Electricité : Conducteurs :

Exercice n° 2 :

ccc

    

1-Un conducteur `(A)` sphérique, de rayons interne `R_1=12\ cm` et externe `R_2=20\ cm`, est initalement neutre. Ses deux surfaces, interne et externe, sont supposées parfaitement lisses. On le relie à la borne positive d'un générateur de tension `V_0`, loin de toute influence (voir figure ci-dessus).

A l'équilibre électrostatique :

a- Représenter qualitativememt la répartition des charges électriques sur ce conducteur .

Réponse
Le générateur arrache des electrons à la sphère `(B)` pour les ramener à la terre jusqu'à ce que le potentiel de `(B)` atteigne la valeur positive `V_0`. A l'équilibre électrostatique, il apparait une charge positive `Q_0` répartie en surface externe de `(A)`. Cette répartition est uniforme puisque la surface est parfaitement lisse et qu'en tout point de cette surface le rayon de courbure est le même d'une part et d'autre part cette sphère se trouve dans une région isolée, loin de toute influence.


ccc

    

b- Calculer la charge électrique `Q_0` portée par ce conducteur `(A)`.

Réponse La capacité de la sphère conductrice `(A)` est reliée son rayon externe par :

## C_A=4\pi \epsilon_0 R_2 =\dfrac{R_2}{K}##

Or ##Q_0=C_AV_0\implies## ##Q_0=\dfrac{V_0R_2}{K}\implies## ##Q_0=\dfrac{20\times 10^{-2}\times100}{9\times10^9}\implies## ##Q_0=\dfrac{2}{9}10^{-8}\implies##
##Q_0=2,22\ nC##

2- On déconnecte la sphère creuse précédente de charge `Q_0` du générateur puis on la relie à l'aide d'un fil conduteur très fin à une sphère conductrice pleine `(B)` de rayon `R_3=10 cm`, initialenent neutre (voir figure ci-dessus).

On suppose que la surface de `(B)` est parfaitement lisse, que les deux les conducteurs `(A)` et `(B)` sont suffisamment éloignés l'un de l'autre afin de négliger tout phénomène d'unfluence et que la charge portée par le fil est négligeable.

ccc

    

A l'équilibre électrostatique :

a) Calculer les charges finales portées par les deux les conducteurs `(A)` et `(B)`.

Réponse

Avant la mise au contact des deux sphères, la charge totale `Q_T` est égale à:

##Q_T=Q_0+0\implies## ##Q_T=Q_0##

A la mise au contact des deux sphères par un fil conducteur, la charge totale se répartit sur les deux sphères, `Q_A` et `Q_B`:

##Q_0=Q_A+Q_B##.

Après le réarrangement des charges, l'équilibre électrostatique s'établit. Les deux sphères et le fil forment un même conducteur et auront donc un même potentiel électrostatique:

##V_A=V_B##

Les deux sphères sont supposées suffisamment éloignés l'une de l'autre, le phénomène d'influence peut être négligé et les capacités approximées à :

##\begin{cases} C_A=4\pi \epsilon_0 R_2\\ C_B=4\pi \epsilon_0 R_3\\ \end{cases} \implies ## ##\begin{cases} \dfrac{Q_A}{V_A}=4\pi \epsilon_0 R_2\\ \dfrac{Q_B}{V_B}=4\pi \epsilon_0 R_3\\ \end{cases} ##

Compte tenu des égalités des potentiels, on a:

##Q_A=\dfrac{R_2}{R_3}Q_B##

##Q_0=Q_A+Q_B\implies## ##Q_0=\dfrac{R_2}{R_3}Q_B+Q_B\implies## ##Q_B=\dfrac{Q_0}{1+\dfrac{R_2}{R_3}}\implies## ##Q_B=\dfrac{R_3}{R_3+R_2}Q_0##

##Q_A=\dfrac{R_2}{R_3}\dfrac{R_3}{R_3+R_2}Q_0\implies## ##Q_A=\dfrac{R_2}{R_3+R_2}Q_0##

##\begin{cases} Q_A=\dfrac{R_2}{R_3+R_2}Q_0\\ Q_B=\dfrac{R_3}{R_3+R_2}Q_0 \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} \\Q_A=\dfrac{20}{20+10}\times\dfrac{2}{9}10^{-8}\\ Q_B=\dfrac{10}{10+20}\times\dfrac{2}{9}10^{-8} \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} \\Q_A=1,48 \ nC\\ Q_B=0,74 \ nC \end{cases} ##

b) En déduire les potentiels électrostatiques finaux `V_A` et `V_B` des deux conducteurs `(A)` et `(B)`.

On donne: `K= 9\ 10^9\ SI`.

Réponse ##V_A=V_B=\dfrac{Q_A}{C_A}\implies## ##V_A=V_B=\dfrac{\dfrac{R_2}{R_3+R_2}Q_0}{4\pi \epsilon_0 R_2}\implies## ##V_A=V_B=\dfrac{\dfrac{R_2}{R_3+R_2}4\pi \epsilon_0R_2V_0}{4\pi \epsilon_0 R_2}\implies## ##V_A=V_B=\dfrac{\dfrac{R_2}{R_3+R_2}}V_0\implies## ##V_A=V_B=\dfrac{20}{20+10}\times100\implies##
##V_A=V_B=66,7\ V##