Electricité : Conducteurs :
Exercice n° 1 :
1- Une sphère conductrice pleine `(A)` de rayon `R_1` parfaitement lisse en surface est reliée à la borne positive d'un générateur de tension `V_0`, loin de toute influence (voir figure ci-dessus). Déterminer la charge `Q_1` portée par cette sphère à l'équilibre électrostatique.
Réponse
Le générateur arrache des electrons à la sphère `(A)` pour les ramener à la terre
jusqu'à ce que le potentiel de `(A)` atteigne la valeur positive `V_0`. A l'équilibre
électrostatique, il apparait
une charge positive `Q_1` répartie en surface de `(A)`. Cette répartition est uniforme puisque
la surface est parfaitement lisse et qu'en tout point de cette surface le rayon de courbure
est le même d'une part et d'autre part cette sphère se trouve dans une région isolée,
loin de toute influence.
La charge surfacique `\sigma` est alors constante. Dans ce cas, les surfaces équipotentielles
sont des surfaces de sphères concentriques de même centre que `(A)` et les lignes de champ
sont des droites radiales. Le champ électrique est normal à ces surfaces et son intensité qui
ne dépendra que de la coordonnée radiale `r` est constante en tout point d'une même surface.
##\vec E=E(r)\vec u_r##
Pour déterminer cette intensité, on utilisera le théorème de Gauss en choisissant comme surface de Gauss une surface équipotentielle.
##\vec E=E(r)\vec u_r##
Pour déterminer cette intensité, on utilisera le théorème de Gauss en choisissant comme surface de Gauss une surface équipotentielle.
Le flux de `\vec E` à travers cette surface est égal :
##\displaystyle\iint_S \vec E.d\vec S=\displaystyle\iint_S (E \vec u_r).(dS\vec u_r) \implies##
##\displaystyle\iint_S \vec E.d\vec S=\displaystyle\iint_S EdS##
Comme l'intensité , E, du champ électrique est constante sur cette surface et que l'intégration se fait sur cette surface, il est donc possible de le sortir du signe d'intégration :
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=E\displaystyle\iint_SdS\implies##
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=ES\implies##
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=E4\pi r^2##
D'après le théorème de Gauss ce flux est relié à la charge interne ##Q_{int}## par:
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies##
##E4\pi r^2=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies##
##E=\dfrac{Q_{{int}}}{4\pi \epsilon_0 r^2}##
Dans le cas où `r\gt R_1`, la charge ##Q_{int}=Q_1##. Dans cette région, e champ électrique aura pour expression :
##\vec E=\dfrac{Q_{1}}{4\pi \epsilon_0 r^2}\ \vec u_r##
La continuité du potentiel électrique et la circulation du champ électrique le long d'une droite radiale permet de déterminer le potentiel électrique `V(r)`:
##\displaystyle\int_{V(\infty)=0}^{V(R_1)=V_0}dV=-\displaystyle\int_{\infty}^{r} (E\vec u_r) (dr\vec u_r)\implies## ##V_0=-\displaystyle\int_\infty^{R_1} E\ dr\implies## ##V_0=-\displaystyle\int_\infty^{R_1} \dfrac{Q_{{int}}}{4\pi \epsilon_0 r^2}\ dr\implies ## ##V_0=\dfrac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 R_1} \implies ##
##Q_1=4\pi\epsilon_0 {R_1} V_0##
2- La sphère `(A)` qui porte la charge `Q_1` est déconnectée du générateur.
On l'entoure d'une sphère conductrice creuse `(B)`, concentrique, neutre,
de rayons intérieur `R_2` et extérieur `R_3` (voir figure ci-dessous).
Les deux surfaces interne et externe sont supposées parfaitement lisses.
A l'équilibre électrostatique :
a) Quelles sont les charges portées par les surfaces interne et externe de la sphère (B).
Réponse
Lorsque la sphère neutre `(B)` entoure totalement la sphère chargée `(A)` , il apparait par influence totale une charge sur la surface interne de `(B)`, `Q_2=-Q_1`, et sur la surface externe une charge, `Q_3=-Q_2`, assurrant ainsi la neutralité électrique de `(B)`. Puisque les surfaces de ces deux sphères sont parfaitement lisses, les répartitions de ces charges sur ces surfaces sont uniformes. Par conséquent, le champ électrique est radial et ne dépend que de la coordonnée radiale `r`.
##\begin{cases}
Q_2=-4\pi\epsilon_0 {R_1} V_0\\
Q_3= 4\pi\epsilon_0 {R_1} V_0
\end{cases}
##
b) Déterminer l'expression du champ électrique dans toutes les régions de l'espace:
- `0\lt r\lt R_1`
- `R_1\lt r\lt R_2`
- `R_2\lt r\lt R_3`
- `r\gt R_3`
Réponse
- `0\lt r\lt R_1`
Le champ électrique à l'intérieur du conducteur `(A)` est nul.
##\vec E=\vec 0## - `R_1\lt r\lt R_2`
On utilise le théorème de Gauss pour déterminer ##\vec E##.
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies## ##E4\pi r^2=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies## ##E=\dfrac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 r^2}\implies## ##E=\dfrac{V_0 R_1}{ r^2}## - `R_2\lt r\lt R_3`
Le champ électrique à l'intérieur du conducteur `(B)` est nul.
##\vec E=\vec 0## - `r\gt R_3`
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies## ##E4\pi r^2=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies## ##E=\dfrac{Q_1+Q_2+Q_3}{4\pi \epsilon_0 r^2}\implies## ##E=\dfrac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 r^2}\implies## ##E=\dfrac{V_0R_1}{ r^2}##
##\vec E =\begin{cases}
\vec 0 0\lt r\lt R_1\\
\ \\
\dfrac{V_0R_1}{ r^2}\ \vec u_r R_1\lt r\lt R_2\\
\ \\
\vec 0 R_2\lt r\lt R_3\\
\ \\
\dfrac{V_0R_1}{ r^2} \vec u_r r\gt R_3
\end{cases}##
c) En déduire l'expression du potentiel électrique créé par ce système dans ces quatre régions en tenant compte de la continuité du potentiel et sa valeur nulle à l'infini.
Réponse
La continuité du potentiel électrique et la circulation du champ électrique le long
d'une droite radiale permettent de déterminer les différentes expressions
de `V(r)`:
##\displaystyle\int_{V(M_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{M_0M} \vec E .d\vec l## ##\displaystyle\int_{V(r_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{r_0}^{r} (E\vec u_r) (dr\vec u_r)\implies## ##V(r)-V(r_0)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr\implies## ##V(r)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr +V(r_0)##
##\displaystyle\int_{V(M_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{M_0M} \vec E .d\vec l## ##\displaystyle\int_{V(r_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{r_0}^{r} (E\vec u_r) (dr\vec u_r)\implies## ##V(r)-V(r_0)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr\implies## ##V(r)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr +V(r_0)##
- `r\ge R_3`
##V(r)=-\displaystyle\int_\infty^r \dfrac{V_0R_1}{ r^2}\ dr +V(\infty)\implies## ##V(r)=\dfrac{R_1}{r}V_0##
##V(R_3)=\dfrac{R_1}{R_3}V_0## - `R_2\le r\le R_3`
Le potentiel en tout point du conducteur `(B)` est constant.
##V(r)=V(R_3)\implies## ##V(r)=\dfrac{R_1}{R_3}V_0##
##V(R_2)=\dfrac{R_1}{R_3}V_0## - `R_1\le r\le R_2`
##V(r)=-\displaystyle\int_{R_2}^r \dfrac{V_0R_1}{ r^2}\ dr +V(R_2)\implies## ##V(r)=\dfrac{V_0R_1}{r}-\dfrac{V_0R_1}{R_2}+\dfrac{V_0R_1}{R_3}\implies## ##V(r)=\dfrac{R_1}{r}V_0+\dfrac{R_1(R_3-R_2)}{R_2R_3}V_0##
##V(R_1)=\dfrac{R_2R_3+R_1R_2-R_1R_3}{R_2R_3}V_0## - `0\le r\le R_1`
Le potentiel en tout point du conducteur `(A)` est constant.
##V(r)=V(R_1)\implies## ##V(r)=\dfrac{R_2R_3+R_1R_2-R_1R_3}{R_2R_3}V_0##
##V =\begin{cases}
\dfrac{R_2R_3+R_1R_2-R_1R_3}{R_2R_3}V_0 0\lt r\lt R_1\\
\ \\
\dfrac{R_1}{r}V_0+\dfrac{R_1(R_3-R_2)}{R_2R_3}V_0 R_1\lt r\lt R_2\\
\ \\
\dfrac{R_1}{R_3}V_0 R_2\lt r\lt R_3\\
\ \\
\dfrac{R_1}{r}V_0 r\gt R_3
\end{cases}##
3- Dans le montage précédent, on relie la sphère `(B)` à la terre à l'aide d'un fil conducteur
(voir figure ci-dessous).
A l'équilibre électrostatique :
a) Quelles sont les charges portées par les surfaces interne et externe de la sphère (B).
Réponse
Lorsque la sphère `(B)` est mise à la terre, des électrons de la terre sont injectés dans la sphère `(B)` pour annihiler les charges positives et maintenir le potentiel de `(B)` à `0\ V`.
##\begin{cases}
Q_1=4\pi\epsilon_0 {R_1} V_0\\
Q_2=-4\pi\epsilon_0 {R_1} V_0\\
Q_3= 0\ C.
\end{cases}
##
b) Déterminer l'expression de la capacité du condensateur sphérique
Réponse
On utilise le théorème de Gauss pour déterminer ##\vec E## dans la région `R_1\lt r\lt R_2` .
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies##
##E4\pi r^2=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies##
##E=\dfrac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 r^2}##
On détermine la différence de potentiel entre les deux conducteurs `(A)` et `(B)` en calculant la circulation du champ électrique le long d'une droite radiale.
##\displaystyle\int_{V(R_1)}^{V(R_2)=0}dV=-\displaystyle\int_{R_1}^{R_2} (E\vec u_r) (dr\vec u_r)\implies## ##-V(R_1)=-\displaystyle\int_0^r \dfrac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 r^2} dr\implies## ##V(R_1)= \dfrac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 } \left(\dfrac1{R_2}-\dfrac1{R_1}\right) \implies## ##V(R_1)= \dfrac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 } \left(\dfrac{R_2-R_1}{R_1R_2}\right) ##
##C=\dfrac{Q_1}{V(R_1)}\implies##
##C=4\pi \epsilon_0 \dfrac{R_1R_2}{R_2-R_1}##
4- On rebranche la sphère `(A)` au générateur tout en maitenant la sphère `B` à
la terre (voir figure ci-dessous).
A l'équilibre électrostatique :
a) Déterminer les charges emmagasinées dans le condensateur sphérique avant et aprés le rebranchement du générateur. Les comparer et conclure.
Réponse
- Charge emmagasinée dans le condensateur sphérique avant le rebranchement du générateur :
##Q_1=4\pi\epsilon_0 {R_1} V_0## - Charge emmagasinée dans le condensateur sphérique après le rebranchement du générateur :
##Q_1^{\prime}=C(V_0-0)\implies####Q_1^{\prime}=4\pi \epsilon_0 \dfrac{R_1R_2}{R_2-R_1}V_0##
- Comparaison :
##\dfrac{Q_1}{Q_1^{\prime}}=\dfrac{4\pi\epsilon_0 {R_1} V_0}{4\pi \epsilon_0 \dfrac{R_1R_2}{R_2-R_1}V_0}\implies## ##\dfrac{Q_1}{Q_1^{\prime}}=\dfrac{ {1} }{\dfrac{R_2}{R_2-R_1}}\implies## ##\dfrac{Q_1}{Q_1^{\prime}}=\dfrac{ {{R_2-R_1}} }{R_2}\implies## ##\dfrac{Q_1}{Q_1^{\prime}}=1-\dfrac{ {{R_1}} }{R_2}##
Comme : ##0\lt R_1\lt R_2\implies## ##0\lt \dfrac{R_1}{R_2}\lt 1\implies## ##-1\lt -\dfrac{R_1}{R_2}\lt0\implies## ##0\lt 1-\dfrac{R_1}{R_2}\lt1\implies## ##0\lt\dfrac{Q_1}{Q_1^{\prime}}\lt 1\implies####Q_1^{\prime}\gt Q_1##
La charge du condensateur a augmenté après le rebranchement du générateur.
b) Déterminer les énergies électrostatiques emmagasinées dans le condensateur sphérique
avant et aprés le rebranchement du générateur et l'énergie fournie par le générateur pendant ce rebranchement.
Réponse
- Energie électrostatiques emmagasinée dans le condensateur sphérique avant rebranchement:
##ℰ=\dfrac12\dfrac{Q_1^2}{C}\implies## ##ℰ=\dfrac12\dfrac{(4\pi \epsilon_0R_1 V_0)^2}{4\pi \epsilon_0 \dfrac{R_1R_2}{R_2-R_1}}\implies####ℰ=2\pi \epsilon_0\dfrac{R_1 (R_2-R_1)}{R_2}V_0^2## - Energie électrostatiques emmagasinée dans le condensateur sphérique après rebranchement:
##ℰ^{ \prime}=\dfrac12C(V_0-0)^2\implies## ##ℰ^{ \prime}=\dfrac124\pi \epsilon_0 \dfrac{R_1R_2}{R_2-R_1}{V_0^2}\implies####ℰ^{ \prime}=2\pi \epsilon_0 \dfrac{R_1R_2}{R_2-R_1}{V_0^2}##
- Energie fournie par le générateur pendant ce rebranchement :
##ℰ_g= \displaystyle\int_{t_i}^{t_f} V_0idt\implies## ##ℰ_g=V_0\displaystyle\int_{t_i}^{t_f} \dfrac{dQ}{dt}dt\implies## ##ℰ_g=V_0\displaystyle\int_{Q_1}^{Q_1^{\prime}} dQ\implies## ##ℰ_g=V_0\left(Q_1^{\prime}-Q_1\right)\implies## ##ℰ_g=V_0Q_1^{\prime}\left(1-\dfrac{Q_1}{Q_1^{\prime}}\right)\implies####ℰ_g=V_0\left(4\pi \epsilon_0 \dfrac{R_1R_2}{R_2-R_1}V_0\right)\left(1-\left(1-\dfrac{ {{R_1}} }{R_2}\right)\right)\implies####ℰ_g=4\pi \epsilon_0 \dfrac{R_1^2}{R_2-R_1}V_0^2##