Electricité : Circuits électriques :
Exercice n° 7 :
1- A l'instant `t=0\ s`, le commutateur `K` est mis en position 1.
a) Etablir l'équation différentielle régissant la charge électrique `q_1(t)`
du condensateur `C_1`.
Réponse
- Le courant électrique `i_1` traversant le condensateur est relié à `q_1` par : ##i_1=\dfrac{dq_1}{dt}##
- La tension `v_{C_1}` aux bornes de ce condensateur par ##v_{C1}=\dfrac{q_1}{C_1}##.
- Loi des mailles appliquée à la maille :
##ri_1+R_1i_1+v_{C_1}-E=0\implies##
##\dfrac{q_1}{C_1}+(R_1+r)\dfrac{dq_1}{dt}=E\implies##
##\dfrac{dq_1}{dt}+\dfrac{q_1}{(R_1+r)C_1}=\dfrac{E}{(R_1+r)}##
b) En déduire l'expression de `q_1(t).` Préciser la constante de temps `\tau` et la charge finale `Q_{1f}` du condensateur.
Réponse
On pose `\tau_1=(R_1+r)C_1`. `\tau_1` la constante de temps.La solution de cette équation différentielle est égale à la somme de 2 solutions, homogène et particulière:
##q_1(t)=q_h(t)+q_p(t)##
- ##\dfrac{dq_h}{dt}+\dfrac{q_h}{\tau_1 }=0\implies##
##\dfrac{dq_h}{q_h}=-\dfrac{dt}{\tau_1}\implies##
##Ln\left(\dfrac{q_h}{A_1}\right)=-\dfrac{t}{\tau_1 }\implies##
##q_h(t)=A_1e^{-\dfrac{t}{\tau_1 }}##
- La solution particulière est constante, ##q_p(t)=B_1##, puisque le second membre de l'équation différentielle,
égal à ##\dfrac{E}{R_1+r}## , est constant :
##\dfrac{dq_p}{dt}+\dfrac{q_p}{\tau_1 }=\dfrac{E}{R_1+r}\implies## ##\dfrac{dB_1}{dt}+\dfrac{B_1}{\tau_1}=\dfrac{E}{R_1+r}\implies## ##B_1=\tau_1\dfrac{E}{R_1+r}##
Pour déterminer la constante d'intégration ##A_1##, il suffit d'utilliser la condition initiale `q_1(0) =0 \ C` :
##A_1e^{-\dfrac{0}{\tau_1 }}+\tau_1\dfrac{E}{R_1+r}=0\implies## ##A_1=-\tau_1\dfrac{E}{R_1+r}\implies####q_1(t)=\tau_1\dfrac{E}{R_1+r}\left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau_1}}\right)\implies##
La valeur de la charge finale `Q_1` du condensateur `C_1` est obtenue en faisant tendre `t` vers `+\infty` :
##Q_1=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}q_1(t)\implies## ##Q_1=\displaystyle\lim_{t \to {=\infty}}\left(C_1E\left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau_a}}\right)\right)\implies## ##Q_1=C_1E(1-0)\implies####Q_1=C_1E\implies###Q_1=10\times10^{-9}\times 14\implies##
c) Déterminer l'expression du courant `i_1(t)` débité par le générateur.
Réponse
Le courant électrique du circuit `i_1` est :##i_1=\dfrac{dq_1}{dt}\implies####i_1=-\dfrac1{\tau_1}C_1E\left(-e^{-\dfrac{t}{\tau_1}}\right)\implies## ##i_1=\dfrac1{(R_1+r)C_1}C_1Ee^{-\dfrac{t}{\tau_1}}\implies##
d) Faire le bilan énergétique du circuit.
Réponse
Le générateur, fournit de l'énergie au circuit :Les résistances `R_1`et `r` dissipent de l'énergie par effet Joule :
##W_d=\displaystyle\int_0^{+\infty}(R_1+r)i_1^2dt\implies##
Le condensateur `C_1` emmagasine de l'énergie électrostatique :
##W_e=\dfrac12C_1E^2\implies## ##W_e=\dfrac12W_{Gf}\implies##
On remarque que : ##W_f=W_e+W_d##. Le bilan énergétique est vérifié.
Lorsque l'équilibre est établi, calculer :
a) La ddp aux bornes du condensateur `C_1.`
Réponse
On relie l'armature haute de `C_1` à l'armature haute de `C_2`, l'armature basse de `C_1` à l'armature basse de `C_3` et
l'armature haute de `C_3` à l'armature basse de `C_2` par des fils conducterus.
Les deux armatures en regard de chaque condensateur porteront des charges opposées et de même valeur absolue (influence totale).
- Charge de l'armature haute de `C_1` : Avant `Q_{1f}`, Après `Q_1`
- Charge de l'armature basse de `C_1` : Avant `-Q_{1f}`, Après `-Q_1`
- Charge de l'armature haute de `C_2` : Avant `0 \ C`, Après `Q_2`
- Charge de l'armature basse de `C_2` : Avant `0 \ C`, Après `-Q_2`
- Charge de l'armature haute de `C_2` : Avant `0 \ C`, Après `Q_3`
- Charge de l'armature basse de `C_3` : Avant `0 \ C`, Après `-Q_3`
il y a conservation de charge pour les armatures reliées :
- Armatures hautes de `C_1` et `C_2` : `Q_{1f}+0=Q_1+Q_2`
- Armatures basses de `C_1` et `C_3` : `-Q_{1f}+0=-Q_1-Q_3`
- Armatures basse de `C_2` et haute de `C_3` : `0+0=-Q_2+Q_3`
Les différentes charges peuvent être exprimer en fonction des ddp des condensateurs :
##
\begin{cases}
Q_1=C_1V_{C_1}\\
\ \\
Q_2=C_2V_{C_2}\\
\ \\
Q_3=C_3V_{C_3}
\end{cases}
##
et les 3 équations de conservation de charges aussi :
##
\begin{cases}
Q_{1f}=C_1V_{C_1}+C_2V_{C_2}\\
\ \\
-Q_{1f}=-C_1V_{C_1}-C_3V_{C_3}\\
\ \\
C_2V_{C_2}=C_3V_{C_3}
\end{cases}
##
De la première équation du système, on en déduit `V_{C_2}` en fonction de `V_{C_1}`:
##Q_{1f}=C_1V_{C_1}+C_2V_{C_2}\implies##
##C_2V_{C_2}=Q_{1f}-C_1V_{C_1}\implies##
##V_{C_2}=\dfrac{Q_{1f}}{C_2}-\dfrac{C_1}{C_2}V_{C_1}##
et de la dernière équation de ce même système, on en déduit `V_{C_3}` en fonction de `V_{C_2}` puis en fonction de `V_{C_1}`:
##V_{C_3}=\dfrac{C_2}{C_3}V_{C_2}\implies##
##V_{C_3}=\dfrac{C_2}{C_3}\left(\dfrac{Q_{1f}}{C_2}-\dfrac{C_1}{C_2}V_{C_1}\right)\implies##
##V_{C_3}=\dfrac{Q_{1f}}{C_3}-\dfrac{C_1}{C_3}V_{C_1}##
L'équation de maille permet de relier ces 3 ddp :
##-V_{C_1}+V_{C_2}+V_{C_3}=0\implies##
Réponse
- Charge du condensateur `C_1` : ##Q_1=C_1V_{C_1}\implies####Q_1=10\times10^{-9}\times10\implies##- Charges du condensateur `C_2` : ##Q_2=Q_3=Q_{1f}-Q_{1}\implies####Q_1=(1,4-1)\times\times10^{-7}\implies##
Réponse
- ddp aux borne de `C_2` : ##V_{C_2}=\dfrac{Q_2}{C_2}\implies## ##V_{C_2}=\dfrac{0,4\times10^{-7}}{20\times10^{-9}}\implies##- ddp aux borne de `C_3` : ##V_{C_3}=V_{C_1}-V_{C_2}\implies####V_{C_3}=-10+2\implies##
Réponse
L'énergie perdue par effet Joule dans le circuit, `W_{e\ J}`, peut être déterminée à partir du bilan énergétique de ce circuit. Elle est égale à la différence des énergies électrostatiques initiales `W_{e\ i}` et finales W_{e\ f} stockées dans les différents condensateurs:##W_{e\ i}=W_{e\ a}+W_{J}\implies####W_{J}=W_{e\ i}-W_{e\ a}\implies##