Electricité : Distribution de charges continues :
Exercice n° 4 :
On considère une couronne circulaire, de centre `O` et de rayon `R_1` et `R_2` `(R_1\ltR_2)`, uniformément chargée de charge surfacique `\sigma\ (\sigma\gt0)` (voir figure ci-dessus). Soit `M` un point de l'axe `(x^\primeOx)`, axe perpendiculaire au plan `(yOz)` contenant la couronne, en `O`.
1- Montrer que le champ électrique ##\overrightarrow{E_M}## créé par cette couronne au point `M` d'abscisse `x`,
est donnée par l'expression :
##\overrightarrow {E_M}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac{x}{(x^2+R_1^2)^{\frac12}}-\dfrac{x}{(x^2+R_2^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i}##
où `\epsilon_0` est la permittivité du vide.
Réponse
On considère une couronne fine de rayon `r`, de centre `O`, d'épaisseur infinitésimale `e` égale à `dr`,
de pourtour `l` égal à `2\pi r` et de surface `dS=e*l=2\pi r dr`.
La charge `dQ` portée par cette fine couronne est égale à : `dQ=\sigma dS\implies dQ=2\sigma \pi r dr`.
Tous les points de cette couronne fine sont équidistants de `M`. Soit `M_n` un de ces points (voir figure ci-dessus).
##\overrightarrow{M_n M}=\overrightarrow{M_n O}+\overrightarrow{OM}\implies## ##\overrightarrow{M_n M}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM_n}##
Le vecteur ##\overrightarrow{OM_n}## est contenu dans le plan `(yOz)` et le vecteur ##\overrightarrow{OM}## est sur l'axe `(x^\primeOx)`, par conséquent l'angle ##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM_n}\right)=\dfrac{\pi}2##.
La charge `dQ` portée par cette fine couronne est égale à : `dQ=\sigma dS\implies dQ=2\sigma \pi r dr`.
Tous les points de cette couronne fine sont équidistants de `M`. Soit `M_n` un de ces points (voir figure ci-dessus).
##\overrightarrow{M_n M}=\overrightarrow{M_n O}+\overrightarrow{OM}\implies## ##\overrightarrow{M_n M}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM_n}##
Le vecteur ##\overrightarrow{OM_n}## est contenu dans le plan `(yOz)` et le vecteur ##\overrightarrow{OM}## est sur l'axe `(x^\primeOx)`, par conséquent l'angle ##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM_n}\right)=\dfrac{\pi}2##.
La distance `D` entre `M` et `M_n` est égale à :
##D=\left|\left|\overrightarrow{M_n M}\right|\right|\implies##
##D=\left|\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM_n }\right|\right|\implies##
##D=\sqrt{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|^2+\left|\left|\overrightarrow{OM_n }\right|\right|^2-
2\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|\left|\left|\overrightarrow{OM_n }\right|\right|
cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM_n}\right)}
\implies##
##D=\sqrt{x^2+r^2-2xrcos\left(\dfrac{\pi}2\right)}\implies##
##D=\sqrt{x^2+r^2}##
La charge infinitésimale ##dQ_n## située en `M_n,` crée en `M` un champ électrique ##d\overrightarrow{E_n}## égal à :
##d\overrightarrow{E_n}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dQ_n}{D^2}\overrightarrow{u_{M_nM}}\implies## ##d\overrightarrow{E_n}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma dS_n}{D^2}\overrightarrow{u_{M_nM}}##
##d\overrightarrow{E_n}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dQ_n}{D^2}\overrightarrow{u_{M_nM}}\implies## ##d\overrightarrow{E_n}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma dS_n}{D^2}\overrightarrow{u_{M_nM}}##
En utilisant la symétrie du système, par rapport à l'axe `(x^\primeOx)`,
on peut montrer que le champ électrique est porté par cet axe.
Soient deux charges infinitésimales égales (voir figure ci-dessous),
##dQ_1## et ##dQ_2##,
situées respectivement en ##M_1## et ##M_2##, deux points de la couronne diamétralement opposés et équidistants de `M`,
leurs champs électriques respectifs ##d\overrightarrow{E_1}## et ##d\overrightarrow{E_2}## ont des
modules égaux, sont inclinés de part et d'autre de l'axe `(x^\primeOx)` d'une même inclinaison et sont contenus dans le plan ##(\Pi)## passant par les trois
points `M`, `M_1` et `M_2`. La résultante de ces
deux champs,
##\overrightarrow{dE}=\overrightarrow{dE_1}+ \overrightarrow{dE_2}##, sera portée par l'axe `(x^\primeOx)`.
Ainsi, le champ électrique ##\overrightarrow{E}## créé par la charge totale au point `M`
qui est la somme de tous ces champs infinitésimaux, sera porté par l'axe `(x^\primeOx)`. Les composantes
`E_y` et `E_z` sont nulles.
On projette ##d\overrightarrow{E_n}## sur l'axe `(x^\primeOx)` :
##d\overrightarrow{E_{nx}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma dS_n}{D^2}cos(\alpha)\overrightarrow{i}##
or ## cos(\alpha)=\dfrac{x}{D}##
##d\overrightarrow{E_{nx}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma x dS_n}{D^3}\overrightarrow{i}##
Le champ électrique ##d\overrightarrow{E_{Mx}}## créé par tous les points de cette fine couronne en `M`, est la somme de tous ces champs infinitésimaux ##d\overrightarrow{E_{nx}}## :
##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\displaystyle\sum_nd\overrightarrow{E_{nx}}\implies## ##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\displaystyle\sum_n\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma x dS_n}{D^3}\overrightarrow{i}\implies## ##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma x \displaystyle\sum_ndS_n}{D^3}\overrightarrow{i}\implies## ##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma x dS}{D^3}\overrightarrow{i}##
##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma 2\pi xr dr}{(x^2+r^2)^\frac{3}{2}}\overrightarrow{i}\implies## ##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{ xr dr}{(x^2+r^2)^\frac{3}{2}}\overrightarrow{i}\implies## ##\overrightarrow{E_{Mx}}=\displaystyle\int_{R_1}^{R_2}\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{ xrdr }{\left(r^2+x^2\right)^{\frac32}}\overrightarrow{i}##
`\sigma` est constante puisque la charge est uniformément répartie sur la surface de cette couronne et que `x` est indépendant de `r`, par conséquent:
##\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{\sigma x}{2\epsilon_0}\displaystyle\int_{R_1}^{R_2}\dfrac{ rdr }{\left(r^2+x^2\right)^{\frac32}}\overrightarrow{i}##
On pose ## u=r^2+x^2\implies## ##du=2r\ dr##
L'intégrale ##I=\displaystyle\int\dfrac{r}{\left(r^2+x^2\right)^\frac32}dr## s'exprime en fonction de `u` par :
##I=\dfrac12\displaystyle\int u^{-\frac32}du\implies## ##I=\dfrac12 \dfrac{u^{-\frac32+1}}{-\dfrac32+1}+constante\implies## ##I=-u^{-\frac12} +constante\implies## ##I= -(r^2+x^2)^{-\frac12}+constante##
Le champ électrique,##\overrightarrow{E_{M}}=\overrightarrow{E_{Mx}}##, en un point de `M` de l'axe `(x^\primeOx)` aura donc pour expression :
##\overrightarrow{E_{M}}=-\dfrac{\sigma x}{2\epsilon_0}\left[(r^2+x^2)^{-\frac12}\right]_{R_1}^{R_2}\overrightarrow{i}\implies##
or ## cos(\alpha)=\dfrac{x}{D}##
##d\overrightarrow{E_{nx}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma x dS_n}{D^3}\overrightarrow{i}##
Le champ électrique ##d\overrightarrow{E_{Mx}}## créé par tous les points de cette fine couronne en `M`, est la somme de tous ces champs infinitésimaux ##d\overrightarrow{E_{nx}}## :
##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\displaystyle\sum_nd\overrightarrow{E_{nx}}\implies## ##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\displaystyle\sum_n\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma x dS_n}{D^3}\overrightarrow{i}\implies## ##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma x \displaystyle\sum_ndS_n}{D^3}\overrightarrow{i}\implies## ##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma x dS}{D^3}\overrightarrow{i}##
##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma 2\pi xr dr}{(x^2+r^2)^\frac{3}{2}}\overrightarrow{i}\implies## ##d\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{ xr dr}{(x^2+r^2)^\frac{3}{2}}\overrightarrow{i}\implies## ##\overrightarrow{E_{Mx}}=\displaystyle\int_{R_1}^{R_2}\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{ xrdr }{\left(r^2+x^2\right)^{\frac32}}\overrightarrow{i}##
`\sigma` est constante puisque la charge est uniformément répartie sur la surface de cette couronne et que `x` est indépendant de `r`, par conséquent:
##\overrightarrow{E_{Mx}}=\dfrac{\sigma x}{2\epsilon_0}\displaystyle\int_{R_1}^{R_2}\dfrac{ rdr }{\left(r^2+x^2\right)^{\frac32}}\overrightarrow{i}##
On pose ## u=r^2+x^2\implies## ##du=2r\ dr##
L'intégrale ##I=\displaystyle\int\dfrac{r}{\left(r^2+x^2\right)^\frac32}dr## s'exprime en fonction de `u` par :
##I=\dfrac12\displaystyle\int u^{-\frac32}du\implies## ##I=\dfrac12 \dfrac{u^{-\frac32+1}}{-\dfrac32+1}+constante\implies## ##I=-u^{-\frac12} +constante\implies## ##I= -(r^2+x^2)^{-\frac12}+constante##
Le champ électrique,##\overrightarrow{E_{M}}=\overrightarrow{E_{Mx}}##, en un point de `M` de l'axe `(x^\primeOx)` aura donc pour expression :
##\overrightarrow{E_{M}}=-\dfrac{\sigma x}{2\epsilon_0}\left[(r^2+x^2)^{-\frac12}\right]_{R_1}^{R_2}\overrightarrow{i}\implies##
##\overrightarrow{E_{M}}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac x{\sqrt{x^2+R_1^2}}-\dfrac x{\sqrt{x^2+R_2^2}}\right]\overrightarrow{i}##
2- En déduire l'expression du potentiel électrique `V_M` créé au point `M`. On choisira `V(\infty)=0\ V.`
Réponse
Le potentiel électrique `V` est relié au champ électrique ##\overrightarrow{E}## par la relation : ##dV=-\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dl}\implies## ##dV=-E_xdx-E_ydy-E_zdz##On recherche le potentiel le long de l'axe `(x^\primeOx)`, le déplacement infinitésimal choisi sera donc égal à : ##\overrightarrow{dl}=dx \overrightarrow{i}##. La relation du potentiel se réduit à :
##dV=-E_xdx\implies## ##dV=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac x{\sqrt{x^2+R_1^2}}-\dfrac x{\sqrt{x^2+R_2^2}}\right]dx##
On intègre cette dernière équation depuis l'infini à `x`:
##\displaystyle\int_{V(\infty)=0}^{V_M}dV=
-\displaystyle\int_{\infty}^{x}\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac x{\sqrt{x^2+R_1^2}}-\dfrac x{\sqrt{x^2+R_2^2}}\right]dx\implies##
##V_M=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\displaystyle\int_{\infty}^{x}\left[\dfrac x{\sqrt{x^2+R_1^2}}-\dfrac x{\sqrt{x^2+R_2^2}}\right]dx##Posons ## u=R_n^2+x^2## où ##n=1, 2 \implies## ##du=2x\ dx##
L'intégrale ##I=\displaystyle\int\dfrac{x}{\left(R_n^2+x^2\right)^\frac12}dx## s'exprime en fonction de `u` par :
##I=\dfrac12\displaystyle\int u^{-\frac12}du\implies## ##I=\dfrac12 \dfrac{u^{-\frac12+1}}{-\dfrac12+1}+constante\implies## ##I= (R_n^2+x^2)^{\frac12}+constante##
Le potentiel électrique en un point de `M` de l'axe `(x^\primeOx)` aura donc pour expression :
##V_M=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R_2^2+x^2)^{\frac12}-(R_1^2+x^2)^{\frac12}\right]_{\infty}^x\implies##
##V_M=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R_2^2+x^2)^{\frac12}-(R_1^2+x^2)^{\frac12}\right]##
3- En déduire l'expression du potentiel électrique `V_M` créé au point `M` par un disque de rayon `R`, uniformément chargé en surface de charge surfacique `\sigma`.
Réponse
On détermine `V_M` à partir de l'expression obtenue à la question (2), en posant `R_1=0` et `R_2=R` :
##V_M=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R^2+x^2)^{\frac12}-(0^2+x^2)^{\frac12}\right]\implies##
##V_M=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R^2+x^2)^{\frac12}-|x|\right]\implies##
##V_M=\begin{cases}
\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R^2+x^2)^{\frac12}+x\right] x\le0\\
\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R^2+x^2)^{\frac12}-x\right] x\ge0
\end{cases}
##
4-Peut-on en déduire l'expression du potentiel électrique `V_M` créé au point `M` par un plan infini, uniformément chargé en surface de charge surfacique `\sigma`, en utilisant le résultat de la question 2. Sinon, comment y remédier ?
Réponse
Pour un plan infini, `R_2` est infini, alors que l'intégration effectuée dans la question 2 pour exprimer `V_M` , `R_2` est supposé fini.
Ainsi, on ne peut utiliser la formule obtenue à la question 2 pour exprimer le potentiel `V_M.` Pour y remédier,
il suffit de faire tendre `R_2` vers l'infini et poser `R_1=0` dans l'expression du champ électrique `E_M` puis
procéder à l'intégration.
##\overrightarrow {E_M}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac{x}{(x^2+0^2)^{\frac12}}-\dfrac{x}{(x^2+\infty^2)^{\frac12}}\right] \overrightarrow{i}\implies##
##\overrightarrow {E_M}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{x}{|x|} \overrightarrow{i}\implies##
##\overrightarrow {E_M}=\begin{cases}
-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \overrightarrow{i} x\le0\\
\ \ \ \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\overrightarrow{i} x\ge0
\end{cases}
##
##dV=-E_xdx\implies##
##dV=\begin{cases}
\ \ \ \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} dx x\le0\\
-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}dx x\ge0
\end{cases}
##
On choisit `V(0)=0V.`
##\displaystyle\int_{V(0)=0}^{V_M}dV=\begin{cases}
\ \ \ \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \displaystyle\int_{0}^{x}dx x\le0\\
-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\displaystyle\int_{0}^{x}dx x\ge0
\end{cases}
\implies
##
##V_M=\begin{cases}
\ \ \ \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}x x\le0\\
-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}x x\ge0
\end{cases}
##
5- Une charge, `q\lt0`, se déplace le long de l'axe `(x^\prime Ox)` de la couronne.
a) Représenter l'allure du graphe de l'énergie potentielle `E_p(x)` de `q` et la force électrique qui s'y applique sur elle sur l'axe des `x`.
Réponse
Etude de la fonction énergie potentielle `E_p(x)` de la charge de `q`:
##E_p(x)=qV(x)\implies## ##E_p(x)=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R_2^2+x^2)^{\frac12}-(R_1^2+x^2)^{\frac12}\right]##
##E_p(x)=qV(x)\implies## ##E_p(x)=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R_2^2+x^2)^{\frac12}-(R_1^2+x^2)^{\frac12}\right]##
-
Domaine de définition : ℝ
-
Parité : `E_p(x)=E_p(-x) \implies` paire , on restraint l'étude à ℝ⁺
-
Limite :
##\lim\limits_{x \to +\infty} E_p(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0}\left[(R_2^2+x^2)^{\frac12} -(R_1^2+x^2)^{\frac12}\right]\right)=+\infty-\infty##forme indéterminée
On tranforme l'expression de `E_p(x)` pour lever l'indétermination :
##\left[(R_2^2+x^2)^{\frac12}-(R_1^2+x^2)^{\frac12}\right]=x\left[\left(1+\left(\dfrac{R_2}{x}\right)^2\right)^{\frac12}- \left(1+\left(\dfrac{R_1}{x}\right)^2\right)^{\frac12}\right]##
Comme ##x \rightarrow +\infty \implies \dfrac{1}{x}\rightarrow 0^+##, on peut développer la racine carrée au premier ordre :
##x\left[\left(1+\left(\dfrac{R_2}{x}\right)^2\right)^{\frac12}- \left(1+\left(\dfrac{R_1}{x}\right)^2\right)^{\frac12}\right]\approx x\left[\left(1+{\dfrac12}\left(\dfrac{R_2}{x}\right)^2\right)- \left(1+{\dfrac12}\left(\dfrac{R_1}{x}\right)^2\right)\right]\approx \dfrac{R_2^2-R_1^2}{x}##
##\lim\limits_{x \to +\infty} E_p(x)=\dfrac{q\sigma\left(R_2^2-R_1^2\right)}{2\epsilon_0}\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{1}{x}\right)\implies## ##\lim\limits_{x \to +\infty} E_p(x)=0^-## puisque ## R_2\gt R_1## , ##q\lt 0## et ##\sigma \gt 0##, le produit ##\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0} \left(R_2^2-R_1^2\right)\lt 0##
La fonction ## E_p(x)## présente à ##+\infty##, une asymptote ## E_p=0 \ J##.
-
Dérivée : ##\dfrac{dE_p(x)}{dx}=q\dfrac{dV(x)}{dx} \implies## ##\dfrac{dE_p(x)}{dx}=-qE(x) ##
## R_2\gt R_1\gt 0\implies## ## R_2^2\gt R_1^2\implies#### R_2^2+x^2\gt R_1^2+x^2\implies## ## \dfrac1{\sqrt{R_2^2+x^2}}\gt \dfrac1{\sqrt{R_1^2+x^2}}\implies## ## \dfrac{x}{\sqrt{R_2^2+x^2}}\ge \dfrac{x}{\sqrt{R_1^2+x^2}}\implies## ## \dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{x}{\sqrt{R_2^2+x^2}}\le \dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{x}{\sqrt{R_1^2+x^2}}\implies## ## -\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{x}{\sqrt{R_2^2+x^2}}\ge -\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{x}{\sqrt{R_1^2+x^2}}\implies## ## -q\left(\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left[\dfrac{x}{\sqrt{R_2^2+x^2}}- \dfrac{x}{\sqrt{R_1^2+x^2}}\right]\right)\ge 0\implies## ## -qE(x)\ge 0\implies## ##\dfrac{dE_p(x)}{dx}\ge 0 \forall x\ge0##
La fonction ## E_p(x)## est croissante dans ℝ⁺.
Détermination des extrema: ##\dfrac{dE_p(x)}{dx}=-qE(x) =0 \ N\implies ## ##E(x) =0 \ V/m\implies ## ##x=0\ m ##
Comme ##E_p(x)## est croissante dans ℝ⁺, cet extremum est un minimum. Sa valeur est ##E_{pmin}=E_p(0)\implies## ##E_{pmin}=\dfrac{q\sigma}{2\epsilon_0} \left(R_2-R_1\right)##
Etude de la force électrique ##\overrightarrow{F}(x)## appliquée sur la charge `q`:
##\overrightarrow{F}(x)= q\overrightarrow{E_{M}}\implies## ##\overrightarrow{F}(x)= qE_{M}\overrightarrow{i}\implies## ##\overrightarrow{F}(x)=-\dfrac{dE_p(x)}{dx}\overrightarrow{i}\implies## ##\overrightarrow{F}(x)={F}(x)\overrightarrow{i}## où ##{F}(x)=-\dfrac{dE_p(x)}{dx}\implies## ##\begin{cases} F(x\lt0)\gt0 \\ F(x=0)=0 \ N\\ F(x\gt0)\lt0 \\ \end{cases}##
b) Discuter briévement la nature de son mouvement en fonction de la valeur de son énergie totale `E_T.` Envisager tous les cas possibles.
Réponse
Comme la charge `q` n'est soumise qu'à la seule force électrique conservative, l'énergie totale, ##E_T=E_{cM}+E_{pM}##, de cette charge est donc constante. En tout point M de l'espace, on a :## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies## ##E_{cM}+qV_{M}=constante##
La valeur de cette constante dépendra des conditions initiales (vitesse initiale et point de départ).
## E_T=E_{cM}+E_{pM}\implies## ##E_{cM}= E_T-E_{pM}\implies## ## E_T-E_{pM}\ge0\implies## ## E_T\ge E_{pM}\implies## ## E_T\ge E_{pmin}##
-
##E_T= E_{pmin}##:
##\begin{cases} E_c=0 \ J \implies v=0\ m/s\\ x=0 \ m \implies F(0)=0\ N\\ \end{cases} \implies ## La charge `q` est immobile.
-
##E_{pmin}\lt E_T\lt 0 \ J ##:
Aux deux positions symétriques ## (x=-x_0## et ##x=x_0)## de part et d'autre de `O`, où ##E_T=E_{pM}##, l'énergie cinétique est nulle. Lorsque la charge y est, elle s'arrête et rebrousse chemin, la force électrique non nulle la rappelle au point `O`.
Au point `O`, l'énergie potentielle de cette charge est minimale, sa vitesse est donc maximale.
Il y a une alternance de phases accélérées et décélérées. Le mouvement de la charge `q` est donc rectiligne oscillatoire autour de `O`.
-
## E_T\ge 0 \ J ##:
Deux cas sont envisageables :
- La charge est lancée vers le point `O` le long de `(x^\primeOx)`: Le mouvement est rectiligne et accéléré jusqu'à ce la charge atteingne le point `O` puis décéléré pour tendre vers une vitesse limite à l'infini.
- La charge est lancée le long de `(x^\primeOx)` pour s'éloigner du point `O`: Le mouvement est rectiligne décéléré pour tendre vers une vitesse limite à l'infini.