Electricité : Distribution de charges continues :
Exercice n° 7 :
Une distribution continue de charge électrique négative, de charge volumique `\rho_0\lt0`, est répartie uniformément dans un volune sphérique de rayon `R_e` et de centre `O` (voir figure ci-dessus).
1-a) Déterminer les expressions du champ électrique `\vec{E}` en fonction de la coordonnée sphérique radiale `r`, créé par cette distribution dans les régions de l'espace :
- `r\leR_e`
- `r\gtR_e`.
Réponse
Pour les systèmes de charge à symétrie, le théorème de Gauss est un outil très utile pour la détermination
du champ électrique. La surface de Gauss choisie est une surface fermée englobant une charge
électrique ##Q_{int}##, elle est généralement de forme géométrique simple et connue.
Le champ électrique est soit normal à cette surface avec une intensité constante ou soit
tangent. Ces deux hypothèses faciliteront grandement le calcul du flux.
Dans le cas d'une distribution continue de charge électrique répartie uniformément dans un volune sphérique de centre `O`, la distribution est à symétrie sphérique. Les surfaces équipotentielles sont des surfaces de sphères concentriques de centre `O` et de rayon `r` et les lignes de champ sont des droites concourantes en `O`. Le champ électrique est donc radial et son intensité ne dépend que de `r `. Ainsi, il est tout a fait naturel de choisir comme surface de Gauss une surface équipotentielle où le champ lui est normal et a la même intensité.
##\vec E=E(r)\vec u_r##
Dans le cas d'une distribution continue de charge électrique répartie uniformément dans un volune sphérique de centre `O`, la distribution est à symétrie sphérique. Les surfaces équipotentielles sont des surfaces de sphères concentriques de centre `O` et de rayon `r` et les lignes de champ sont des droites concourantes en `O`. Le champ électrique est donc radial et son intensité ne dépend que de `r `. Ainsi, il est tout a fait naturel de choisir comme surface de Gauss une surface équipotentielle où le champ lui est normal et a la même intensité.
##\vec E=E(r)\vec u_r##
Le flux de `\vec E` à travers cette surface est égal :
##\displaystyle\iint_S \vec E.d\vec S=\displaystyle\iint_S (E \vec u_r).(dS\vec u_r) \implies##
##\displaystyle\iint_S \vec E.d\vec S=\displaystyle\iint_S EdS##
Comme l'intensité , E, du champ électrique est constante sur cette surface et que l'intégration se fait sur cette surface, il est donc possible de le sortir du signe d'intégration :
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=E\displaystyle\iint_SdS\implies##
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=ES\implies##
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=E4\pi r^2##
D'après le théorème de Gauss ce flux est relié à la charge interne ##Q_{int}## par:
##\displaystyle\iint_S\vec E.d\vec S=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies##
##E4\pi r^2=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}\implies##
##E=\dfrac{Q_{int}}{4\pi r^2\epsilon_0}##
Il reste à déterminer ##Q_{int}## qui se trouve à l'intérieur du volume, `v (r)`, de la sphère de rayon `r`. La charge électrique, est répartie uniformément dans un volune sphérique de rayon `R_e`, sa charge volumique `\rho_0\lt0` est donc constante pour `r\le R_e` et nulle pour `r\gt R_e`. Deux cas sont à étudier:
- `r\leR_e`
## Q_{int}=\displaystyle\iiint_{v(r)} \rho_0 dv\implies## ## Q_{int}=\rho_0 \displaystyle\iiint_{v(r)} dv\implies## ## Q_{int}=\rho_0 v(r)\implies## ## Q_{int}=\rho_0 \dfrac43 \pi r^3##
On remplace cette dernière expression dans l'expression de `E` :
##E=\dfrac{\rho_0 \dfrac43 \pi r^3}{4\pi r^2\epsilon_0}\implies## ##E=\dfrac{\rho_0}{3\epsilon_0}r##
- `r\gtR_e`
Le volume `v(r)` peut être décomposé en deux volume `v(R_e)` et le volume restant `v_{res}`
## Q_{int}=\displaystyle\iiint_{v(R_e)} \rho_0 dv+\displaystyle\iiint_{v_{res}} 0\ dv\implies##
## Q_{int}=\rho_0\displaystyle\iiint_{v(R_e)} dv+0\implies##
## Q_{int}=\rho_0 v(R_e) \implies##
## Q_{int}=\rho_0 \dfrac43 \pi R_e^3##
On remplace cette dernière expression dans l'expression de `E` :
##E=\dfrac{\rho_0 \dfrac43 \pi R_e^3}{4\pi r^2\epsilon_0}\implies##
##E=\dfrac{\rho_0 R_e^3}{3\epsilon_0 r^2} ##
##\vec E=
\begin{cases}
\dfrac{\rho_0}{3\epsilon_0}r\ \vec u_r r\le R_e\\
\dfrac{\rho_0 R_e^3}{3\epsilon_0 r^2}\ \vec u_r r\gt R_e
\end{cases}
##
1-b)-En déduire les expressions du potentiel électrique `V(r)` en tout point de l'espace. On choisit `V(0)=0\ V` .
Réponse
La continuité et la circulation du champ électrique le long d'une droite radiale permet de déterminer le potentiel électrique `V(r)`:
##\displaystyle\int_{V(M_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{M_0M} \vec E .d\vec l## ##\displaystyle\int_{V(r_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{r_0}^{r} (E\vec u_r) (dr\vec u_r)\implies## ##V(r)-V(r_0)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr\implies## ##V(r)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr +V(r_0)##
##\displaystyle\int_{V(M_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{M_0M} \vec E .d\vec l## ##\displaystyle\int_{V(r_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{r_0}^{r} (E\vec u_r) (dr\vec u_r)\implies## ##V(r)-V(r_0)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr\implies## ##V(r)=-\displaystyle\int_0^r E\ dr +V(r_0)##
- `r\leR_e`
##V(r)=-\displaystyle\int_0^r \dfrac{\rho_0}{3\epsilon_0}r\ dr+V(0)\implies## ##V(r)=-\dfrac{\rho_0}{2\epsilon_0}r^2##
##V(R_e)=-\dfrac{\rho_0}{2\epsilon_0}R_e^2##
- `r\ge R_e`
##V(r)=-\displaystyle\int_{R_e}^r \dfrac{\rho_0 R_e^3}{3\epsilon_0 r^2}\ dr+V(R_e)\implies##
##V(r)=\dfrac{\rho_0 R_e^3}{6\epsilon_0r}|_{R_e}^r-\dfrac{\rho_0}{2\epsilon_0}R_e^2\implies##
##V(r)=\dfrac{\rho_0 R_e^3}{6\epsilon_0r}-\dfrac{\rho_0 R_e^3}{6\epsilon_0R_e}-\dfrac{\rho_0}{2\epsilon_0}R_e^2\implies##
##V(r)=\dfrac{\rho_0 R_e^3}{6\epsilon_0r}-\dfrac{\rho_0 }{6\epsilon_0}R_e^2-\dfrac{\rho_0}{2\epsilon_0}R_e^2\implies##
##V(r)=\dfrac{\rho_0 R_e^3}{6\epsilon_0r}-\dfrac{2\rho_0 }{3\epsilon_0}R_e^2##
##V(r)=
\begin{cases}
-\dfrac{\rho_0}{2\epsilon_0}r^2 r\le R_e\\
\dfrac{\rho_0 R_e^3}{6\epsilon_0r}-\dfrac{2\rho_0 }{3\epsilon_0}R_e^2 r\ge R_e
\end{cases}
##
1-c) Tracer les deux graphes `E(r)` et `V(r)`
Réponse
On enlève autour de `O` une partie sphérique de rayon `R_i\ltR_e`, à cette distribution tout en conservant la charge volumique égale à `\rho_0` (voir figure ci-dessous).
2-a) Déterminer les nouvelles expressions du champ électrique `\vec{E}` dans les régions de l'espace :
- `r\ltR_i`
- `R_i\lt r\ltR_e`
- `r\gtR_e`.
Réponse
Le système est toujours à symétrie sphérique, la fornule du flux du champ électrique à travers une surface équipotentielle obtenue à la question 1c reste valide.- `r\ltR_i`
- `R_i\lt r\lt R_e`
## Q_{int}=\displaystyle\iiint_{v(r)} \rho dv\implies## ## Q_{int}= \displaystyle\iiint_{v(R_i)} 0\ dv+\displaystyle\iiint_{v(r)-v(R_i)} \rho_0\ dv \implies## ## Q_{int}= \displaystyle\iiint_{v(R_e)-v(R_i)} \rho_0\ dv\implies## ## Q_{int}=\rho_0 (v(r)-v(R_i))\implies## ## Q_{int}=\rho_0 \dfrac43 \pi (r^3-R_i^3)##
On remplace cette dernière expression dans l'expression de `E` :
##E=\dfrac{\rho_0 \dfrac43 \pi (r^3-R_i^3)}{4\pi r^2\epsilon_0}\implies## ##E=\dfrac{\rho_0} {3\epsilon_0} \left(r-\dfrac{R_i^3}{r^2}\right)##
- `r\gtR_e`
## Q_{int}=\displaystyle\iiint_{v(r)} \rho dv\implies#### Q_{int}= \displaystyle\iiint_{v(R_i)} 0\ dv+\displaystyle\iiint_{v(R_e)-v(R_i)} \rho_0\ dv +\displaystyle\iiint_{v(r)-v(R_e)} \ 0\ dv\implies#### Q_{int}= \displaystyle\iiint_{v(R_e)-v(R_i)} \rho_0\ dv\implies## ## Q_{int}=\rho_0 (v(R_e)-v(R_i))\implies## ## Q_{int}=\rho_0 \dfrac43 \pi (R_e^3-R_i^3)##
On remplace cette dernière expression dans l'expression de `E` :
##E=\dfrac{\rho_0 \dfrac43 \pi (R_e^3-R_i^3)}{4\pi r^2\epsilon_0}\implies## ##E=\dfrac{\rho_0(R_e^3-R_i^3)}{3\epsilon_0r^2}##
## Q_{int}=\displaystyle\iiint_{v(R_i)} \rho dv\implies##
## Q_{int}=\displaystyle\iiint_{v(R_i)} 0 dv\implies##
## Q_{int}=0\ C##
On remplace cette dernière expression dans l'expression de `E` :
##E=\dfrac{0}{4\pi r^2\epsilon_0}\implies##
##E=0\ V/m ##
##\vec E=
\begin{cases}
0\ \vec u_r r\lt R_i\\
\ \\
\dfrac{\rho_0} {3\epsilon_0} \left(r-\dfrac{R_i^3}{r^2}\right)\ \vec u_r R_i\le r\le R_e\\
\ \\
\dfrac{\rho_0(R_e^3-R_i^3)}{3\epsilon_0r^2}\ \vec u_r r\gt R_e
\end{cases}
##
Réponse
La continuitéLa et la circulation du champ électrique le long d'une droite radiale permet de déterminer le potentiel électrique `V(r)`:
##\displaystyle\int_{V(M_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{M_0M} \vec E .d\vec l\implies## ##\displaystyle\int_{V(r_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{r_0}^{r} (E\vec u_r) (dr\vec u_r)\implies## ##V(r)-V(r_0)=-\displaystyle\int_{r_0}^r E\ dr\implies## ##V(r)=-\displaystyle\int_{r_0}^r E\ dr +V(r_0)##
##\displaystyle\int_{V(M_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{M_0M} \vec E .d\vec l\implies## ##\displaystyle\int_{V(r_0)}^{V(r)}dV=-\displaystyle\int_{r_0}^{r} (E\vec u_r) (dr\vec u_r)\implies## ##V(r)-V(r_0)=-\displaystyle\int_{r_0}^r E\ dr\implies## ##V(r)=-\displaystyle\int_{r_0}^r E\ dr +V(r_0)##
- `r\geR_e`
##V(r)=-\displaystyle\int_{\infty}^r \dfrac{\rho_0(R_e^3-R_i^3)}{3\epsilon_0r^2}\ dr+V(\infty)\implies## ##V(r)=\dfrac{\rho_0(R_e^3-R_i^3)}{3\epsilon_0r}##
##V(R_e)=\dfrac{\rho_0(R_e^3-R_i^3)}{3\epsilon_0R_e}##
- `R_i\le r\le R_e`
##V(r)=-\displaystyle\int_{R_e}^r \dfrac{\rho_0} {3\epsilon_0} \left(r-\dfrac{R_i^3}{r^2}
\right)\ dr+V(R_e)\implies##
##V(r)=-\dfrac{\rho_0 }{3\epsilon_0}\left(r^2+\dfrac{R_i^3}{r}\right)+
\dfrac{\rho_0 }{3\epsilon_0}\left(R_e^2+\dfrac{R_i^3}{R_e}\right)+
\dfrac{\rho_0(R_e^3-R_i^3)}{3\epsilon_0R_e}\implies##
##V(r)=-\dfrac{\rho_0 }{3\epsilon_0}\left(r^2+\dfrac{R_i^3}{r}\right)+
\dfrac{2\rho_0 R_e^2}{3\epsilon_0}##
##V(R_i)=\dfrac{2\rho_0}{3\epsilon_0}\left(R_e^2-R_i^2\right)##
##V(R_i)=\dfrac{2\rho_0}{3\epsilon_0}\left(R_e^2-R_i^2\right)##
##V(r)=-\displaystyle\int_{R_e}^r 0dr+V(R_i)\implies##
##V(r)=V(R_i)\implies##
##V(r)=\dfrac{2\rho_0\left(R_e^2-R_i^2\right)}{3\epsilon_0}##
Le potentiel électrique a pour expression :
##V(r)=
\begin{cases}
\dfrac{2\rho_0\left(R_e^2-R_i^2\right)}{3\epsilon_0} r\le R_i\\
\ \\
-\dfrac{\rho_0 }{3\epsilon_0}\left(r^2+\dfrac{R_i^3}{r}\right)+
\dfrac{2\rho_0 R_e^2}{3\epsilon_0} R_i\le r\le R_e\\
\ \\
\dfrac{\rho_0(R_e^3-R_i^3)}{3\epsilon_0r}\ r\ge R_e
\end{cases}
##
2-c) Tracer les deux graphes `E(r)` et `V(r)`.
Réponse
