Electricité : Circuits électriques :
Exercice n° 3 :
On considère le circuit de la figure ci-dessus comportant un générateur de f.e.m. `E` et de résistance interne `r`,
un récepteur de de f.c.e.m. `e` et de résistance interne `r`, une résistance `R`, un condensateur de capacité `C`
initialement déchargé et un intérupteur `K`.
On prendra : `r=50\ \Omega`, `E=100\ V`, `e=50\ V`.
On prendra : `r=50\ \Omega`, `E=100\ V`, `e=50\ V`.
Partie I : L'intérupteur `K` est en position 1.
1- Déterminer les expressions des courants `I`, `I_1` et `I_2` circulant dans les différentes branches du circuit.
Réponse
Appliquons la loi des mailles :
maille I : ##-E+rI+RI_1=0\implies####rI=E-RI_1\implies####I=\dfrac{E-RI_1}{r}##
maille II : ##e+rI_2-RI_1=0\implies####rI_2=RI_1-e\implies####I_2=\dfrac{RI_1-e}{r}##
et la loi des nœuds :
nœud A: ##I=I_1+I_2\implies####\dfrac{E-RI_1}{r}=I_1+\dfrac{RI_1-e}{r}\implies####E+e=rI_1+2RI_1\implies##
##I_1=\dfrac{E+e}{r+2R}##
##I_2=\dfrac{RI_1-e}{r}\implies####I_2=\dfrac{R\dfrac{E+e}{r+2R}-e}{r}\implies## ##I_2=\dfrac{R\dfrac{E+e}{r+2R}-\dfrac{e}{r+2R}}{r}\implies## ##I_2=\dfrac{\dfrac{RE+Re}{r+2R}-\dfrac{re+2Re}{r+2R}}{r}\implies## ##I_2=\dfrac{RE+Re-re-2Re}{r(r+2R)}\implies##
##I_2=\dfrac{RE-(R+r)e}{r(r+2R)}##
##I=\dfrac{E-RI_1}{r}\implies####I=\dfrac{E-R\dfrac{E+e}{r+2R}}{r}\implies####I=\dfrac{\dfrac{rE+2RE-RE-Re}{r+2R}}{r}\implies##
##I=\dfrac{(r+R)E-Re}{r(r+2R)}##
2- Quelle condition doit-on imposer à `R` pour que le récepteur puisse fonctionner?
Réponse
Il faut que ##I_2>0\implies####\dfrac{RE-(R+r)e}{r(r+2R)}>0\implies####RE-(R+r)e>0\implies## ##R(E-e)-re>0\implies####R(E-e)>re##Comme `E>e` on a alors : ##R>\dfrac{e}{E-e}r\implies## ##R>\dfrac{50}{100-50}\times 50\implies##
##R>50 \ \Omega##
Partie 2 : A l'instant `t=0 \ s` (pris comme origine des temps) , l'interrupteur `K` est mis en position 2.
1-Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution de la charge électrique `q(t)` du condensateur au cours du temps `t`.
Réponse
- La tension `v_C` aux bornes de ce condensateur par ##v_C=\dfrac{q}{C}##.
- Loi des mailles appliquée à la maille II : ##v_C-Ri_1=0\implies####\dfrac{q}{C}-Ri_1=0\implies## ##i_1=\dfrac{q}{RC}##
- loi des nœuds appliquée au nœud `A` : ##i=i_1+i_C\implies## ##i=\dfrac{q}{RC}+\dfrac{dq}{dt}##
- Loi des mailles appliquée à la maille I :
##-E+ri+v_C=0\implies## ##v_C+ri=E\implies## ##\dfrac{q}{C}+r\left(\dfrac{q}{RC}+\dfrac{dq}{dt}\right)=E\implies## ##r\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{r+R}{RC}q=E\implies##
##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{\dfrac{rR}{r+R}C}=\dfrac{E}{r}##
2- En déduire l'expression de `q(t)` en précisant l'expression de la constante de temps.
Réponse
La constante de temps a pour expression :
##\tau_1={\dfrac{rR}{r+R}C}##
La solution de cette équation différentielle est égale à la somme des 2 solutions, homogène et particulière:
##q(t)=q_h(t)+q_p(t)##
- ##\dfrac{dq_h}{dt}+\dfrac{q_h}{\tau_1 }=0\implies##
##\dfrac{dq_h}{q_h}=-\dfrac{dt}{\tau_1}\implies##
##Ln\left(\dfrac{q_h}{A_1}\right)=-\dfrac{t}{\tau_1 }\implies##
##q_h(t)=A_1e^{-\dfrac{t}{\tau_1 }}##
- La solution particulière est constante, ##q_p(t)=B_1##, puisque le second membre de l'équation différentielle,
égal à ##\dfrac{E}{r}## , est constant :
##\dfrac{dq_p}{dt}+\dfrac{q_p}{\tau_1 }=\dfrac{E}{r}\implies## ##\dfrac{dB_1}{dt}+\dfrac{B_1}{\tau_1}=\dfrac{E}{r}\implies## ##B_1=\tau_1\dfrac{E}{r}##
Pour déterminer la constante d'intégration ##A_1##, il suffit d'utilliser la condition initiale `q(0) =0 \ C` :
##A_1e^{-\dfrac{0}{\tau_1 }}+\tau_1\dfrac{E}{r}=0\implies## ##A_1=-\tau_1\dfrac{E}{r}\implies####q(t)=\tau_1\dfrac{E}{r}\left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau_1}}\right)\implies## ##q(t)={\dfrac{Rr}{r+R}C}\dfrac{E}{r}\left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau_1}}\right)\implies##
##q(t)=\dfrac{R}{r+R}EC\left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau_1}}\right)##