Electricité : Circuits électriques :

Exercice n° 5 :

ccc

On considère le circuit de la figure ci-dessus, comportant deux batteries réversibles `B_1` de f.e.m. `E_1` et de résistance interne `r_1` et `B_2` de f.e.m. `E_2` et de résistance interne `r_2`, un condensaateur de capacité `C`, une résistance `R` et un interrupteur `K`.

1- A `t=0\ s`, le condensateur `C` est complétement déchargé et l'interrupteur `K` est mis en position 2.

a) Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution de la charge électrique `q_1(t)` du condensateur en fonction du temps `t`.

Réponse

ccc

- Le courant électrique `i_1` traversant le condensateur est relié à `q_1` par : ##i_1=\dfrac{dq_1}{dt}##

- La tension `v_C` aux bornes de ce condensateur par ##v_C=\dfrac{q}{C}##.

- Loi des mailles appliquée à la maille :

##r_1i_1+Ri_1+v_C-E_1=0\implies## ##\dfrac{q_1}{C}+(R+r_1)\dfrac{dq_1}{dt}=E_1\implies## ##\dfrac{dq_1}{dt}+\dfrac{q_1}{(R+r_1)C}=\dfrac{E_1}{(R+r_1)}##

##\dfrac{dq_1}{dt}+\dfrac{q_1}{\tau_a}=\dfrac{E_1}{(R+r_1)}## où `\tau_a=(R+r_1)C` est la constante de temps.

b) En déduire l'expression de `q_1(t)` et celle du courant circulant dans le circuit.

Réponse

La solution de cette équation différentielle est égale à la somme de 2 solutions, homogène et particulière:

##q(t)=q_h(t)+q_p(t)##

##\dfrac{dq_h}{dt}+\dfrac{q_h}{\tau_a }=0\implies## ##\dfrac{dq_h}{q_h}=-\dfrac{dt}{\tau_a}\implies## ##Ln\left(\dfrac{q_h}{A_1}\right)=-\dfrac{t}{\tau_a }\implies## ##q_h(t)=A_1e^{-\dfrac{t}{\tau_a }}##
La solution particulière est constante, ##q_p(t)=B_1##, puisque le second membre de l'équation différentielle, égal à ##\dfrac{E_1}{R+r_1}## , est constant :

##\dfrac{dq_p}{dt}+\dfrac{q_p}{\tau_a }=\dfrac{E_1}{R+r_1}\implies## ##\dfrac{dB_1}{dt}+\dfrac{B_1}{\tau_a}=\dfrac{E_1}{R+r_1}\implies## ##B_1=\tau_a\dfrac{E_1}{R+r_1}##

La solution générale : ##q_1(t)=A_1e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}+\tau_a\dfrac{E_1}{R+r_1}##

Pour déterminer la constante d'intégration ##A_1##, il suffit d'utilliser la condition initiale `q_1(0) =0 \ C` :

##A_1e^{-\dfrac{0}{\tau_a }}+\tau_a\dfrac{E_1}{R+r_1}=0\implies## ##A_1=-\tau_a\dfrac{E_1}{R+r_1}\implies####q_1(t)=\tau_a\dfrac{E_1}{R+r_1}\left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}\right)\implies##

##q_1(t)=(R+r_1)C\dfrac{E_1}{R+r_1}\left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}\right)\implies##

##q_1(t)=CE_1\left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}\right)##

Le courant électrique du circuit `i_1` est :

##i_1=\dfrac{dq_1}{dt}\implies####i_1=-\dfrac1{\tau_a}CE_1\left(-e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}\right)\implies## ##i_1=\dfrac1{(R+r_1)C}CE_1e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}\implies##

##i_1=\dfrac{E_1}{R+r_1}e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}##

c) Quelle est l'expression de la charge finale `Q_1` du condensateur.

Réponse

La valeur de la charge finale `Q_1` du condensateur `C` est obtenue en faisant tendre `t` vers `+\infty` :

##Q_1=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}q(t)\implies## ##Q_1=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}\left(CE_1\left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}\right)\right)\implies## ##Q_1=CE_1(1-0)\implies##

##Q_1=CE_1##

d) Au bout de combien de temps le condensateur est-il chargé à `99,9%`.

Réponse

##q(t_1)=0,999CE_1\implies## ##CE_1\left(1-e^{-\dfrac{t_1}{\tau_a}}\right)=0,999CE_1\implies## ##e^{-\dfrac{t_1}{\tau_a}}=0,001\implies####t_1=Ln(0,001)^{-1}\tau_a\implies##

##t_1=6,91\tau_a##

2- Le condensateur étant entièrement chargé. A `t=0\ s` (nouvelle origine des temps), l'interrupteur est mis en position 3.

Dans les deux cas : `E_1\gt E_2` et `E_1\lt E_2`, répondre aux questions suivantes :

a) Quelle est le comportement électrique de la batterie `B_2`.

Réponse

ccc

Cas où ##E_1>E_2 :##

Au moment où l'interrupteur est mis en position 2 , la tension du condensateur `v_C` , égale à `E_1`, est supérieure à `E_2`, tension de la batterie `B_2`. Ainsi, le condensateur se décharge à travers la batterie `B_2` jusqu'à ce que la tension `v_C` devienne égale à `E_2`. Pendant cette décharge, la batterie emmagasine de l'énergie sous forme chimiqe et se comporte en récepteur.
Cas où ##E_1< E_2## :

Au moment où l'interrupteur est mis en position 2, la tension du condensateur `v_C`, égale à `E_1`, est inférieure à `E_2`, tension de la batterie `B_2`. Ainsi, le condensateur se charge à travers la batterie `B_2` jusqu'à ce que la tension `v_C` devienne égale à `E_2`. Pendant cette charge, la batterie fournit de l'énergie et se comporte en générateur.

b) Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution de la charge électrique `q_2(t)` du condensateur en fonction du temps `t`.

Réponse

Choisissons le même sens pour le courant `i_2` dans les deux cas, sans se soucier de l'ètat de la batterie `B_2`. Dans le cas ##E_1< E_2,## `i_2` est positif et dans le cas ##E_1> E_2,## `i_2` est négatif.

ccc

- Le courant électrique `i_2` traversant le condensateur est relié à `q_2` par : ##i_2=\dfrac{dq_2}{dt}##

- La tension `v_C` aux bornes de ce condensateur par ##v_C=\dfrac{q}{C}##.

- Loi des mailles appliquée à la maille :

##r_2i_2+Ri_2+v_C-E_2=0\implies## ##\dfrac{q_2}{C}+(R+r_2)\dfrac{dq_2}{dt}=E_2\implies## ##\dfrac{dq_2}{dt}+\dfrac{q_2}{(R+r_2)C}=\dfrac{E_2}{(R+r_2)}##

##\dfrac{dq_2}{dt}+\dfrac{q_2}{\tau_b}=\dfrac{E_2}{(R+r_2)}## où `\tau_b=(R+r_2)C` est la constante de temps.

c) En déduire l'expression de `q_2(t)` et celle du courant circulant dans le circuit.

Réponse

La solution de cette équation différentielle est égale à la somme de 2 solutions, homogène et particulière :

##q(t)=q_h(t)+q_p(t)##

##\dfrac{dq_h}{dt}+\dfrac{q_h}{\tau_b }=0\implies## ##\dfrac{dq_h}{q_h}=-\dfrac{dt}{\tau_b}\implies## ##Ln\left(\dfrac{q_h}{A_2}\right)=-\dfrac{t}{\tau_b }\implies## ##q_h(t)=A_2e^{-\dfrac{t}{\tau_b }}##
La solution particulière est constante, ##q_p(t)=B_2##, puisque le second membre de l'équation différentielle, égal à ##\dfrac{E_2}{R+r_2}## , est constant :

##\dfrac{dq_p}{dt}+\dfrac{q_p}{\tau_b }=\dfrac{E_2}{R+r_2}\implies## ##\dfrac{dB_2}{dt}+\dfrac{B_2}{\tau_b}=\dfrac{E_2}{R+r_2}\implies## ##B_2=-\tau_b\dfrac{E_2}{R+r_2}\implies## ##B_2=(R+r_2)C\dfrac{E_2}{R+r_2}\implies## ##B_2=CE_2##

La solution générale : ##q(t)=A_2e^{-\dfrac{t}{\tau_b}}+CE_2##

Pour déterminer la constante d'intégration ##A_2##, il suffit d'utilliser la condition initiale `q(0) =CE_1` :

##A_2e^{-\dfrac{0}{\tau_b }}+CE_2=CE_1\implies## ##A_2=(E_1-E_2)C\implies##

##q(t)=CE_2+C(E_1-E_2)e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}##

d) Quelle est l'expression de la charge finale `Q_2` du condensateur.

Réponse

La valeur de la charge finale `Q_2` du condensateur `C` est obtenue en faisant tendre `t` vers `+\infty` :

##Q_2=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}q(t)\implies## ##Q_2=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}\left(CE_2-C(E_1-E_2)e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}\right)\implies## ##Q_1=C(E_1-E_2)\times0+CE_2\implies##

##Q_2=CE_2##

3- Tracer qualitativement, l'évolution de `q_1(t)` et `q_2(t)` dans le même repère dans les deux cas.

Réponse

On remarque que:

- lorsque ##E_1>E_2\implies####CE_1>CE_2\implies####Q_1>Q_2\implies## Le condensateur se décharge partiellememt.

- lorsque ##E_1\lt E_2\implies####CE_1\lt CE_2\implies####Q_1\lt Q_2\implies## Le condensateur continue à se charger.

ccc