Electricité : Distribution de charges continues :
Exercice n° 2 :
On considère une charge `Q>0` uniformément répartie sur un anneau circulaire de faible épaisseur, de centre `O` et de rayon `R` (voir figure ci-dessus). Soit `M` un point de l'axe `(Oz)`. Cet axe est perpendiculaire au plan contenant l'anneau, en 'O'.
1- Déterminer l'expression du champ électrique `\vec{E}` créé au point `M` par cette charge `Q` en fonction de `R`, `Q`, de la constante de Coulomb `K` et de la coordonnée `z` du point `M`.
Réponse
L'anneau est de faible épaisseur, par conséquent, sa densité de charge `\lamda` est linéique.
De plus, elle est constante puique `Q` est uniformément répartie sur cet anneau.
Notons par `l` la longueur du périmètre de l'anneau.
##\lambda=\dfrac{Q}{l}\implies## ##Q=\lambda l##
##\lambda=\dfrac{Q}{l}\implies## ##Q=\lambda l##
On considère deux charges élémentaires égales
##dQ_1## et ##dQ_2##
situées respectivement en ##M_1## et ##M_2##, deux points du cercle diamétralement opposés et équidistants de `M`,
leurs champs électriques respectifs ##d\overrightarrow{E_1}## et ##d\overrightarrow{E_2}## ont des
modules égaux, sont inclinés de part et d'autre de l'axe `Oz` d'une même inclinaison et sont contenus dans le plan ##(\Pi)## passant les trois
points `M`, `M_1` et `M_2`. La résultante de ces
deux champs élémentaires,
##\overrightarrow{dE}=\overrightarrow{dE_1}+ \overrightarrow{dE_2}##, sera portée par l'axe `(Oz)`.
Ainsi, le champ électrique ##\overrightarrow{E}## créé par la charge `Q` au point `M`
qui est la somme de tous ces champs élémentaires, sera porté par l'axe `(Oz)`. Les deux autres composantes,
`E_x` et `E_y`, sont donc nulles.
On représente sur la figure suivante le plan ##(\Pi)## :
On représente sur la figure suivante le plan ##(\Pi)## :
L'expression du champ électrique élémentaire ##\overrightarrow{dE}## créé au point `M` par les deux charge élémentaires
est :
##\overrightarrow{dE}=K\dfrac{dQ_1}{M_1M^2}\overrightarrow{u_{M_1 M}}+ K\dfrac{dQ_2}{M_2M^2}\overrightarrow{u_{M_2M}}\implies## ##\overrightarrow{dE}=K\dfrac{dQ}{M_1M^2}\left(\overrightarrow{u_{M_1 M}}+ \overrightarrow{u_{M_2M}}\right)\implies## ##\overrightarrow{dE}=K\dfrac{dQ}{M_1M^2}\left(sin(\alpha)\overrightarrow{u_{M_1M_2}}+cos(\alpha)\overrightarrow{k}\right)+ \left(sin(\alpha)\overrightarrow{u_{M_2M_1}}+cos(\alpha)\overrightarrow{k}\right)##
or ## \overrightarrow{u_{M_1M_2}}=-\overrightarrow{u_{M_2M_1}}##
##\overrightarrow{dE}=2K\dfrac{dQ}{M_1M^2}cos(\alpha)\overrightarrow{k}\implies## ##\overrightarrow{dE}=2K\dfrac{\lambda dl}{R^2+z^2} \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\overrightarrow{k}\implies## ##\overrightarrow{E}=2K\dfrac{\lambda z }{\left(R^2+z^2\right)^\frac32} \displaystyle\int_0^{\frac l2}dl\overrightarrow{k}\implies## ##\overrightarrow{E}=K\dfrac{\lambda lz}{\left(R^2+z^2\right)^\frac32}\overrightarrow{k} \implies##
##\overrightarrow{dE}=K\dfrac{dQ_1}{M_1M^2}\overrightarrow{u_{M_1 M}}+ K\dfrac{dQ_2}{M_2M^2}\overrightarrow{u_{M_2M}}\implies## ##\overrightarrow{dE}=K\dfrac{dQ}{M_1M^2}\left(\overrightarrow{u_{M_1 M}}+ \overrightarrow{u_{M_2M}}\right)\implies## ##\overrightarrow{dE}=K\dfrac{dQ}{M_1M^2}\left(sin(\alpha)\overrightarrow{u_{M_1M_2}}+cos(\alpha)\overrightarrow{k}\right)+ \left(sin(\alpha)\overrightarrow{u_{M_2M_1}}+cos(\alpha)\overrightarrow{k}\right)##
or ## \overrightarrow{u_{M_1M_2}}=-\overrightarrow{u_{M_2M_1}}##
##\overrightarrow{dE}=2K\dfrac{dQ}{M_1M^2}cos(\alpha)\overrightarrow{k}\implies## ##\overrightarrow{dE}=2K\dfrac{\lambda dl}{R^2+z^2} \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\overrightarrow{k}\implies## ##\overrightarrow{E}=2K\dfrac{\lambda z }{\left(R^2+z^2\right)^\frac32} \displaystyle\int_0^{\frac l2}dl\overrightarrow{k}\implies## ##\overrightarrow{E}=K\dfrac{\lambda lz}{\left(R^2+z^2\right)^\frac32}\overrightarrow{k} \implies##
##\overrightarrow{E}=K\dfrac{Qz}{\left(R^2+z^2\right)^\frac32}\overrightarrow{k}##
2- En déduire l'expression du potentiel électrique `V` créé au point `M`. On choisira `V(\infty)=0\ V`.
Réponse
Le potentiel électrique `V` est relié au champ électrique ##\overrightarrow{E}## par la relation :
##dV=-\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dl}\implies##
##dV=-E_xdx-E_ydy-E_zdz##
On recherche le potentiel le long de l'axe `(Oz)`, le déplacement élémentaire choisi sera donc égal à : ##\overrightarrow{dl}=dz \overrightarrow{k}##. La relation du potentiel se réduit à :
##dV=-E_zdz\implies## ##dV=-K\dfrac{Qz}{\left(R^2+z^2\right)^\frac32}dz##
On intègre cette dernière équation depuis l'infini à `z`:
##\displaystyle\int_{V(\infty)=0}^{V(z)}dV=-\displaystyle\int_{\infty}^{z}K\dfrac{Qz}{\left(R^2+z^2\right)^\frac32}dz\implies## ##V(z)=-KQ\displaystyle\int_{\infty}^{z}\dfrac{z}{\left(R^2+z^2\right)^\frac32}dz##
Posons ## u=R^2+z^2\implies## ##du=2z\ dz##
L'intégrale ##I=\displaystyle\int\dfrac{z}{\left(R^2+z^2\right)^\frac32}dz## s'exprime en fonction de `u` par :
##I=\dfrac12\displaystyle\int u^{-\frac32}du\implies## ##I=\dfrac12 \dfrac{u^{-\frac32+1}}{-\dfrac32+1}+constante\implies## ##I= -(R^2+z^2)^{-\frac12}+constante\implies## ##I= -\dfrac1{\sqrt{R^2+z^2}}+constante##
Le potentiel électrique en un point de `M` de l'axe `(\Oz)` aura donc pour expression :
##V(z)=KQ\left[\dfrac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}\right]_{\infty}^z\implies##
##V(z)=K\dfrac{Q}{\sqrt{R^2+z^2}}##
3- Une particule de masse `m` et de charge `q\lt 0` est abandonnée sans vitesse initiale
sur l'axe `Oz`en `z=R`.
a) Représenter qualitativement sur chaque coté de l'axe `Oz`, la force électrique appliquée sur la charge `q`.
En s'aidant de cette représentation, décrire le mouvement de `q`.
Réponse
La force électrique ##\overrightarrow{F}## agissant sur la charge `q` est reliée au champ électrique
##\overrightarrow{E}## par :
##\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}\implies##
##\overrightarrow{F}=K\dfrac{qQz}{\left(R^2+z^2\right)^\frac32}\overrightarrow{k}##
Du coté des `z\lt0`, le produit `qQz` est positif puisque `q\gt0` , `Q\gt0` et `z\lt0`. La force ##\overrightarrow{F}## et ##\overrightarrow{k}## sont de même sens.
Du coté des `z\gt0`, le produit `qQz` est négatif et la force ##\overrightarrow{F}## et ##\overrightarrow{k}## sont de sens opposés.
Pour `z=0`, La force est nulle.
Du coté des `z\lt0`, le produit `qQz` est positif puisque `q\gt0` , `Q\gt0` et `z\lt0`. La force ##\overrightarrow{F}## et ##\overrightarrow{k}## sont de même sens.
Du coté des `z\gt0`, le produit `qQz` est négatif et la force ##\overrightarrow{F}## et ##\overrightarrow{k}## sont de sens opposés.
Pour `z=0`, La force est nulle.
Lorqu'on abandonne cette particule sans vitesse initiale sur l'axe `(Oz)`, en `z=R`, elle se met en mouvement
le long de cet axe en se dirigeant vers `O` tout en accélérant,
puisque la force ##\overrightarrow{F}## est dirigée vers `O`.
Quand la particule dépasse `O`, ##\overrightarrow{F}## et la vitesse ##\overrightarrow{v}## sont de sens opposés, le mouvement devient décéléré jusqu'à ce que la particule s'arrête en `z=z_0`. Au moment de l'arrêt, la particule est soumise à une force non nulle, elle redémarre tout en accélérant jusqu'à redépasser `O` pour ensuite décélérer et rebrousser chemin en `z=R`. Ainsi La particule subira, en continu, des allers-retours entre `z=z_0` et `z=R`. Le mouvement de la particule est donc rectiligne, oscillatoire et périodique.
Quand la particule dépasse `O`, ##\overrightarrow{F}## et la vitesse ##\overrightarrow{v}## sont de sens opposés, le mouvement devient décéléré jusqu'à ce que la particule s'arrête en `z=z_0`. Au moment de l'arrêt, la particule est soumise à une force non nulle, elle redémarre tout en accélérant jusqu'à redépasser `O` pour ensuite décélérer et rebrousser chemin en `z=R`. Ainsi La particule subira, en continu, des allers-retours entre `z=z_0` et `z=R`. Le mouvement de la particule est donc rectiligne, oscillatoire et périodique.
Réponse
Comme la charge `q` n'est soumise qu'à la seule force électrique conservative, l'énergie totale, ##E_T##,
de cette charge est donc constante.
En tout point M de l'espace, on a :
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+qV_{M}=constante##
Au point `z=R`, on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{c}=0 \ J##, et on peut calculer le potentiel électrique, ##V(R)=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}##, il est alors possible de déterminer ## E_T## :
##E_T=qV(R)\implies## ##E_T=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##E_T=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}##
Aux points de rebroussement, l'énergie cinétique `E_c=0\ J`:
##E_c+qV(z_0)=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##qV(z_0)=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##K\dfrac{qQ}{\sqrt{R^2+z_0^2}}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##\sqrt{R^2+z_0^2}=\sqrt{2}R\implies## ##R^2+z_0^2=2R^2\implies## ##z_0^2=R^2\implies##
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+qV_{M}=constante##
Au point `z=R`, on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{c}=0 \ J##, et on peut calculer le potentiel électrique, ##V(R)=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}##, il est alors possible de déterminer ## E_T## :
##E_T=qV(R)\implies## ##E_T=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##E_T=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}##
Aux points de rebroussement, l'énergie cinétique `E_c=0\ J`:
##E_c+qV(z_0)=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##qV(z_0)=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##K\dfrac{qQ}{\sqrt{R^2+z_0^2}}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##\sqrt{R^2+z_0^2}=\sqrt{2}R\implies## ##R^2+z_0^2=2R^2\implies## ##z_0^2=R^2\implies##
##z_0=\pm R##
Pour déterminer la vitesse maximale, on exprime tout d'abord l'énergie cinétique ##E_{cM}## en fonction de
l'énergie potentielle ##E_{pM}:##
##E_{cM}+E_{pM}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##E_{cM}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}-E_{pM}##
D'après la formule précédente, l'énergie cinétique ##E_{cM}## est maximmale lorsque l'énergie potentielle ##E_{pM}## est minimale.
##E_{pM}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{R^2+z^2}}## est minimale pour `z=0`: ##E_{p\ min}=K\dfrac{qQ}{R}##
##E_{c\ max}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}-K\dfrac{qQ}{R}\implies## ##E_{c\ max}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}-K\dfrac{qQ}{R}\implies## ##E_{c\ max}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}-K\dfrac{qQ}{R}\implies## ##E_{c\ max}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}K\dfrac{qQ}{R}##
Comme ##E_{c\ max}=\dfrac{1}{2}mv_{max}^2##, on peut en déduire la vitesse maximale :
##\dfrac{1}{2}mv_{max}^2=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}K\dfrac{qQ}{R}\implies##
##E_{cM}+E_{pM}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}\implies## ##E_{cM}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}-E_{pM}##
D'après la formule précédente, l'énergie cinétique ##E_{cM}## est maximmale lorsque l'énergie potentielle ##E_{pM}## est minimale.
##E_{pM}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{R^2+z^2}}## est minimale pour `z=0`: ##E_{p\ min}=K\dfrac{qQ}{R}##
##E_{c\ max}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}-K\dfrac{qQ}{R}\implies## ##E_{c\ max}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}-K\dfrac{qQ}{R}\implies## ##E_{c\ max}=K\dfrac{qQ}{\sqrt{2}R}-K\dfrac{qQ}{R}\implies## ##E_{c\ max}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}K\dfrac{qQ}{R}##
Comme ##E_{c\ max}=\dfrac{1}{2}mv_{max}^2##, on peut en déduire la vitesse maximale :
##\dfrac{1}{2}mv_{max}^2=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}K\dfrac{qQ}{R}\implies##
##v_{max}=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{2}-1)KqQ}{mR}}##