Electricité : Distribution de charges continues :
Exercice n° 1 :
On considère une charge `Q>0` uniformément répartie sur un anneau circulaire de faible épaisseur, de centre `O` et de rayon `R` (voir figure ci-dessus). Soit `M` un point de l'axe `(Oz)`. Cet axe est perpendiculaire au plan contenant l'anneau, en 'O'.
1- Déterminer le potentiel électrique `V` créé par cette charge `Q` au point `M` en fonction de `R`, `Q`, de la constante de Coulomb `K` et de la coordonnée `z` du point `M`.
Réponse
L'anneau est de faible épaisseur, par conséquent, sa densité de charge `\lamda` est linéique.
De plus, elle est constante puique `Q` est uniformément répartie sur cet anneau.
Notons par `l` la longueur du périmètre de l'anneau.
##\lambda=\dfrac{Q}{l}\implies## ##Q=\lambda l##
##\lambda=\dfrac{Q}{l}\implies## ##Q=\lambda l##
Considérons une charge élémentaire `dQ` d'arc de longueur `dl` située au point ##M^\prime## du cercle.
Le potentiel électrique `dV` créé par cette charge `dQ` au point `M` est :
##dV=K\dfrac{dq}{MM^\prime}\implies## ##dV=K\dfrac{\lambda dl}{\sqrt{R^2+z^2}}\implies## ##V=\displaystyle\int_0^l K\dfrac{\lambda }{\sqrt{R^2+z^2}}dl\implies## ##V=K\dfrac{\lambda }{\sqrt{R^2+z^2}}\displaystyle\int_0^l dl\implies## ##V=K\dfrac{\lambda l}{\sqrt{R^2+z^2}} \implies##
##dV=K\dfrac{dq}{MM^\prime}\implies## ##dV=K\dfrac{\lambda dl}{\sqrt{R^2+z^2}}\implies## ##V=\displaystyle\int_0^l K\dfrac{\lambda }{\sqrt{R^2+z^2}}dl\implies## ##V=K\dfrac{\lambda }{\sqrt{R^2+z^2}}\displaystyle\int_0^l dl\implies## ##V=K\dfrac{\lambda l}{\sqrt{R^2+z^2}} \implies##
##V=K\dfrac{Q }{\sqrt{R^2+z^2}} ##
2- En déduire l'expression du champ électrique `\vec{E}` créé au point `M`.
Réponse
Le champ électrique ##\overrightarrow{E}## est relié au potentiel `V` par la relation : ##\overrightarrow{E} =-\overrightarrow{grad} \left(V\right)##
En coordonnées cartésiennes, ##\overrightarrow{grad} =\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{i}+
\dfrac{\partial}{\partial y}\overrightarrow{j}+
\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{k}##
##\overrightarrow{E(x,y,z)} =-\dfrac{\partial V(x,y,z) }{\partial x}\overrightarrow{i}-
\dfrac{\partial V(x,y,z) }{\partial y}\overrightarrow{j}-\dfrac{\partial V(x,y,z) }{\partial z}\overrightarrow{k}
\implies ##
##\begin{cases}
E_x=-\dfrac{\partial V(x,y,z) }{\partial x}\\
E_y=-\dfrac{\partial V(x,y,z)}{\partial y}\\
E_z=-\dfrac{\partial V(x,y,z)}{\partial z}
\end{cases}##
Le potentiel qu'on a déterminé précédemment ##V=V(0,0,z)## n'est valable que pour ##x=y=0##.
Ainsi,`E_x` et `E_y` ne peuvent être déterminés à partir de la formule précédente puisque `x` et `y` sont déjà fixées.
Par contre, pour `E_z`, il est possible de le déterminer puisqu'on dérive par rapport à `z` en supposant `x` et `y` constants.
Remplacer `x` et `y` par leurs valeurs avant ou après la dérivation importe peu.
##E_z(x,y,z)=-\dfrac{\partial V\left(x,y,z\right) }{\partial z}\implies##
##E_z(0,0,z)=-\dfrac{\partial V\left(0,0,z\right) }{\partial z}\implies##
##E_z\left(0,0,z\right)=-\dfrac{\partial }{\partial z}\left(K\dfrac{Q}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\implies##
##E_z\left(0,0,z\right)=-KQ\dfrac{\partial \left(R^2+z^2\right)^{-\frac12} }{\partial z}\implies##
##E_z\left(0,0,z\right)=-KQ\left(-\dfrac12\right)(2z)\dfrac{\partial \left(R^2+z^2\right)^{-\frac12} }{\partial z}\implies##
##E_z\left(0,0,z\right)=KQ\dfrac{z}{\left(R^2+z^2\right)^{-\frac32} }##
Pour les deux autres composantes de ##\overrightarrow{E}##, on les détermine en utilisant la symétrie du système
par rapport à l'axe `(Oz)` (voir figure ci-dessus). En effet, si on considère deux charges élémentaires égales
##dQ^\prime## et ##dQ^{\prime\prime}##
situées respectivement en ##M^\prime## et ##M^{\prime\prime}##, deux points du cercle diamétralement opposés et équidistants de `M`,
leurs champs électriques respectifs ##d\overrightarrow{E^\prime}## et ##d\overrightarrow{E^{\prime\prime}}## ont des
modules égaux, sont inclinés de part et d'autre de l'axe `Oz` d'une même inclinaison et sont contenus dans le plan passant les trois
points `M`, `M^\prime` et `M^{\prime\prime}`. La résultante de ces
deux champs élémentaires,
##\overrightarrow{dE}=\overrightarrow{dE^{\prime}}+ \overrightarrow{dE^{\prime\prime}}##, sera portée par l'axe `(Oz)`.
Ainsi, le champ électrique ##\overrightarrow{E}## créé par la charge `Q` au point `M`
qui est la somme de tous ces champs élémentaires, sera porté par l'axe `(Oz)`. Les deux autres composantes
recherchées, `E_x` et `E_y`, sont donc nulles.
Le champ électrique en un point de `M` de l'axe `(\Oz)` aura donc pour expression :
##\overrightarrow {E(z)}=KQ\dfrac{z}{\left(R^2+z^2\right)^{-\frac32} }\overrightarrow{k}##
3- Une particule de masse `m` et de charge `q>0` est lancée de l'infini le long de l'axe `Oz` vers le centre `O`. sachant que la particule atteint le point `O` avec une vitesse nulle, déterminer l'expression de sa vitesse initiale.
Réponse
Comme la charge `q` n'est soumise qu'à la seule force électrique conservative, l'énergie totale, ##E_T##,
de cette charge est donc constante.
En tout point M de l'espace, on a :
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+qV_{M}=constante##
Comme au point `O` ,on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{cO}=0\ J##, et on peut calculer le potentiel électrique, ##V_O=K\dfrac{Q }{R}##, il est possible de déterminer ## E_T## :
##E_T=E_{cO}+qV_{O}\implies## ##E_T=K\dfrac{qQ }{R}##
A l'infini, le potentiel ## V_{\infty}## est nul, puisque ##\lim_{z \to +\infty}V(z)=0\ V##. On aura ##E_{c\ \infty}+q V_{\infty}=K\dfrac{qQ }{R}\implies## ##E_{c\ \infty}=K\dfrac{qQ }{R}##
Comme ##E_{c\ \infty}=\dfrac12mv_\infty^2 \implies## ##\dfrac12mv_\infty^2 =K\dfrac{qQ }{R}\implies##
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+qV_{M}=constante##
Comme au point `O` ,on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{cO}=0\ J##, et on peut calculer le potentiel électrique, ##V_O=K\dfrac{Q }{R}##, il est possible de déterminer ## E_T## :
##E_T=E_{cO}+qV_{O}\implies## ##E_T=K\dfrac{qQ }{R}##
A l'infini, le potentiel ## V_{\infty}## est nul, puisque ##\lim_{z \to +\infty}V(z)=0\ V##. On aura ##E_{c\ \infty}+q V_{\infty}=K\dfrac{qQ }{R}\implies## ##E_{c\ \infty}=K\dfrac{qQ }{R}##
Comme ##E_{c\ \infty}=\dfrac12mv_\infty^2 \implies## ##\dfrac12mv_\infty^2 =K\dfrac{qQ }{R}\implies##
##v_\infty=\sqrt{\dfrac{2KqQ }{mR}}##
4-Calculer la force électrique soumise à la particule au point `O`.
Réponse
##\overrightarrow {F_O}=q\overrightarrow {E(0)}\implies##
##\overrightarrow {F_O}=qKQ\dfrac{0}{\left(R^2+0^2\right)^{-\frac32} }\overrightarrow{k}\implies##
##\overrightarrow {F_O}=0\overrightarrow{k}\implies##
##\left|\left|\overrightarrow {F_O}\right|\right|=0\ N##