Electricité : Distribution de charges discrètes :
Exercice n° 1 :
On considere deux charges électriques ponctuelles positives `q_A` et `q_B` telles que `q_A=q_B=q`. Lorsque ces deux charges sont distantes de `d=9\ cm`, elles s'exercent mutuellemet une force d'intensité égale à `0,1\ N`.
1- En déduire la valeur de `q`. On donne `K=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9\ \ 10^9(SI)`.
Réponse
La force d'intensité `0,1\ N`, n'est autre que la force d'interaction coulombienne entre les deux charges `q_A` et `q_B`,
son expresion est donnée par :
##\overrightarrow{F_{A/B}}=-\overrightarrow{F_{B/A}}=K\dfrac{q_Aq_B}{\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right|^2} \overrightarrow{u_{AB}}##
où ##\overrightarrow{u_{AB}}\left(=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right|}\right)##
est le vecteur unitaire de la droite `(AB)`
et `K\left(=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right)` est la contante électrostatique.
##\left|\left|\overrightarrow{F_{A/B}}\right|\right|=
\left|\left|\overrightarrow{F_{B/A}}\right|\right|=K\dfrac{\left|q_Aq_B\right|}{AB^2}\implies##
##\left|\left|\overrightarrow{F_{A/B}}\right|\right|=K\dfrac{q^2}{d^2}\implies##
##q=\sqrt{\dfrac{\left|\left|\overrightarrow{F_{A/B}}\right|\right|d^2}{K}}\implies##
##q=\sqrt{\dfrac{0,1\times9^2\times10^{-4}}{9\times10^9}}\implies##
##q=3\ \ 10^{-7}\ C##
Ces deux charges sont fixées aux points `A` et `B` de coordonnées cartésiennes `(-a,0)` et `(a,0)` (voir figure ci-dessus). On donne `a=3\ cm`.
2-a) Calculer le potentiel électrique `V_C` créé par ces deux charges au point `C`, sachant que les trois distances `AB`, `AC` et `BC` sont égales.
Réponse
Le potentiel électrostatique `V_C` créé par ces deux charges `q_A` et `q_B` au point `C` est égal à :
##V_C=K\dfrac{q_A}{\left|\left|\overrightarrow{AC}\right|\right|}+K\dfrac{q_B}{\left|\left|\overrightarrow{BC}\right|\right|}##
Comme ##\left|\left|\overrightarrow{AC}\right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{BC}\right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right| ##
##V_C=K\dfrac{q}{\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right|}+K\dfrac{q}{\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right|}\implies##
##V_C=2K\dfrac{q}{\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right|}##
##\overrightarrow{AB}=
\left(
\begin{matrix}
x_B-x_A \\
y_B-y_A
\end{matrix}
\right)
\implies
##
##\overrightarrow{AB}=
\left(
\begin{matrix}
a-(-a) \\
0-0
\end{matrix}
\right)
\implies
##
##\overrightarrow{AB}=
\left(
\begin{matrix}
2a \\
0
\end{matrix}
\right)
\implies
##
##\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right|=2a##
On remplace ##\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right|## par ##2a## dans l'expression de ##V_C## :
##V_C=2K\dfrac{q}{2a}\implies####V_C=K\dfrac{q}{a}\implies####V_C=9\times10^9\times\dfrac{3\times10^{-7}}{3\times10^{-2}}\implies##
##V_C=9\ \ 10^{4}\ V##
2-b) Déterminer le champ électrostatique ##\overrightarrow{E_C}## résultant au point `C`. En déduire son intensité.
Réponse
On applique le principe de superposition :
##\overrightarrow{E_C}=\overrightarrow{E_C}(q_A)+\overrightarrow{E_C}(q_B)\implies##
##\overrightarrow{E_C}=K\dfrac{q_A}{\left|\left|\overrightarrow{AC}\right|\right|^2} \overrightarrow{u_{AC}}+
K\dfrac{q_B}{\left|\left|\overrightarrow{BC}\right|\right|^2} \overrightarrow{u_{BC}}\implies##
##\overrightarrow{E_C}=K\dfrac{q}{4a^2} \overrightarrow{u_{AC}}+K\dfrac{q}{4a^2} \overrightarrow{u_{BC}}\implies##
##\overrightarrow{E_C}=K\dfrac{q}{4a^2} \left(\overrightarrow{u_{AC}} +\overrightarrow{u_{BC}}\right)##
Le triangle ABC est équilatéral, ses trois angles sont égaux à ##60°## :
##\left(\overrightarrow{u_{BC}},\overrightarrow{u_{BA}}\right)=\left(\overrightarrow{u_{CA}},\overrightarrow{u_{CB}}\right)=
\left(\overrightarrow{u_{AB}},\overrightarrow{u_{AC}}\right)=60°##
Or ##\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{i}##
##\left(\overrightarrow{u_{AB}},\overrightarrow{u_{AC}}\right)=\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{AC}}\right)=60°##
##\left(\overrightarrow{u_{BC}},\overrightarrow{u_{BA}}\right)=\left(\overrightarrow{u_{BC}},-\overrightarrow{i}\right)=60°\implies##
##\left(\overrightarrow{u_{BC}},-\overrightarrow{i}\right)=\left(\overrightarrow{u_{BC}},\overrightarrow{i}\right)+\left(\overrightarrow{i},-\overrightarrow{i}\right)=60°\implies##
##\left(\overrightarrow{u_{BC}},\overrightarrow{i}\right)+180°=60°\implies##
##\left(\overrightarrow{u_{BC}},\overrightarrow{i}\right)=-120°\implies##
##\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{BC}}\right)=120°##
On peut exprimer ##\overrightarrow{u_{AC}}## et ##\overrightarrow{u_{BC}}## en fonction de ##\overrightarrow{i}## et ##\overrightarrow{j}## :
##
\begin{cases}
\overrightarrow{u_{AC}} =cos\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{AC}}\right)\overrightarrow{i}+
sin\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{AC}}\right)\overrightarrow{j}\\
\overrightarrow{u_{BC}} =cos\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{BC}}\right)\overrightarrow{i}+
sin\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{BC}}\right)\overrightarrow{j}
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\overrightarrow{u_{AC}} =cos\left(60°\right)\overrightarrow{i}+
sin\left(60°\right)\overrightarrow{j}\\
\overrightarrow{u_{BC}} =cos\left(120°\right)\overrightarrow{i}+
sin\left(120°\right)\overrightarrow{j}
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\overrightarrow{u_{AC}} =\dfrac12\overrightarrow{i}+
\dfrac{\sqrt3}2\overrightarrow{j}\\
\overrightarrow{u_{BC}} =-\dfrac12\overrightarrow{i}+
\dfrac{\sqrt3}2\overrightarrow{j}
\end{cases}
\implies
##
##\overrightarrow{u_{AC}} +\overrightarrow{u_{BC}}=\sqrt3\overrightarrow{j}
##
en tenant compte de cette dernière expression, on aboutit à l'expression finale de ##\overrightarrow{E_C}##:
##\overrightarrow{E_C}=\sqrt3K\dfrac{q}{4a^2}\overrightarrow{j} \implies##
##\overrightarrow{E_C}=\sqrt3\times 9\times10^9\dfrac{3\times10^{-7}}{4\times 3^2\times 10^{-4}}\overrightarrow{j} \implies##
##\overrightarrow{E_C}=1,30\ \ 10^6\ \overrightarrow{j}\ (V/m)##
L'intensité de ##\overrightarrow{E_C}## :
## \left|\left|\overrightarrow{E_C}\right|\right|=1,30\ \ 10^6\ \ V/m##
On fixe au point `C` une particulle ponctuelle de charge ##q^\prime##. On donne : ##q^\prime=10^{-7}\ C## 3-Calculer l'énergie électrostatique du système formé par ces trois charges.
Réponse
##U=K\dfrac{q_Aq_B}{\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right|}+
K\dfrac{q_Aq^\prime}{\left|\left|\overrightarrow{AC}\right|\right|}+
K\dfrac{q_Bq^\prime}{\left|\left|\overrightarrow{BC}\right|\right|}\implies##
##U=K\dfrac{q^2}{2a}+K\dfrac{q q^\prime}{2a}+K\dfrac{q q^\prime}{2a}\implies##
##U=K\dfrac{q^2+2qq^\prime}{2a}\implies##
##U=9\times10^9\times\dfrac{3^2\times10^{-14}+2\times3\times10^{-14}}{2\times3\times10^{-2}}\implies##
##U=2,25\ \ 10^{-2}\ J##
On libère la particule de charge ##q^\prime## du point `C`, sans vitesse initiale.
4-a) Décrire son mouvement en précisant sa trajectoire et la nature de son mouvement.
Réponse
La particule de charge ##q^\prime## au point `C` est soumise à la force
##\overrightarrow{F_C} \left(=q^\prime\overrightarrow{E_C}\right)##.
Si on la libère, sans vitesse initiale,
elle se déplacera sur la ligne de champ qui passe par le point `C`.
Cette ligne n'est d'autre que l'axe `Oy`, puisque, par symétrie, le champ ##\overrightarrow{E}## en tout point de cet axe est parallèle à ##\overrightarrow{j}##.
Sa trajectoire est donc l'axe `Oy`.
Comme ##q^\prime >0##, la force exercée ##\overrightarrow{F} \left(=q^\prime\overrightarrow{E}\right)## sur la particule est de même sens que le champ ##\overrightarrow{E}##, la particule se déplacera donc dans le sens de ##\overrightarrow{j}##. L'intensité de ##\overrightarrow{E}##, donc de ##\overrightarrow{F}##, diminue jusqu'à tendre vers zéro à fur et à mesure que la particule se déplace . Ainsi, cette particule se déplacera le long de `Oy` dans le sens de ##\overrightarrow{j}##, tout en augmentant de vitesse jusqu'à une vitesse limite.
En conclusion, le mouvement est rectiligne accéléré.
Comme ##q^\prime >0##, la force exercée ##\overrightarrow{F} \left(=q^\prime\overrightarrow{E}\right)## sur la particule est de même sens que le champ ##\overrightarrow{E}##, la particule se déplacera donc dans le sens de ##\overrightarrow{j}##. L'intensité de ##\overrightarrow{E}##, donc de ##\overrightarrow{F}##, diminue jusqu'à tendre vers zéro à fur et à mesure que la particule se déplace . Ainsi, cette particule se déplacera le long de `Oy` dans le sens de ##\overrightarrow{j}##, tout en augmentant de vitesse jusqu'à une vitesse limite.
En conclusion, le mouvement est rectiligne accéléré.
4-b) Calculer l'énergie cinétique limite de cette particule.
Réponse
Comme la charge ##q^\prime## n'est soumise qu'à la seule force électrique conservative, l'énergie totale, ##E_T##,
de cette charge est donc constante.
En tout point M de l'axe `Oy`, on a :
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+q^\prime V_{M}=constante##
Comme au point `C` ,on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{cC}=0\ J##, et le potentiel électrique, ##V_C=9\ \ 10^{4}\ V##, on peut ainsi déterminer la valeur de ## E_T## :
##E_{cC}+q^\prime V_{C}=0+ \times 10^{-7}\times9\times 10^{4}\implies## ##E_{cM}+q\prime V_{M}=9\ \ 10^{-3}\ \ J##
L'énergie cinétique limite est obtenue lorsque la particule atteint l'infini. A l'infini, les deux potentiels électriques créés par les charges ## q_A## et ##q_B## sont nuls, par conséquent le potentiel ## V_\infty## égal à la somme de ces deux potentiels, est nul.
##E_{c\ \infty}+ 10^{-7}\times 0=9\ \ 10^{-3}\ \ J\implies##
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+q^\prime V_{M}=constante##
Comme au point `C` ,on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{cC}=0\ J##, et le potentiel électrique, ##V_C=9\ \ 10^{4}\ V##, on peut ainsi déterminer la valeur de ## E_T## :
##E_{cC}+q^\prime V_{C}=0+ \times 10^{-7}\times9\times 10^{4}\implies## ##E_{cM}+q\prime V_{M}=9\ \ 10^{-3}\ \ J##
L'énergie cinétique limite est obtenue lorsque la particule atteint l'infini. A l'infini, les deux potentiels électriques créés par les charges ## q_A## et ##q_B## sont nuls, par conséquent le potentiel ## V_\infty## égal à la somme de ces deux potentiels, est nul.
##E_{c\ \infty}+ 10^{-7}\times 0=9\ \ 10^{-3}\ \ J\implies##
##E_{c\ \infty}=9\ \ 10^{-3}\ \ J##
Au point `C`, on place un dipôle électrique de moment dipolaire `vec p`. Ce dipôle peut tourner autour de son centre
dans le plan `xOy`. On l'oriente dans la direction définie par l'angle
##\alpha## mesuré par rapport à l'axe `Ox` (voir figure ci-dessus).
On donne : `||\vec p||=10^{-30}\ Cm` et ##\alpha=\dfrac\pi6##
5-a) Déterminer la position d'équilibre stable du dipôle. Le représenter dans cette position.
Réponse
En position d'équilibre stable, l'énergie potentielle ##E_p## du dipôle, fonction de son orientation par rapport au champ
électrique ##\overrightarrow{E_C}##, présente un minimum.
On pose ##\theta=\left(\overrightarrow{E_C},\overrightarrow{p}\right)##.
##E_p## est exprimée par : ##E_p=-\overrightarrow{p}.\overrightarrow{E_C}\implies## ##E_p=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_C}|| cos(\theta)##
Ce minimum vérifie les deux conditions suivantes: ## \begin{cases} \dfrac{dE_p}{d\theta}=0 (extremum) \\ \dfrac{d^2E_p}{d\theta^2}>0 (minimum) \end{cases} ##
##\dfrac{dE_p}{d\theta}=0\implies## ##||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_C}|| sin(\theta)=0\implies## ## sin(\theta)=0\implies## ## \theta=0°## ou ##180°\ rd##
Parmis ces deux valeurs, il faut choisir celle qui vérifie la seconde condition.
##\dfrac{d^2E_p}{d\theta^2}>0\implies####||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos(\theta)>0\implies## ##cos(\theta)>0##
Comme ##cos(0°)=1## et ##cos(180°)=-1##, on ne retient que ## \theta=0°##. En position d'équilibre stable, le dipôle est orienté suivant ##\overrightarrow{E_C}## donc ##\overrightarrow{j}## :
##\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_C}\right)=90°\implies##
##E_p## est exprimée par : ##E_p=-\overrightarrow{p}.\overrightarrow{E_C}\implies## ##E_p=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_C}|| cos(\theta)##
Ce minimum vérifie les deux conditions suivantes: ## \begin{cases} \dfrac{dE_p}{d\theta}=0 (extremum) \\ \dfrac{d^2E_p}{d\theta^2}>0 (minimum) \end{cases} ##
##\dfrac{dE_p}{d\theta}=0\implies## ##||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_C}|| sin(\theta)=0\implies## ## sin(\theta)=0\implies## ## \theta=0°## ou ##180°\ rd##
Parmis ces deux valeurs, il faut choisir celle qui vérifie la seconde condition.
##\dfrac{d^2E_p}{d\theta^2}>0\implies####||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos(\theta)>0\implies## ##cos(\theta)>0##
Comme ##cos(0°)=1## et ##cos(180°)=-1##, on ne retient que ## \theta=0°##. En position d'équilibre stable, le dipôle est orienté suivant ##\overrightarrow{E_C}## donc ##\overrightarrow{j}## :
##\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{E_C}\right)=90°\implies##
##\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow {p}\right)=90°##
5-b) Calcluler la variation de l'énergie potentielle du dipôle, entre sa position initiale et sa position d'équilibre stable.
Réponse
Déterminons ##\theta## lorsque ##\alpha=\dfrac\pi6## :
##\theta=\left(\overrightarrow{E_{C}},\overrightarrow{p}\right)\implies## ##\theta=\left(\overrightarrow{E_{C}},\overrightarrow{i}\right)+ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{p}\right)\implies## ##\theta= -90°+30°\implies## ##\theta=-60°\implies##
En position initiale ##\theta=-60°## :
##E_{pi}=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_C}|| cos(\theta)\implies## ##E_p=-10^{-30} \times1,3\times 10^6\ cos(-60°)\implies## ##E_p=-0,65\ \ 10^{-24}\ J##
En position d'équilibre stable : ##\theta=0°## :
##E_{pf}=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_C}|| \implies## ##E_{pf}=-10^{-30} \times1,3\times 10^6\ cos(0°)\implies## ##E_{pf}=-1,3\ \ 10^{-24}\ J##
La variation d'énergie potentielle :
##\Delta E_p=E_{pf}-E_{pi}\implies## ##\Delta E_p=-1,3\times 10^{-24}+0,65\times 10^{-24}\implies##
##\theta=\left(\overrightarrow{E_{C}},\overrightarrow{p}\right)\implies## ##\theta=\left(\overrightarrow{E_{C}},\overrightarrow{i}\right)+ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{p}\right)\implies## ##\theta= -90°+30°\implies## ##\theta=-60°\implies##
En position initiale ##\theta=-60°## :
##E_{pi}=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_C}|| cos(\theta)\implies## ##E_p=-10^{-30} \times1,3\times 10^6\ cos(-60°)\implies## ##E_p=-0,65\ \ 10^{-24}\ J##
En position d'équilibre stable : ##\theta=0°## :
##E_{pf}=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_C}|| \implies## ##E_{pf}=-10^{-30} \times1,3\times 10^6\ cos(0°)\implies## ##E_{pf}=-1,3\ \ 10^{-24}\ J##
La variation d'énergie potentielle :
##\Delta E_p=E_{pf}-E_{pi}\implies## ##\Delta E_p=-1,3\times 10^{-24}+0,65\times 10^{-24}\implies##
##\Delta E_p=-6,5\ \ 10^{-25}\ J##