Electricité : Distribution de charges continues :
Exercice n° 3 :
On considère une couronne circulaire, de centre `O` et de rayon `R_1` et `R_2` `(R_1\ltR_2)`, uniformément chargée de charge surfacique `\sigma\ (\sigma\gt0)` (voir figure ci-dessus). Soit `M` un point de l'axe `(x^\primeOx)`, axe perpendiculaire au plan `(yOz)` contenant la couronne, en `O`.
1- Montrer que le potentiel électrique `V_M(x)` créé par cette couronne au point `M` d'abscisse `x`,
est donnée par l'expression :
##V_M(x)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\left(x^2+R_2^2\right)^\frac12-\left(x^2+R_1^2\right)^\frac12\right]##
où `\epsilon_0` est la permittivité du vide.
Réponse
Considérons une couronne fine de rayon `r`, de centre `O`, d'épaisseur infinitésimale `e` égale à `dr`,
de pourtour `l` égal à `2\pi r` et de surface `dS=e*l=2\pi r dr`.
Tous les points de cette couronne fine sont équidistants de `M`. Soit `M_1` un de ces points.
##\overrightarrow{M_1 M}=\overrightarrow{M_1 O}+\overrightarrow{OM}\implies## ##\overrightarrow{M_1 M}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM_1}##
Le vecteur ##\overrightarrow{OM_1}## est contenu dans le plan `(yOz)` et le vecteur ##\overrightarrow{OM}## est sur l'axe `(Ox)`, par conséquent l'angle ##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM_1}\right)=\dfrac{\pi}2##. La distance `D` séparant tous les points de la couronne fine à `M` est égale à :
Tous les points de cette couronne fine sont équidistants de `M`. Soit `M_1` un de ces points.
##\overrightarrow{M_1 M}=\overrightarrow{M_1 O}+\overrightarrow{OM}\implies## ##\overrightarrow{M_1 M}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM_1}##
Le vecteur ##\overrightarrow{OM_1}## est contenu dans le plan `(yOz)` et le vecteur ##\overrightarrow{OM}## est sur l'axe `(Ox)`, par conséquent l'angle ##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM_1}\right)=\dfrac{\pi}2##. La distance `D` séparant tous les points de la couronne fine à `M` est égale à :
##D=\left|\left|\overrightarrow{M_1 M}\right|\right|\implies##
##D=\left|\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM_1 }\right|\right|\implies##
##D=\sqrt{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|^2+\left|\left|\overrightarrow{OM_1 }\right|\right|^2-
2\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|\left|\left|\overrightarrow{OM_1 }\right|\right|
cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM_1}\right)}
\implies##
##D=\sqrt{x^2+r^2-2xrcos\left(\dfrac{\pi}2\right)}\implies##
##D=\sqrt{x^2+r^2}##
La charge `dQ` portée par cette fine
couronne est égale à : `dQ=\sigma dS\implies dQ=2\sigma \pi r dr`.
Le potentiel `dV_M` créé par `dQ` au point `M` est :
##dV_M=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dQ}{D}\implies## ##dV_M=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2\sigma\pi r dr}{\sqrt{r^2+x^2}}\implies## ##dV_M=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{ r }{\sqrt{r^2+x^2}}dr\implies## ##V_M=\displaystyle\int_{R_1}^{R_2}\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{ r }{\sqrt{r^2+x^2}}dr##
`\sigma` est constante puisque la charge est uniformément répartie sur la surface de cette couronne, par conséquent:
##V_M=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\displaystyle\int_{R_1}^{R_2}\dfrac{ r }{\sqrt{r^2+x^2}}dr##
Posons ## u=r^2+x^2\implies## ##du=2r\ dr##
L'intégrale ##I=\displaystyle\int\dfrac{r}{\left(r^2+x^2\right)^\frac12}dr## s'exprime en fonction de `u` par :
##I=\dfrac12\displaystyle\int u^{-\frac12}du\implies## ##I=\dfrac12 \dfrac{u^{-\frac12+1}}{-\dfrac12+1}+constante\implies## ##I=u^{\frac12} +constante\implies## ##I= (r^2+x^2)^{\frac12}+constante##
Le potentiel électrique en un point de `M` de l'axe `(Ox)` aura donc pour expression :
##V_M(x)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(r^2+x^2)^{\frac12}\right]_{R_1}^{R_2}\implies##
Le potentiel `dV_M` créé par `dQ` au point `M` est :
##dV_M=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dQ}{D}\implies## ##dV_M=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2\sigma\pi r dr}{\sqrt{r^2+x^2}}\implies## ##dV_M=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{ r }{\sqrt{r^2+x^2}}dr\implies## ##V_M=\displaystyle\int_{R_1}^{R_2}\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{ r }{\sqrt{r^2+x^2}}dr##
`\sigma` est constante puisque la charge est uniformément répartie sur la surface de cette couronne, par conséquent:
##V_M=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\displaystyle\int_{R_1}^{R_2}\dfrac{ r }{\sqrt{r^2+x^2}}dr##
Posons ## u=r^2+x^2\implies## ##du=2r\ dr##
L'intégrale ##I=\displaystyle\int\dfrac{r}{\left(r^2+x^2\right)^\frac12}dr## s'exprime en fonction de `u` par :
##I=\dfrac12\displaystyle\int u^{-\frac12}du\implies## ##I=\dfrac12 \dfrac{u^{-\frac12+1}}{-\dfrac12+1}+constante\implies## ##I=u^{\frac12} +constante\implies## ##I= (r^2+x^2)^{\frac12}+constante##
Le potentiel électrique en un point de `M` de l'axe `(Ox)` aura donc pour expression :
##V_M(x)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(r^2+x^2)^{\frac12}\right]_{R_1}^{R_2}\implies##
##V_M(x)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(x^2+R_2^2)^{\frac12}-(x^2+R_1^2)^{\frac12}\right]##
2- En déduire l'expression du champ électrique `\vec{E_M}` créé au point `M`.
Réponse
Le champ électrique ##\overrightarrow{E}## est relié au potentiel `V` par la relation : ##\overrightarrow{E} =-\overrightarrow{grad} \left(V\right)##
En coordonnées cartésiennes, ##\overrightarrow{grad} =\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{i}+
\dfrac{\partial}{\partial y}\overrightarrow{j}+
\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{k}##
##\overrightarrow{E(x,y,z)} =-\dfrac{\partial V(x,y,z) }{\partial x}\overrightarrow{i}-
\dfrac{\partial V(x,y,z) }{\partial y}\overrightarrow{j}-\dfrac{\partial V(x,y,z) }{\partial z}\overrightarrow{k}
\implies ##
##\begin{cases}
E_x=-\dfrac{\partial V(x,y,z) }{\partial x}\\
E_y=-\dfrac{\partial V(x,y,z)}{\partial y}\\
E_z=-\dfrac{\partial V(x,y,z)}{\partial z}
\end{cases}##
Le potentiel qu'on a déterminé précédemment ##V=V(x,0,0)## n'est valable que pour ##y=z=0##.
Ainsi,`E_y` et `E_z` ne peuvent être déterminés à partir de la formule précédente puisque `y` et `z` sont déjà fixées.
Par contre, pour `E_x`, il est possible de le déterminer puisqu'on dérive par rapport à `x` en supposant `y` et `z` constants.
Remplacer `y` et `z` par leurs valeurs avant ou après la dérivation importe peu.
##E_x(x,y,z)=-\dfrac{\partial V\left(x,y,z\right) }{\partial x}\implies##
##E_x(x,0,0)=-\dfrac{\partial V\left(x,0,0\right) }{\partial x}\implies##
##E_x\left(x,0,0\right)=-\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(x^2+R_2^2)^{\frac12}-(x^2+R_1^2)^{\frac12}\right]\right)\implies##
##E_x\left(x,0,0\right)=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{\partial \left[(x^2+R_2^2)^{\frac12}-(x^2+R_1^2)^{\frac12}\right]}{\partial x}\implies##
##E_x\left(x,0,0\right)=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\dfrac12\right)(2x)\left[(x^2+R_2^2)^{-\frac12}-(x^2+R_1^2)^{-\frac12}\right]\implies##
##E_x\left(x,0,0\right)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac{x}{(x^2+R_1^2)^{\frac12}}-\dfrac{x}{(x^2+R_2^2)^{\frac12}}\right] ##
Pour les deux autres composantes de ##\overrightarrow{E}##, on les détermine en utilisant la symétrie du système
par rapport à l'axe `(Ox)` (voir figure ci-dessus). En effet, si on considère deux charges infinitésimales égales,
##dQ_1## et ##dQ_2##,
situées respectivement en ##M_1## et ##M_2##, deux points de la couronne diamétralement opposés et équidistants de `M`,
leurs champs électriques respectifs ##d\overrightarrow{E_1}## et ##d\overrightarrow{E_2}## ont des
modules égaux, sont inclinés de part et d'autre de l'axe `(Ox)` d'une même inclinaison et sont contenus dans le plan passant par les trois
points `M`, `M_1` et `M_2`. La résultante de ces
deux champs,
##\overrightarrow{dE}=\overrightarrow{dE_1}+ \overrightarrow{dE_2}##, sera portée par l'axe `(Ox)`.
Ainsi, le champ électrique ##\overrightarrow{E}## créé par la charge totale au point `M`
qui est la somme de tous ces champs infinitésimaux, sera porté par l'axe `(Ox)`. Les deux autres composantes
recherchées, `E_y` et `E_z,` sont donc nulles.
Le champ électrique en un point de `M` de l'axe `(Ox)` aura donc pour expression :
##\overrightarrow {E_M}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac{x}{(x^2+R_1^2)^{\frac12}}-\dfrac{x}{(x^2+R_2^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i}##
3- En déduire l'expression du champ électrique `\vec{E_M}` créé au point `M` par un disque de rayon `R`, uniformément chargé en surface de charge surfacique `\sigma`.
Réponse
On détermine `\vec{E_M}` à partir de l'expression obtenue à la question (2), en posant `R_1=0` et `R_2=R` :
##\overrightarrow {E_M}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac{x}{(x^2)^{\frac12}}-\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i}\implies## ##\overrightarrow {E_M}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac{x}{|x|}-\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i}\implies##
##\overrightarrow {E_M}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac{x}{(x^2)^{\frac12}}-\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i}\implies## ##\overrightarrow {E_M}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac{x}{|x|}-\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i}\implies##
##\overrightarrow {E_M}=\begin{cases}
-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[1+\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i} x\le0\\
\ \ \ \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[1-\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i} x\ge0
\end{cases}
##
4-En déduire l'expression du champ électrique `\vec{E_M}` créé au point `M` par un plan infini, uniformément chargé en surface de charge surfacique `\sigma`.
Réponse
On détermine `\vec{E_M}` à partir de l'expression obtenue à la question (3), en posant `R=+\infty` :
##\overrightarrow {E_M}=\begin{cases}
-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[1+\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i} x\le0\\
\ \ \ \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[1-\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i} x\ge0
\end{cases}
\implies
##
##\overrightarrow {E_M}=\begin{cases}
-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[1+0\right] \overrightarrow{i} x\le0\\
\ \ \ \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[1-0\right] \overrightarrow{i} x\ge0
\end{cases}
\implies
##
##\overrightarrow {E_M}=\begin{cases}
-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\overrightarrow{i} x\le0\\
\ \ \ \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \overrightarrow{i} x\ge0
\end{cases}
##
5- Dans le cas de la courrone, on lance une charge `q\gt0` de l'infini avec une énergie cinétique `E_{cM}(x=\infty)`. Quelle doit être la valeur de `E_{cM}(x=\infty)` pour que la distance d'approche minimale de la charge `q` (par rapport à la courrone circulaire) soit égale à `R_1`, en fonction de `R_1`, `R_2`, `q`, `\sigma` et `\epsilon_0.`
Réponse
Comme la charge `q` n'est soumise qu'à la seule force électrique conservative, l'énergie totale, ##E_T=E_{cM}+E_{pM}##, de cette charge est donc constante. En tout point M de l'espace, on a :## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+qV_{M}=constante##
Au point d'approche `x=R_1` , l'énergie cinétique, ##E_{cM}(x=R_1)=0\ J##, et on peut calculer le potentiel électrique
##V_{M}(x=R_1)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R_1^2+R_2^2)^{\frac12}-(R_1^2+R_1^2)^{\frac12}\right]\implies## ##V_{M}(x=R_1)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\sqrt{R_1^2+R_2^2}-\sqrt{2}R_1\right]##
et par suite ##E_T=E_{cM}(x=R_1)+qV_{M}(x=R_1)\implies####E_T=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0}\left[\sqrt{R_1^2+R_2^2}-\sqrt{2}R_1\right]##
A l'infini, ##V_{M}(x=\infty)=0\ J## ,
##E_T=E_{cM}(x=\infty)+qV_{M}(x=\infty)\implies####E_T=E_{cM}(x=\infty)\implies##
##E_{cM}(x=\infty)=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0}\left[\sqrt{R_1^2+R_2^2}-\sqrt{2}R_1\right]##