Electricité : Distribution de charges discrètes :
Exercice n° 1 :
Trois charges ponctuelles positives `q_A=q_B=q_C=q=2\ nC` sont fixées sur un cercle de rayon `R=2\ cm` et de centre `O`(voir figure (a) ci-dessus). On associe à ce système de charges un repère cartésien orthonormé ##(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})##. Les points `A` et `B` sont diamétralement opposés, ainsi que les points `C` et `D`.
1-a) Déterminer le potentiel `V(r)` créé par les trois charges en un point `M` de l'axe `(\Delta)`, situé à `OM=r`. En déduire la valeur du potentiel électrostatique, `V_D,` au point `D`.
Réponse
##V(r)=V_M(q_A)+V_M(q_B)+V_M(q_C) \implies##
##V_M=K\dfrac{q_A}{AM}+K\dfrac{q_B}{BM}+K\dfrac{q_C}{CM}##
Déterminons les trois distances `AM`, `BM` et `CM`
Distance `AM` :
##\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM}\implies## ##\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\implies##
Déterminons les trois distances `AM`, `BM` et `CM`
Distance `AM` :
##\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM}\implies## ##\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\implies##
##\left|\left|\overrightarrow{AM}\right|\right|=\sqrt{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|^2+
\left|\left|\overrightarrow{OA}\right|\right|^2-
2\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|\left|\left|\overrightarrow{OA}\right|\right|
cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}\right)}##
##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}\right)=
\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{j}\right)+\left(\overrightarrow{j},\overrightarrow{OA}\right)\implies##
##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}\right)=
\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{i}\right)+\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)+
\left(\overrightarrow{j},\overrightarrow{OA}\right)\implies##
##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}\right)=
-\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2+
\dfrac{\pi}4\implies##
##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}\right)=
\dfrac{\pi}2##<
br/>
##\left|\left|\overrightarrow{AM}\right|\right|=\sqrt{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|^2+
\left|\left|\overrightarrow{OA}\right|\right|^2-
2\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|\left|\left|\overrightarrow{OA}\right|\right|
cos\left(\dfrac{\pi}2\right)}\implies##
##\left|\left|\overrightarrow{AM}\right|\right|=\sqrt{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|^2+
\left|\left|\overrightarrow{OA}\right|\right|^2}\implies##
##\left|\left|\overrightarrow{AM}\right|\right|=\sqrt{r^2+R^2}\implies##
##AM=\sqrt{r^2+R^2}##
Distance `BM` :
##\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OM}\implies## ##\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}\implies##
Distance `BM` :
##\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OM}\implies## ##\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}\implies##
##\left|\left|\overrightarrow{BM}\right|\right|=\sqrt{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|^2+
\left|\left|\overrightarrow{OB}\right|\right|^2-
2\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|\left|\left|\overrightarrow{OB}\right|\right|
cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OB}\right)}##
##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OB}\right)=
\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\implies##
##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OB}\right)=
\dfrac{\pi}4-{\pi}\implies##
##\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OB}\right)=
-\dfrac{\pi}2##
##\left|\left|\overrightarrow{BM}\right|\right|=\sqrt{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|^2+
\left|\left|\overrightarrow{OB}\right|\right|^2-
2\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|\left|\left|\overrightarrow{OB}\right|\right|
cos\left(\dfrac{-\pi}2\right)}\implies##
##\left|\left|\overrightarrow{BM}\right|\right|=\sqrt{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|^2+
\left|\left|\overrightarrow{OB}\right|\right|^2}\implies##
##\left|\left|\overrightarrow{BM}\right|\right|=\sqrt{r^2+R^2}\implies##
##BM=\sqrt{r^2+R^2}\implies##
Distance `CM` :
##CM=OC+OM\implies ## ##CM=R+r##
##V(r)=K\dfrac{q}{\sqrt{r^2+R^2}}+K\dfrac{q}{\sqrt{r^2+R^2}}+K\dfrac{q}{R+r}\implies##
Au point `D`, `r=R` :
##V_D=V(R)\implies## ##V_D=Kq\left(\dfrac{2}{\sqrt{R^2+R^2}}+\dfrac{1}{R+R}\right)\implies## ##V_D=K\dfrac{q}R\left(\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2}\right)\implies## ##V_D=\dfrac{2\sqrt{2}+1}{2}K\dfrac{q}R\implies## ##V_D=\dfrac{2\times\sqrt{2}+1}{2}\times 9\times 10^9\times\dfrac{2\times10^{-9}}{2\times 10^{-2}}\implies##
Distance `CM` :
##CM=OC+OM\implies ## ##CM=R+r##
##V(r)=K\dfrac{q}{\sqrt{r^2+R^2}}+K\dfrac{q}{\sqrt{r^2+R^2}}+K\dfrac{q}{R+r}\implies##
##V(r)=Kq\left(\dfrac{2}{\sqrt{r^2+R^2}}+\dfrac{1}{R+r}\right)##
Au point `D`, `r=R` :
##V_D=V(R)\implies## ##V_D=Kq\left(\dfrac{2}{\sqrt{R^2+R^2}}+\dfrac{1}{R+R}\right)\implies## ##V_D=K\dfrac{q}R\left(\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2}\right)\implies## ##V_D=\dfrac{2\sqrt{2}+1}{2}K\dfrac{q}R\implies## ##V_D=\dfrac{2\times\sqrt{2}+1}{2}\times 9\times 10^9\times\dfrac{2\times10^{-9}}{2\times 10^{-2}}\implies##
##V_D=1723\ V##
b) En déduire l'expression du champ électrique `\vec{E(r )}` au point `M`. Calculer son module `E_D` au point `D`.
Réponse
##\overrightarrow{E(r,\theta)} =-\overrightarrow{grad} \left(V(r,\theta)\right)##
En coordonnées polaires, ##\overrightarrow{grad} =\dfrac{\partial}{\partial r}\overrightarrow{u_r}+\dfrac1r \dfrac{\partial}{\partial \theta}\overrightarrow{u_\theta}##
##\overrightarrow{E(r,\theta)} =-\dfrac{\partial V(r,\theta) }{\partial r}\overrightarrow{u_r}- \dfrac1r\dfrac{\partial V(r,\theta)}{\partial \theta}\overrightarrow{u_\theta}\implies ## ##\begin{cases} E_r=-\dfrac{\partial V(r,\theta) }{\partial r}\\ E_\theta=-\dfrac1r\dfrac{\partial V(r,\theta)}{\partial \theta} \end{cases}##
Le potentiel qu'on a déterminé précédemment ##V(r)=V(r,\dfrac\pi4)## n'est valable que pour ##\theta=\dfrac\pi4##. Ainsi,`E_\theta` ne peut être déterminé à partir de la formule précédente puisque `\theta` est déjà fixé. Par contre, pour `E_r`, il est possible de le déterminer puisqu'on dérive par rapport à `r` en supposant `\theta` constant. Remplacer `\theta` par sa valeur avant ou après la dérivation importe peu.
##E_r\left(r,\dfrac\pi4\right)=-\dfrac{\partial V\left(r,\dfrac\pi4\right) }{\partial r}\implies##
En coordonnées polaires, ##\overrightarrow{grad} =\dfrac{\partial}{\partial r}\overrightarrow{u_r}+\dfrac1r \dfrac{\partial}{\partial \theta}\overrightarrow{u_\theta}##
##\overrightarrow{E(r,\theta)} =-\dfrac{\partial V(r,\theta) }{\partial r}\overrightarrow{u_r}- \dfrac1r\dfrac{\partial V(r,\theta)}{\partial \theta}\overrightarrow{u_\theta}\implies ## ##\begin{cases} E_r=-\dfrac{\partial V(r,\theta) }{\partial r}\\ E_\theta=-\dfrac1r\dfrac{\partial V(r,\theta)}{\partial \theta} \end{cases}##
Le potentiel qu'on a déterminé précédemment ##V(r)=V(r,\dfrac\pi4)## n'est valable que pour ##\theta=\dfrac\pi4##. Ainsi,`E_\theta` ne peut être déterminé à partir de la formule précédente puisque `\theta` est déjà fixé. Par contre, pour `E_r`, il est possible de le déterminer puisqu'on dérive par rapport à `r` en supposant `\theta` constant. Remplacer `\theta` par sa valeur avant ou après la dérivation importe peu.
##E_r\left(r,\dfrac\pi4\right)=-\dfrac{\partial V\left(r,\dfrac\pi4\right) }{\partial r}\implies##
##E_r\left(r,\dfrac\pi4\right)=-\dfrac{\partial }{\partial r}\left(Kq\left(\dfrac{2}{\sqrt{r^2+R^2}}+
\dfrac{1}{R+r}\right)\right)\implies##
##E_r\left(r,\dfrac\pi4\right)=-Kq\left(2\dfrac{\partial (r^2+R^2)^{-\frac12} }{\partial r}
+
\dfrac{\partial (R+r)^{-1} }{\partial r}\right)\implies##
##E_r\left(r,\dfrac\pi4\right)=Kq\left(2(2r)(-\dfrac12)(r^2+R^2)^{-\frac32}-(R+r)^{-2}\right)\implies##
##E_r\left(r,\dfrac\pi4\right)=Kq\left(\dfrac{2r}{(r^2+R^2)^{\frac32}}+\dfrac1{(R+r)^{2}}\right)##
Pour `E_\theta`, on le détermine en utilisant la symétrie du système par rapport à l'axe `(\Delta)`.
Le champ électrique créé par la charge `q_C` au point `M` est porté par l'axe `(\Delta)`.
Les champs électriques créés par les charges `q_A` et `q_B` au point `M` ont des modules égaux puisque
`q_A=q_B` et `AM=BM` et sont symétriques par rapport à l'axe `(\Delta)`.
La résultante de ces deux champs électriques est aussi portée par l'axe `(\Delta)`.
En sommant ces 3 champs électriques, on obtient le champ électrique ##E_r\left(r,\dfrac\pi4\right)##,
il sera donc porté par l'axe `(\Delta)`. Par conséquent, la composante ##E_\theta\left(r,\dfrac\pi4\right)## est nulle.
Le champ électrique en un point de `M` de l'axe `(\Delta)` aura donc pour expression :
Au point `D`, `r=R`, la valeur du module du champ électrique est égale à :
##E_D=Kq\left(\dfrac{2R}{(R^2+R^2)^{\frac32}}+\dfrac1{(R+R)^{2}}\right)\implies## ##E_D=\dfrac{2\sqrt2+1}4K \dfrac{q}{R^2}\implies## ##E_D=\dfrac{2\sqrt2+1}4\times 9\times10^9\times \dfrac{2\times 10^{-9}}{(2\times 10^{-2})^2}\implies##
##\overrightarrow {E(r)}=Kq\left(\dfrac{2r}{(r^2+R^2)^{\frac32}}+\dfrac1{(R+r)^{2}}\right)\overrightarrow{u_{OD}}##
où ##\overrightarrow{u_{OD}}## est le vecteur unitaire de l'axe `(\Delta)`.Au point `D`, `r=R`, la valeur du module du champ électrique est égale à :
##E_D=Kq\left(\dfrac{2R}{(R^2+R^2)^{\frac32}}+\dfrac1{(R+R)^{2}}\right)\implies## ##E_D=\dfrac{2\sqrt2+1}4K \dfrac{q}{R^2}\implies## ##E_D=\dfrac{2\sqrt2+1}4\times 9\times10^9\times \dfrac{2\times 10^{-9}}{(2\times 10^{-2})^2}\implies##
##E_D=4,307\ V/m##
2- Calculer l'énergie interne `U_i` du système formé par ces trois charges.
Réponse
##U=K\dfrac{q_Aq_B}{AB}+K\dfrac{q_Aq_C}{AC}+K\dfrac{q_Bq_C}{BC}##
Calcul des différentes distances :
`AB=2R`
##\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\implies## ##\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\implies##
Calcul des différentes distances :
`AB=2R`
##\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\implies## ##\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\implies##
##AC=
\sqrt{\left|\left|\overrightarrow{OA}\right|\right|^2+
\left|\left|\overrightarrow{OA}\right|\right|^2-
2\left|\left|\overrightarrow{OC}\right|\right|\left|\left|\overrightarrow{OA}\right|\right|
cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)}##
##\left|\left|\overrightarrow{OA}\right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{OC}\right|\right|=R##
##\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)= \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}\right)+\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OC}\right)## or ##\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}\right)=\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}\right)=-\dfrac\pi2## (voir réponse de la question 1-a)
##\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac\pi2+\pi\implies## ##\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)=\dfrac\pi2##
##AC=\sqrt{R^2+R^2-2R^2cos\left(\dfrac\pi2\right)}\implies## ##AC=\sqrt{2}\ R\implies##
Par symétrie, on a ##BC=AC\implies####BC=\sqrt{2}\ R##
##U=K\dfrac{q^2}{2R}+K\dfrac{q^2}{\sqrt{2}\ R}+\dfrac{q^2}{\sqrt{2}\ R}\implies## ##U=\dfrac{1+2\sqrt{2}}{2}K\dfrac{q^2}{R}\implies## ##U=\dfrac{1+2\times\sqrt{2}}{2}\times 9\times10^9\dfrac{\left(2\times10^{-9}\right)^2}{2\times10^{-2}}\implies##
##\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)= \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}\right)+\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OC}\right)## or ##\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}\right)=\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}\right)=-\dfrac\pi2## (voir réponse de la question 1-a)
##\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac\pi2+\pi\implies## ##\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)=\dfrac\pi2##
##AC=\sqrt{R^2+R^2-2R^2cos\left(\dfrac\pi2\right)}\implies## ##AC=\sqrt{2}\ R\implies##
Par symétrie, on a ##BC=AC\implies####BC=\sqrt{2}\ R##
##U=K\dfrac{q^2}{2R}+K\dfrac{q^2}{\sqrt{2}\ R}+\dfrac{q^2}{\sqrt{2}\ R}\implies## ##U=\dfrac{1+2\sqrt{2}}{2}K\dfrac{q^2}{R}\implies## ##U=\dfrac{1+2\times\sqrt{2}}{2}\times 9\times10^9\dfrac{\left(2\times10^{-9}\right)^2}{2\times10^{-2}}\implies##
##U=3,446\ \ 10^{-6}\ J##
3-Une charge ponctuelle `Q` est lancé de l'infini vers le point `D` le lomg de l'axe `(\Delta)` avec énergie cinétique ##E_{c\infty}=5,16\ \ 10^{-6}\ J ##. Quelle doit être la valeur de la charge `Q` pour qu'elle rebrousse chemin au point `D` ?
Réponse
Comme la charge `Q` n'est soumise qu'à la seule force électrique conservative, l'énergie totale, ##E_T##,
de cette charge est donc constante.
En tout point M de ##(\Delta)##, on a :
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+QV_{M}=constante##
Comme à l'infini ,on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{c\ \infty}=5,16\ \ 10^{-6}\ J##, et le potentiel électrique, ##V(r\rightarrow\infty)=0\ V##, on peut ainsi déterminer la valeur de ## E_T## :
##E_{c\ \infty}+QV(r\rightarrow\infty)=5,16\ \ 10^{-6}\ J\implies####E_{cM}+QV_{M}=5,16\ \ 10^{-6}\ \ J##
Comme la charge `Q` rebrousse chemin en `D`, sa vitesse ` v_D` est donc nulle en ce point et par conséquent son énergie cinétique, ##E_{cD}=\dfrac12 mv_D^2##, le sera aussi.
##QV_D=5,16\ \ 10^{-6}\implies## ##Q=\dfrac{5,16\ \ 10^{-6}}{V_D}\implies## ##Q=\dfrac{5,16\times 10^{-6}}{1723}\implies##
## E_T=E_{cM}+E_{pM}=constante\implies####E_{cM}+QV_{M}=constante##
Comme à l'infini ,on connait la valeur de l'énergie cinétique, ##E_{c\ \infty}=5,16\ \ 10^{-6}\ J##, et le potentiel électrique, ##V(r\rightarrow\infty)=0\ V##, on peut ainsi déterminer la valeur de ## E_T## :
##E_{c\ \infty}+QV(r\rightarrow\infty)=5,16\ \ 10^{-6}\ J\implies####E_{cM}+QV_{M}=5,16\ \ 10^{-6}\ \ J##
Comme la charge `Q` rebrousse chemin en `D`, sa vitesse ` v_D` est donc nulle en ce point et par conséquent son énergie cinétique, ##E_{cD}=\dfrac12 mv_D^2##, le sera aussi.
##QV_D=5,16\ \ 10^{-6}\implies## ##Q=\dfrac{5,16\ \ 10^{-6}}{V_D}\implies## ##Q=\dfrac{5,16\times 10^{-6}}{1723}\implies##
##Q=2,99\ \ 10^{-9}\ C##
4-On place, au point `D`, un dipôle électrique de moment dipolaire `vec p` faisant un angle ##\theta =\dfrac{3\pi}{4}##
avec ##\overrightarrow{i}## (voir figure (b) ci-dessus) .
Calculer l'énergie potentielle ` E_p` du dipôle.
Réponse
##E_p## est exprimée par : ##E_p=-\overrightarrow{p}.\overrightarrow{E_D}\implies##
##E_p=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{p}\right)##
##\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{p}\right)=\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{i}\right)+ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{p}\right)\implies## ##\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{p}\right)=-\dfrac\pi4+\dfrac{3\pi}4\implies## ##\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{p}\right)=\dfrac{\pi}2##
##E_p=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos\left(\dfrac{\pi}2\right)\implies##
##\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{p}\right)=\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{i}\right)+ \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{p}\right)\implies## ##\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{p}\right)=-\dfrac\pi4+\dfrac{3\pi}4\implies## ##\left(\overrightarrow{E_D},\overrightarrow{p}\right)=\dfrac{\pi}2##
##E_p=-||\overrightarrow{p}||\ ||\overrightarrow{E_D}|| cos\left(\dfrac{\pi}2\right)\implies##
##E_p=0\ J##