Electricité : Circuits électriques :
Exercice n° 4 :
On considère le circuit de la figure ci-dessus, constitué de trois batteries réversibles de f.e.m. `E_1=E`,
`E_2=2E`, `E_3=3E` et de trois résistances `R_1=R`,`R_2=2R`,`R_3=3R`.
1- Ecrire les lois de Kirchoff en fonction de `E`, `R` et des courants de branches `I_1`, `I_2` et `I_3`.
Réponse
Appliquons la loi des mailles :
maille I : ##R_1I_1-E_1+E_2+R_2I_2=0\implies####R_1I_1+R_2I_2=E_1-E_2\implies##
##RI_1+2RI_2=-E##
maille II : ##-R_2I_2-E_2+E_3-R_3I_3=0\implies####R_2I_2+R_3I_3=E_3-E_2\implies##
##2RI_2+3RI_3=E##
et la loi des nœuds :
nœud A:
##I_2=I_1+I_3##
2- En déduire les expressions des courants `I_1`, `I_2` et `I_3`.
Réponse
##\begin{cases} RI_1+2RI_2=-E\\ \ \\ 2RI_2+3RI_3=E\\ \ \\ I_2=I_1+I_3 \end{cases} \implies ## ##\begin{cases} I_1=-\dfrac{E}{R}-2I_2\\ \ \\ I_3=\dfrac{E}{3R}-\dfrac23I_2\\ \ \\ I_2=I_1+I_3 \end{cases} \implies ## ##I_2=-\dfrac{E}{R}-2I_2+\dfrac{E}{3R}-\dfrac23I_2\implies## ##I_2+2I_2+\dfrac23I_2=-\dfrac{E}{R}+\dfrac{E}{3R}\implies##
##I_2=-\dfrac2{11}\dfrac{E}{R}##
##I_1=-\dfrac{E}{R}-2I_2\implies####I_1=-\dfrac{E}{R}+\dfrac4{11}\dfrac{E}{R}\implies##
##I_1=-\dfrac7{11}\dfrac{E}{R}##
##I_3=\dfrac{E}{3R}-\dfrac23I_2\implies####I_3=\dfrac{E}{3R}+\dfrac4{33}\dfrac{E}{R}\implies##
##I_3=\dfrac{5}{11}\dfrac{E}{R}##
3-Préciser le sens réel de chaque courant et l'état de fonctionnement de chaque batterie réversible.
Réponse
Les courants électriques `I_1` et `I_2` sont négatifs, leurs sens réels sont opposés à ceux imposés sur la figure du circuit électrique de l'énoncé.Par contre, le courant électrique `I_3` est positif, son sens réel est celui imposé sur la figure du circuit électrique de l'énoncé.
Par contre, les courants électriques `I_2` et `I_3` sortent des deux batteries réversibles `(E_2)` et `(E_3)` respectivement par les pôles positifs. Ces batteries réversibles `(E_2)` et `(E_3)` se comportent en générateur.
4- Calculer les intensités de ces courants de branches pour `E=2,2\ V` et `R=2\ \Omega`.
Réponse
On inverse les sens des deux courants `I_1` et `I_2`, leurs valeurs deviennent alors posiives.##I_1=\dfrac7{11}\dfrac{E}{R}\implies## ##I_1=\dfrac7{11}\times\dfrac{2,2}{2}\implies##
##I_1=0,7\ A##
##I_2=\dfrac2{11}\dfrac{E}{R}\implies####I_2=\dfrac2{11}\times\dfrac{2,2}{2}\implies##
##I_2=0,2\ A##
##I_3=\dfrac{5}{11}\dfrac{E}{R}\implies####I_3=\dfrac{5}{11}\times\dfrac{2,2}{2}\implies##
##I_3=0,5\ A##
5- Calculer les puissances fournie, emmagasinée et dissipée dans le circuit. Vérifier le bilan de puissance du circuit.
Réponse
Les deux batteries réversibles `(E_2)` et `(E_3)` se conportent en générateur, elles fournissent de la puissance au circuit.##P_f=E_2I_2+E_3I_3\implies####P_f=2\times 2,2\times0,2+3\times 2,2\times0,5\implies##
##P_f=4,18\ W##
Le batterie réversible `(E_1)` se conmporte en récepteur, elle emmagasine de la puissance.
##P_e=E_1I_1\implies####P_f= 2,2\times0,7\implies##
##P_e=1,54\ W##
Les trois résistances `R_1`,`R_2` et `R_3` dissipent de la puissance.
##P_d=R_1I_1^2+R_2I_2^2+R_3I_3^3\implies####P_d= 2\times0,7^2+2\times2\times0,2^2+3\times2\times0,5^2\implies##
##P_d=2,64\ W##
##P_e+P_d=1,54+2,64\implies####P_e+P_d=4,18\ W\implies##
##P_f=P_e+P_d##
Le bilan est vérifié.