Cinématique du point matériel :
Exercice n°2 : Un mobile ##M## se déplace sur une trajectoire circulaire de centre ##O## et
de rayon ##R=2 m## (voir figure 1). La vitesse angulaire du mobile ##\omega=\dfrac{d\theta}{dt}##est représentée sur la figure 2.
A ##t=0 s,\ \theta=0 rd##. (On prendra ##\pi^2=10##)
1- Calculer la distance parcourue par le mobile entre les instants ##t=0 s## et ##t=5 s.##
Rappel
Dans le cas d'une trajectoire circulaire de rayon ##R##, l'élément d'abscisse curviligne ##ds## est relié
à l'élément d'angle ##d\theta## par :
##ds=Rd\theta## et la vitesse linéaire ##v## à la vitesse angulaire ##\omega=\dfrac{d\theta}{dt}## par :
##v=R\omega##.
##\int_{s(t_1)}^{s(t_2)}ds=\int_{t_1}^{t_2}R\omega\ dt\implies s(t_2)-s(t_1)=R\int_{t_1}^{t_2}\omega\ dt##
Cette dernière intégrale représente, sur le graphe ##\omega(t)##, l'aire délimitée par la courbe correspondante
à ##\omega##, l'axe des temps t et les deux parallèles à l'axe des vitesses angulaires passant par les
deux points de coordonnées ##(t_1,0)## et ##(t_2,0)##. Cette aire est comptée positivement si la courbe
est située au dessus de l'axe des temps t sinon elle est comptée négativement.
Réponse
On a :
##d_1=\left|\int_0^2R\omega dt\right|=R\left|\int_0^2\omega dt\right|\implies## ##d_1=2\times(1-0)\times\dfrac\pi2+2\times\dfrac1 2\times(2-1)\times\dfrac\pi2\implies## ##d_1=\dfrac3 2\pi ##
##d_2=\left|\int_2^5R\omega dt\right|=R\left|\int_2^5\omega dt\right|\implies## ##d_2=2\times\dfrac1 2\times(5-2)\times\pi\implies## ##d_2= 3\pi ##
##d=\dfrac3 2\pi+3\pi\implies## ##d=\dfrac9 2\pi \implies##
2/Représenter sur la trajectoire à ## t =3 s##:
- Le vecteur position ##\overrightarrow{OM}##,
- Le vecteur vitesse ##\overrightarrow{v\ }##,
- Le vecteur accélération ##\overrightarrow{a\ }##.
Télécharger la trajectoire circulaire
Réponse
- Le vecteur position ##\overrightarrow{OM}##:
Déterminons l'angle ##\theta## à l'instant ##t=3 s## :
##\int_{\theta(0)}^{\theta(3)}d\theta=\int_{0}^{3}\omega\ dt\implies## ## \theta(3)-\theta(0)=\int_{0}^{3}\omega\ dt \implies## ## \theta(3)=\int_{0}^{1}\omega\ dt+\int_{1}^{2}\omega\ dt+\int_{2}^{3}\omega\ dt\implies##
##\theta(3)=(1-0)\times\dfrac\pi2+\dfrac1 2\times(2-1)\times\dfrac\pi2+\dfrac1 2\times(3-2)\times(-\pi)\implies## ##\theta(3) =\dfrac\pi2 rd##
Les coordonnées polaires de M sont alors :## \left(2 m,\dfrac\pi2 rd\right) ##et le vecteur ## \overrightarrow{OM}## dans le repère intrinséque :## \overrightarrow{OM}=-2 \overrightarrow{u_n} (m)## - Le vecteur vitesse ##\overrightarrow{v\ }##:
##\overrightarrow{v(3)}=R\omega(3)\overrightarrow{u_t} \implies## ## \overrightarrow{v(3)}=2\times\left(-\dfrac\pi2\right) \overrightarrow{u_t}\implies## ## \overrightarrow{v(3)}=-\pi \overrightarrow{u_t}\implies####\overrightarrow{v(3)}=-3.14 \overrightarrow{u_t} (m/s) ## - Le vecteur accélération ##\overrightarrow{a\ }##:
##\overrightarrow{a}=\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}\implies## ##\overrightarrow{a}=\dfrac{d(v\overrightarrow{u_t})}{dt}\implies## ##\overrightarrow{a}=\dfrac{d(R\omega\overrightarrow{u_t})}{dt}\implies## ##\overrightarrow{a}=R\dfrac{d(\omega\overrightarrow{u_t})}{dt}\implies## ##\overrightarrow{a}=R\dfrac{d\omega}{dt}\overrightarrow{u_t}+R\omega\dfrac{d\overrightarrow{u_t}}{dt}\implies## ##\overrightarrow{a}=R\dfrac{d\omega}{dt}\overrightarrow{u_t}+R\omega\dfrac{d\overrightarrow{u_t}}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt}\implies## ##\overrightarrow{a}=R\dfrac{d\omega}{dt}\overrightarrow{u_t}+R\ \omega^2\overrightarrow{u_n} ##
##\dfrac{d\omega}{dt}## représente la pente de la tangente à la courbe correspondante à ##\omega(t)## à l'instant ##t##.
##\overrightarrow{a(3)}=2\times\left(-\dfrac\pi2\right)\overrightarrow{u_t}+2\times\left(-\dfrac\pi2\right)^2\ \overrightarrow{u_n}\implies## ##\overrightarrow{a(3)} =-\pi \overrightarrow{u_t}+\dfrac{\pi^2} 2 \overrightarrow{u_n}\implies ####\overrightarrow{a(3)}=-3.14 \overrightarrow{u_t}+5 \overrightarrow{u_n} (m/s^2)##
- Représentation graphique :
Lorsque la trajectoire est circulaire, il est préférable de commencer à tracer l'axe normal puisqu'on connait deux de ces points, le centre du cercle et la postion du mobile. Ensuite, on trace l'axe tangentiel perpendiculairement à l'axe normal à la position considérée.
3- A cet instant ##t=3 s##, un second mobile ##M'## se déplace le long de l'axe ##(Oy)##, dans le sens positif, avec une vitesse ##v'=3.14 m/s.## Déterrminer et représenter la vitesse de ##M## par rapport à ##M'## à cet instant.
Réponse
##\overrightarrow{v_{M/M'}(3)}=\overrightarrow{v_{M/O}(3)}+\overrightarrow{v_{O/M'}(3)}\implies## ##\overrightarrow{v_{M/M'}(3)}=\overrightarrow{v(3)}-\overrightarrow{v'(3)}\implies## ##\overrightarrow{v_{M/M'}(3)}=-3.14 \overrightarrow{u_t}-(-3.14 \overrightarrow{u_n})\implies##
