Electricité : Distribution de charges discrètes :
Exercice n° 1 :
Trois charges ponctuelles `q_A`, `q_B` et `q_C` sont fixées respectivement aux points `A`, `B` et `C` de coordonnées cartésiennes : `A(0,0)`, `B(-a,0)` et `C(0,a)` (voir figure ci-dessus). On donne `q_A=q=10^{-9}C`, `q_B=q_C=2q`, `a=3 \ cm` et `K=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9\ \ 10^9(SI)`
1-a) Calculer le potentiel `V_D` créé par les trois charges au point `D` de coordonnées `(-a,a)`
Réponse
##V_D=V_D(q_A)+V_D(q_B)+V_D(q_C) \implies##
##V_D=K\dfrac{q_A}{AD}+K\dfrac{q_B}{BD}+K\dfrac{q_C}{CD}\implies##
##V_D=K\dfrac{q}{a\sqrt{2}}+K\dfrac{2q}{a}+K\dfrac{2q}{a}\implies##
##V_D=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+4\right)K\dfrac{q}{a}\implies##
##V_D=\dfrac{\sqrt{2}+8}{2}K\dfrac{q}{a}\implies##
##V_D=\dfrac{\sqrt{2}+8}{2}\times 9\times 10^9\dfrac{10^{-9}}{3\times 10^{-2}}\implies##
##V_D=1412\ V##
b) Déterminer l'expression du champ électrique `\vec{E_D}` créé au point `D`. Calculer le module de `\vec{E_D}` et le représenter. Echelle : `1cm \rightarrow 10^4\ V//m`
Réponse
##\overrightarrow{E_D}=\overrightarrow{E_D}(q_A)+\overrightarrow{E_D}(q_B)+\overrightarrow{E_D}(q_C)\implies##
##\overrightarrow{E_D}=K\dfrac{q_A}{AD^2}\overrightarrow {u_{AD}}+K\dfrac{q_B}{BD^2}\overrightarrow{u_{BD}}
+K\dfrac{q_C}{CD^2}\overrightarrow{u_{CD}}##
Comme ##\overrightarrow {u_{CD}}=-\overrightarrow {i}## , ##\overrightarrow {u_{BD}}=\overrightarrow {j}##, ##AD=a \sqrt{2}##, ##BC=BD=a##, ##q_A=q## et ##q_B=q_C=2q##, on a :
##\overrightarrow{E_D}=K\dfrac{q}{2a}\overrightarrow {u_{AD}}+K\dfrac{2q}{a^2}\overrightarrow{j} -K\dfrac{2q}{a^2}\overrightarrow{i}\implies## ##\overrightarrow{E_D}=K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{u_{AD}} +2\left(-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\right)##
Le triangle `ACD` est isocèle et rectangle en `C`, l'angle `(\vec[AC],\vec[AD])=45°`. L'angle `\theta` formé entre `\vec i` et ##\overrightarrow{u_{AD}}## est égal â :
## \theta = 45+90\implies \theta =135°##
Le vecteur unitaire ##\overrightarrow{u_{AD}}## peut s'exprimer en fonction des vecteurs unitaires ##\overrightarrow{i}## et ##\overrightarrow{j}## :
##\overrightarrow{u_{AD}}=cos(135°)\overrightarrow{i}+ sin(135°)\overrightarrow{j}\implies## ##\overrightarrow{u_{AD}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{i}+ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{j}\implies## ##\overrightarrow{u_{AD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(-\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}\right)##
On peut exprimer ##\overrightarrow{E_D}## en fonction de ##\overrightarrow{i}## et ##\overrightarrow{j}##, comme on peut l'exprimer en fonction de ##\overrightarrow{u_{AD}}##.
La première méthode est générale et la seconde est particulière puisqu'on remarque que : ##-\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}=\sqrt{2}\ \ \overrightarrow{u_{AD}}##
Première méthode :
##\overrightarrow{E_D}= K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(-\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}\right)\right) +2\left(-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\right)\implies##
## \begin{cases} E_{Dx}=- K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{\sqrt{2}+8}{4}\right)\\ E_{Dy}=\ K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{\sqrt{2}+8}{4}\right) \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} E_{D}=\sqrt{E_{Dx}^2+E_{Dy}^2}\\ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=arccos \left(\dfrac{E_{Dx}}{E_{D}}\right) \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} E_{D}=K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{\sqrt{2}+8}{4}\right)\sqrt{2}\\ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=arccos \left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right) \end{cases} \implies ##
Deuxième méthode :
##\overrightarrow{E_D}=K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{u_{AD}} +2\left(-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\right)\implies## ##\overrightarrow{E_D}=K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{u_{AD}} +2\sqrt{2}\ \overrightarrow{u_{AD}}\right)\implies## ##\overrightarrow{E_D}=\left(\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}\right)K\dfrac{q}{a^2}\overrightarrow{u_{AD}}\implies##
## \begin{cases} E_{D}=\left(\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}\right)\times 9\times10^9\dfrac{10^{-9}}{(3\times10^{-2})^2}\\ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=135° \end{cases} \implies ##
Comme ##\overrightarrow {u_{CD}}=-\overrightarrow {i}## , ##\overrightarrow {u_{BD}}=\overrightarrow {j}##, ##AD=a \sqrt{2}##, ##BC=BD=a##, ##q_A=q## et ##q_B=q_C=2q##, on a :
##\overrightarrow{E_D}=K\dfrac{q}{2a}\overrightarrow {u_{AD}}+K\dfrac{2q}{a^2}\overrightarrow{j} -K\dfrac{2q}{a^2}\overrightarrow{i}\implies## ##\overrightarrow{E_D}=K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{u_{AD}} +2\left(-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\right)##
Le triangle `ACD` est isocèle et rectangle en `C`, l'angle `(\vec[AC],\vec[AD])=45°`. L'angle `\theta` formé entre `\vec i` et ##\overrightarrow{u_{AD}}## est égal â :
## \theta = 45+90\implies \theta =135°##
Le vecteur unitaire ##\overrightarrow{u_{AD}}## peut s'exprimer en fonction des vecteurs unitaires ##\overrightarrow{i}## et ##\overrightarrow{j}## :
##\overrightarrow{u_{AD}}=cos(135°)\overrightarrow{i}+ sin(135°)\overrightarrow{j}\implies## ##\overrightarrow{u_{AD}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{i}+ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{j}\implies## ##\overrightarrow{u_{AD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(-\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}\right)##
On peut exprimer ##\overrightarrow{E_D}## en fonction de ##\overrightarrow{i}## et ##\overrightarrow{j}##, comme on peut l'exprimer en fonction de ##\overrightarrow{u_{AD}}##.
La première méthode est générale et la seconde est particulière puisqu'on remarque que : ##-\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}=\sqrt{2}\ \ \overrightarrow{u_{AD}}##
Première méthode :
##\overrightarrow{E_D}= K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(-\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}\right)\right) +2\left(-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\right)\implies##
##\overrightarrow{E_D}=
K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{\sqrt{2}+8}{4}\right)
\left(-\overrightarrow{i}+
\overrightarrow{j}\right)##
## \begin{cases} E_{Dx}=- K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{\sqrt{2}+8}{4}\right)\\ E_{Dy}=\ K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{\sqrt{2}+8}{4}\right) \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} E_{D}=\sqrt{E_{Dx}^2+E_{Dy}^2}\\ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=arccos \left(\dfrac{E_{Dx}}{E_{D}}\right) \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} E_{D}=K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{\sqrt{2}+8}{4}\right)\sqrt{2}\\ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=arccos \left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right) \end{cases} \implies ##
##
\begin{cases}
E_{D}=\left(\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}\right)K\dfrac{q}{a^2}\\
\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=135°
\end{cases}
##
Deuxième méthode :
##\overrightarrow{E_D}=K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{u_{AD}} +2\left(-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\right)\implies## ##\overrightarrow{E_D}=K\dfrac{q}{a^2}\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{u_{AD}} +2\sqrt{2}\ \overrightarrow{u_{AD}}\right)\implies## ##\overrightarrow{E_D}=\left(\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}\right)K\dfrac{q}{a^2}\overrightarrow{u_{AD}}\implies##
##
\begin{cases}
E_{D}=\left(\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}\right)K\dfrac{q}{a^2}\\
\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{AD}}\right)=135°
\end{cases}
##
## \begin{cases} E_{D}=\left(\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}\right)\times 9\times10^9\dfrac{10^{-9}}{(3\times10^{-2})^2}\\ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=135° \end{cases} \implies ##
##
\begin{cases}
E_{D}=3,328\ \ 10^4\ V/m\\
\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=135°
\end{cases}
##
2- Calculer l'énergie interne du système formé par ces trois charges.
Réponse
##U=K\dfrac{q_Aq_B}{AB}+K\dfrac{q_Aq_C}{AC}+K\dfrac{q_Bq_C}{BC}\implies##
##U=K\dfrac{2q^2}{a}+K\dfrac{2q^2}{a}+K\dfrac{4q^2}{\sqrt{2}\ a}\implies##
##U=\left(4+2\sqrt{2}\right)K\dfrac{q^2}{a}\implies##
##U=\left(4+2\sqrt{2}\right)\times 9\times10^9\dfrac{\left(10^{-9}\right)^2}{3\times10^{-2}}\implies##
##U=2,049\ \ 10^{-6}\ J##
3- On abandonne au point `D` une charge `Q=4q` sans vitesse initiale. Déterminer son énergie cinétique à l'infini.
Réponse
Comme la charge `4q` n'est soumise qu'à la seule force électrique conservative, l'énergie totale, ##E_T##,
de cette charge est donc constante.
En tout point M de l'espace, on a :
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+4qV_{M}=constante##
Comme au point `D` ,on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{cD}=0\ J##, et le potentiel électrique, ##V_D=1412\ V##, on peut ainsi déterminer la valeur de ## E_T## :
##E_{cD}+4qV_{D}=0+ 4\times 10^{-9}\times1412\implies####E_{cM}+4qV_{M}=5,648\ \ 10^{-6}\ \ J##
A l'infini, les trois potentiels électriques créés par les charges ## q_A##, ##q_B## et ##q_C## sont nuls, par conséquent le potentiel ## V(\infty)## égal à la somme de ces trois potentiels, est nul.
##E_{c\ \infty}+4\times 10^{-9}\times 0=5,648\ \ 10^{-6}\ \ J\implies##
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+4qV_{M}=constante##
Comme au point `D` ,on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{cD}=0\ J##, et le potentiel électrique, ##V_D=1412\ V##, on peut ainsi déterminer la valeur de ## E_T## :
##E_{cD}+4qV_{D}=0+ 4\times 10^{-9}\times1412\implies####E_{cM}+4qV_{M}=5,648\ \ 10^{-6}\ \ J##
A l'infini, les trois potentiels électriques créés par les charges ## q_A##, ##q_B## et ##q_C## sont nuls, par conséquent le potentiel ## V(\infty)## égal à la somme de ces trois potentiels, est nul.
##E_{c\ \infty}+4\times 10^{-9}\times 0=5,648\ \ 10^{-6}\ \ J\implies##
##E_{c\ \infty}=5,648\ \ 10^{-6}\ \ J##
4-On place au point `D` un dipôle électrique de moment dipolaire `vec p` et de module `||\vec p||=10^{-30}\ Cm`.
a) Déterminer l'orientation du dipôle â cette position d'équilibre stable.
Réponse
En position d'équilibre stable, l'énergie potentielle ##E_p## du dipôle, fonction de son orientation par rapport au champ
électrique ##\overrightarrow{E_D}##, présente un minimum.
On pose ##\theta=\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{p}\right)##.
##E_p## est exprimée par : ##E_p=-\overrightarrow{p}.\overrightarrow{E_D}\implies## ##E_p=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos(\theta)##
Ce minimum vérifie les deux conditions suivantes: ## \begin{cases} \dfrac{dE_p}{d\theta}=0 (extremum) \\ \dfrac{d^2E_p}{d\theta^2}>0 (minimum) \end{cases} ##
##\dfrac{dE_p}{d\theta}=0\implies## ##||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| sin(\theta)=0\implies## ## sin(\theta)=0\implies## ## \theta=0°## ou ##180°\ rd##
Parmis ces deux valeurs, il faut choisir celle qui vérifie la seconde condition.
##\dfrac{d^2E_p}{d\theta^2}>0\implies####||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos(\theta)>0\implies## ##cos(\theta)>0##
Comme ##cos(0°)=1## et ##cos(180°)=-1##, on ne retient que ## \theta=0°##. En position d'équilibre stable, le dipôle est orienté suivant ##\overrightarrow{E_D}##:
##\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=135°\implies##
##E_p## est exprimée par : ##E_p=-\overrightarrow{p}.\overrightarrow{E_D}\implies## ##E_p=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos(\theta)##
Ce minimum vérifie les deux conditions suivantes: ## \begin{cases} \dfrac{dE_p}{d\theta}=0 (extremum) \\ \dfrac{d^2E_p}{d\theta^2}>0 (minimum) \end{cases} ##
##\dfrac{dE_p}{d\theta}=0\implies## ##||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| sin(\theta)=0\implies## ## sin(\theta)=0\implies## ## \theta=0°## ou ##180°\ rd##
Parmis ces deux valeurs, il faut choisir celle qui vérifie la seconde condition.
##\dfrac{d^2E_p}{d\theta^2}>0\implies####||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos(\theta)>0\implies## ##cos(\theta)>0##
Comme ##cos(0°)=1## et ##cos(180°)=-1##, on ne retient que ## \theta=0°##. En position d'équilibre stable, le dipôle est orienté suivant ##\overrightarrow{E_D}##:
##\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_D}\right)=135°\implies##
##\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow {p}\right)=135°##
b) Calcluler l'énergie potentielle du dipôle, correspondand cette position stable.
Réponse
##E_p=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos(\theta)\implies##
##E_p=-10^{-30} \times3,328\times 10^4\ cos(0)\implies##
##E_p=-3,328\ \ 10^{-26}\ J##