Electricité : Conducteurs :

Exercice n° 3 :

ccc

Une sphère pleine conductrice `A` de rayon `R_A=1\ cm` est placée au centre d'une sphère creuse conductrice `B` de rayon interne `R_1=12\ cm` et de rayon externe `R_2=3\ cm`. Les deux sphères sont parfaitement lisses en surface. Un générateur `G` relié à une seule sphère à la fois au moyen d'un commutateur `K_1`, assure à la sphère reliée un potentiel constant `V_0=10^3 \ V` (voir figure ci-dessus). Le commutateur `K_2` lorsqu'il est fermé, permet la mise à la terre du conducteur `B` .

1-Le générateur est relié au conducteur `B` (`K_1` en position 1 et `K_2` ouvert).

a) Représenter, qualitativement la répartition des charges qui apparaissent sur les conducteurs `A` et `B`.

Réponse

La sphère `A` est neutre, aucune ligne de champ ne part de cette sphère pour aboutir sur la surface interne de la sphère `B,` ainsi aucune charge n'apparait par influence sur la surface interne de `B`.
Si maitenant, on porte `B` à un potentiel `V_0` positif à l'aide d'un générateur, ce dernier arrache des electrons à `(B)` pour les ramener à la terre jusqu'à ce que le potentiel de `B` atteigne la valeur positive `V_0`. A l'équilibre électrostatique, il apparait une charge positive `Q_{B_e}` répartie sur la surface externe de `B`. Cette répartition est uniforme puisque la surface est parfaitement lisse et qu'en tout point de cette surface le rayon de courbure est le même d'une part et d'autre part cette sphère se trouve dans une région isolée, loin de toute influence extérieure.
A l'intérieur du conducteur `B`, le champ électrique est nulle, aucune ligne de champ ne part de la surface interne de `B` pour aboutir à la surface de `A`, ainsi il n'y a aucune influencce de `B` sur `A`. Par conséquent, la charge en surface interne `Q_{Bi}` de `B` et la charge en surface de `A` sont nulles.

ccc

b) Calculer les charges `Q_A` et `Q_B` portées respectivement par les sphères `A` et `B`.

Réponse

## Q_{Be}=C V_0## où C est la capacité de la sphère `B` , ## C=4\pi\epsilon_0 {R_2}##

## Q_{Be}=4\pi\epsilon_0 {R_2} V_0\implies#### Q_{Be}=\dfrac {R_2V_0} {K}\implies## ## Q_{Be}=\dfrac {3\times 10^{-2}\times 10^{3}} {9\times 10^{9}}\implies## ## Q_{Be}=\dfrac13 \ \ \ 10^{-8}\implies##

##Q_{Be}=3,33 \ 10^{-8} C##

##Q_{A}=0 \ C##

2- Le conducteur `A` est relié au générateur `G` (`K_2` en position 2) et le conducteur `B` à la terre (`K_1` fermé).

a) Représenter, qualitativement la répartition des charges qui apparaissent sur les conducteurs `A` et `B`.

Réponse

Le générateur arrache des electrons à la sphère `A` pour les ramener à la terre jusqu'à ce que le potentiel de `A` atteigne la valeur positive `V_0`. A l'équilibre électrostatique, il apparait une charge positive `Q_A` répartie sur la surface de `A.` Cette répartition est uniforme puisque la surface est parfaitement lisse , qu'en tout point de cette surface le rayon de courbure est le même et que le système constitué de deux sphères concentriques, est à symétrie sphérique.
La sphère neutre `B` entoure totalement la sphère chargée `A` , il apparait par influence totale une charge négative sur la surface interne de `B`, `Q_{B_i}=-Q_A`. Comme `B` est neutre, il apparaitra sur la surface externe une charge positive qui en même temps sera neutalisée par les électrons arrachés à `A` grâce à la liaison de `B` avec la terre, la charge `Q_{B_e}` sur cette surface externe est donc nulle.

ccc

b) Déterminer les expressions du champ et du potentiel électriques dans les quatre régions I, II,III et IV de l'espace.

Réponse

Pour ce système à symétrie sphérique, le champ électrique est radial et ne dépend que de la coordonnée radiale `r` et les équipotentielles sont des surfaces de sphères concentriques à `A` et `B.`

Détermination du champ électrique:

Région I : `0\lt r\lt R_A`
Le champ électrique à l'intérieur du conducteur `A` est nul.

##\vec E=\vec 0##

Région II : `R_A\lt r\lt R_1`:
On utilise le théorème de Gauss pour déterminer ##\vec E##.

##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies## ##E4\pi r^2=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies## ##E=\dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 r^2}##

Région III : `R_1\lt r\lt R_2`
Le champ électrique à l'intérieur du conducteur `B` est nul.

##\vec E=\vec 0##

Région IV : `r\gt R_2`

##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies## ##E4\pi r^2=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies## ##E=\dfrac{Q_A+Q_{B_i}+Q_{B_e}}{4\pi \epsilon_0 r^2}\implies## ##E=\dfrac{Q_A-Q_A+0}{4\pi \epsilon_0 r^2}\implies## ##E=0 \ V/m##

##\vec E =\begin{cases} \vec 0 \ 0\lt r\lt R_A\\ \ \\ \dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 r^2}\ \vec u_r \ R_A\lt r\lt R_1\\ \ \\ \vec 0 \ \ R_1\lt r\lt R_2\\ \ \\ \vec 0 \ \ \ \ r\gt R_2 \end{cases}##

Détermination du potentiel électrique:

La continuité du potentiel électrique et la circulation du champ électrique le long d'une droite radiale permettent de déterminer les différentes expressions de `V(r)`:

##\displaystyle\int_{V(M_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{M_0M} \vec E .d\vec l## ##\displaystyle\int_{V(r_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{r_0}^{r} (E\vec u_r) (dr\vec u_r)\implies## ##V(r)-V(r_0)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr\implies## ##V(r)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr +V(r_0)##

`r\ge R_2`

`(B)` est relié à la terre, son potentiel est nul, `V(R_2)=0\ V.`

##V(r)=-\displaystyle\int_{R_2}^r 0\ dr +V(R_2)\implies## ##V(r)=V(R_2)##

##V(r)=0\ V##

`R_1\le r\le R_2`

Le potentiel en tout point du conducteur `B` est constant.

##V(r)=V(R_2)\implies## ##V(r)=0\ V##

##V(R_1)=0\ V##

`R_A\le r\le R_1`

##V(r)=-\displaystyle\int_{R_1}^r \dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 r^2}\ dr +V(R_1)\implies## ##V(r)=\dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 r}-\dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 R_1}\implies##

##V(R_A)=\dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 R_A}-\dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 R_1}\implies## ##V(R_A)=\dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 }\dfrac{R_1-R_A}{R_A R_1}##

`0\le r\le R_A`

Le potentiel en tout point du conducteur `A` est constant.

##V(r)=V(R_A)\implies####V(r)=\dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 }\dfrac{R_1-R_A}{R_A R_1}\implies##

##V =\begin{cases} V_0 \ 0\lt r\lt R_A\\ \ \\ \dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{R_1-r }{R_1r} \ R_A\lt r\lt R_1\\ \ \\ 0 R_1\lt r\lt R_2\\ \ \\ 0 r\gt R_3 \end{cases}##

Or ##V(R_A)=V_0\implies## ##\dfrac{Q_A}{4\pi \epsilon_0 }\dfrac{R_1-R_A}{R_A R_1}=V_0\implies## ##Q_A=4\pi \epsilon_0\dfrac{R_A R_1}{R_1-R_A}V_0\implies## ##Q_A=\dfrac{R_A R_1}{R_1-R_A}\dfrac{V_0}{K}##

On remplace `Q_A` par son expression dans les différentes expressions de `E` et `V.`

##\vec E =\begin{cases} \vec 0 \ 0\lt r\lt R_A\\ \ \\ \dfrac{R_A R_1}{R_1-R_A}\dfrac{V_0}{r^2}\ \vec u_r R_A\lt r\lt R_1\\ \ \\ \vec 0 \ R_1\lt r\lt R_2\\ \ \\ \vec 0 \ \ \ r\gt R_2 \end{cases}##

##V =\begin{cases} V_0 0\lt r\lt R_A\\ \ \\ \dfrac{R_A R_1}{R_1-R_A}\dfrac{R_1-r }{R_1r}V_0 R_A\lt r\lt R_1\\ \ \\ 0 R_1\lt r\lt R_2\\ \ \\ 0 r\gt R_3 \end{cases}##

c) Calculer les nouvelles charges `Q_A` et `Q_B` portées respectivement par les sphères `A` et `B`.

Réponse

##Q_A=\dfrac{R_A R_1}{R_1-R_A}\dfrac{V_0}{K}\implies## ##Q_A=\dfrac{1\times2}{2-1}\times10^{-2}\dfrac{10^3}{9\times 10^9}\implies##

##Q_A=2,22 \ 10^{-9} \ C##

##Q_{B_i}=-Q_A\implies##

##Q_{B_i}=-2,22 \ 10^{-9} \ C##

##Q_{B_e}=0 \ C##

d) Les deux conducteurs, ainsi montés, forment un condensateur sphérique. Déterminer l'expression de sa capacité. Que devient cette expression si les valeurs de `R_A` et `R_1` sont très proches : `R_A≈ R_1` et `R_A-R_1=e`.

Réponse

##Q_A=CV_C\implies####Q_A=C(V_A-V_B)\implies####Q_A=C(V_0-0)\implies## ##C=\dfrac{Q_A}{KV_0}\implies## ##C=\dfrac{\dfrac{R_A R_1}{R_1-R_A}\dfrac{V_0}{K}}{V_0}\implies##

##C=4\pi \epsilon_0 \dfrac{R_A R_1}{R_1-R_A}##

Lorsque `R_A≈ R_1` et `R_A-R_1=e` on a :

##C=\dfrac{4\pi \epsilon_0 R_A R_1}{R_1-R_A}\implies####C=\epsilon_0\dfrac{4\pi R_A^2}{e}\implies##

##C=\epsilon_0\dfrac{S_A}{e}##

où ##S_A## est la surface de `A.`