Electricité : Circuits électriques :

Exercice n° 6 :

ccc

    
Soit le circuit de la figure ci-dessus comportant un générateur de f.e.m. `E` et de résistance interne `r`, quatre résistances, `R_1`, `R_2`, `R_3` et `R_4`, un condensateur de capacité `C` et un interrupteur `K`.

1- L'interrupteur est fermé et le condensateur s'est entièrement chargé.

a) Calculer l'intensité `I` du courant débité par le générateur.

Réponse Le condensateur s'est complétement chargé, le courant qui le traverse est nul. Il est possible d'ôter le condensateur du circiuit (voir la figure ci-dessous).

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On peut remplacer l'ensemble des quatre résistances par une résistance équivalente `R_{MN}` en utilisant les lois d'association des résistances

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Les deux résistances ##R_2## et `R_3` sont en série, on les remplace par une résistance équivalente égale à leur somme `R_2+R_3.`
De même pour les deux résistances `R_1` et `R_4`, on les remplace par une résistance équivalente égale à leur somme `R_1+R_4.`
Ces deux dernieres résistances équivalentes sont en parallèle, on les remplace par une résistance équivalente ##R_{MN}## égale à :

##\dfrac1{R_{MN}}=\dfrac1{R_1+R_4}+\dfrac1{R_2+R_3}\implies## ##R_{MN}=\dfrac{(R_1+R_4)(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3+R_4}\implies## ##R_{MN}=\dfrac{(9+10)(10+9)}{9+10+9+10}\implies## ##R_{MN}=9,5 \ k\Omega##.

Le schéma se transforme en :

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En appliquant la loi des mailles à la seule maille du circuit, on peut écrire l'équation suivante :

##-E+rI+R_{MN}I=0\implies####I=\dfrac{E}{r+R_{MN}}\implies####I=\dfrac{5}{500+9500}\implies##
##I=0,5\ \ 10^{-3} A##

b) Calculer la d.d.p. aux bornes du condensateur.

Réponse

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D'après le schéma du circuit électrique, on a :

- Branche `MN` : ##V_M-V_N=(R_1+R_4)I_1=(R_2+R_3)I_2\implies####(9+10)I_1=(10+9)I_2\implies####I_1=I_2##

- Au nœud `M` : ##I=I_1+I_2\implies####2I_1=I\implies####I_1=I_2=\dfrac{I}2\implies##

- Tension aux bornes du condensateur `V_C` : ##V_C=V_B-V_A\implies## ##V_C=(V_B-V_M)+(V_M-V_A)\implies####V_C=-(V_M-V_B)+(V_M-V_A)\implies## ##V_C=-R_3I_2+R_4I_1\implies####V_C=(R_4-R_1)\dfrac{I}2\implies## ##V_C=(10-9)\times10^3\times\dfrac{0,5\times10^{-3}}2\implies##
##V_C=0,25\ V##

c) En déduire la charge finale `Q_f` du condensateur.

Réponse ##Q_f=CV_C\implies## ##Q_f=2\times 10^{-6}\times 0,25\implies##
##Q_f=0,5\ \ 10^{-6} \ C##


2- A l'instant `t=0 \ s` , on ouvre l'interrupteur.

a) Représenter le schéma simplifié du circuit électrique.

Réponse Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, le courant `I` s'annulle. La branche contenant l'interrupteur peut être ôtée du circuit. Le circuit sans cette branche est représenté sur la figure ci-dessous :

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On réarrange les branches du circuit. On remarque que les deux résistances `R_1` et `R_2` sont en série, on peut les remplacer par une résistance équivalente égale à `R_1+R_2`. De même pour les deux résistances `R_3` et `R_4`, elles sont en série, on peut les remplacer par une résistance équivalente égale à `R_3+R_4`.

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Ces deux résistances équivalentes sont en parallèle, on les remplace par une résistance équivalente égale à :

##\dfrac1{R_{AB}}=\dfrac1{R_1+R_2}+\dfrac1{R_3+R_4}\implies## ##R_{AB}=\dfrac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}\implies## ##R_{AB}=\dfrac{(9+10)(10+9)}{9+10+9+10}\implies## ##R_{AB}=9,5 \ k\Omega##.

Ainsi, on aboutit au schéma simplifié du circuit représenté sur la figure ci-dessous :

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b) Ecrire l'équation différentielle régissant la décharge du condensateur .

Réponse ##V_B-V_A=\dfrac{q}{C}=-R_{AB}i_C\implies## ##\dfrac{q}{C}+R_{AB}\dfrac{dq}{dt}=0\implies## ##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{R_{AB}C}=0\implies## ##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{9,5\times10^3\times 2\times 10^{-6} }=0\implies##
##\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{19\ \ 10^{-3} }=0##

c) Donner l'expression de la charge `q(t)` du condensateur en fonction du temps `t`.

Réponse La solution est : ##q(t)=Q_fe^{-\dfrac{t}{R_{AB}C}}\implies##
##q(t)=0,5\ 10^{-6}\left(1-e^{-\dfrac{t}{19\ \ 10^{-3} }}\right)##

d) Calculer la constante de temps `\tau`.

Réponse ##\tau= R_{AB}C\implies##
##\tau= 19\ \ 10^{-3}\ s##
Données : `E=5\ V`, `r=500\ \Omega`, `R_1=R_3= 9\ k\Omega`, `R_2=R_4= 10\ k\Omega` et `C=2\ \mu F.`