{-\dfrac{t}{0,477\ \ 10^{-6}}}+4,09\ 10^{-6}##

Pour déterminer la constante d'intégration ##A_1##, il suffit d'utilliser la condition initiale `q(0) =0 \ C` :

##A_1e^{-\dfrac{0}{0,477\ \ 10^{-6} }}+4,09\ 10^{-6}=0\implies## ##A_1=-4,09\ 10^{-6}\ C##

##q(t)=4,09\ 10^{-6}\left(1-e^{-\dfrac{t}{0,477\ \ 10^{-6} }}\right)##

3- Le condensateur s'est complétement chargé. Calculer sa charge finale `Q_f` et l'énergie électrostatique finale `W_f` emmagasinée dans ce condensateur.

Réponse

La valeur de la charge finale `Q_f` du condensateur `C` est obtenu lorsque fait tendre `t` vers `+\infty` :

##Q_f=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}q(t)\implies## ##Q_f=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}\left(4,09\ 10^{-6}\left(1-e^{-\dfrac{t}{0,477\ \ 10^{-6} }}\right)\right)\implies##
##Q_f=4,09\ 10^{-6}\ C##

L'énergie électrostatique finale emmagasinée dans ce condensateur est donnée par :

##W_f=\dfrac12\dfrac{Q_f^2}{C}\implies## ##W_f=\dfrac12\dfrac{(4,09\ 10^{-6})^2}{10^{-6}}\implies##
##W_f=8,4\ \ 10^{-6}\ J##

4- Calculer le temps `t_1` mis pour charger le condensaateur à `63%` de sa charge finale.

Réponse

##q(t_1)=0,63\ Q_f\implies## ##4,09\times 10^{-6}\left(1-e^{-\dfrac{t_1}{0,477\ \ 10^{-6} }}\right)=0,63\times 4,09\times 10^{-6}\implies## ##1-e^{-\dfrac{t_1}{0,477\times 10^{-6} }}=0,63\implies## ##e^{-\dfrac{t_1}{0,477\times 10^{-6} }}=0,36\implies## ##\dfrac{t_1}{0,477\times 10^{-6} }=-Ln(0,36)\implies## ##t_1=-0,477\times 10^{-6}\times Ln(0,36)\implies##

##t_1=4,87\ \ 10^{-7} s##

5- Quelle est l'énergie `W_{Gf}` fournie par le générateur pour charger le condensateur à `63%` de sa charge finale?

Réponse

##W_{Gf}=\displaystyle\int_0^{t_1}Eidt\implies## ##W_{Gf}=\displaystyle\int_0^{t_1}E\dfrac{dq}{dt}dt\implies## ##W_{Gf}=E\ \displaystyle\int_{q(0)}^{q(t_1)}dq\implies## ##W_{Gf}=E(q(t_1)-q(0))\implies## ##W_{Gf}=6\times(4,09\ 10^{-6}-0)\implies##

##W_{Gf}=2,45\ \ 10^{-6}\ J##