Cinématique du point matériel :

Exercice n°3 : Le mouvement plan d'un mobile ##A##, assimilé à un point matériel, est décrit dans le plan ##xOy## muni d'un repère orthonormé ##\left(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)## par les équations paramétriques en coordonnées cartésiennes suivantes:

$$\begin{cases} x\left(t\right)=2tcos\left(\dfrac\pi4t\right) \\ y\left(t\right)=2tsin\left(\dfrac\pi4t\right) \end{cases} t en s, x et y en m $$

1/Sachant qu'à ##t=0 s##, l'angle polaire ##\theta=0 rad##, montrer que les équations paramétriques polaires s'écrivent:

$$\begin{cases} r\left(t\right)=2t \\[2ex] \theta\left(t\right)= \dfrac\pi4t \end{cases} t en s, r en m et \theta en rad $$

Réponse

on sait que :
##\begin{cases} r\left(t\right)=\sqrt{x^2+y^2} \\ tg\left(\theta\right)= \dfrac{y}{x} \end{cases}####\implies## ##\begin{cases} r\left(t\right)=\sqrt{\left(2tcos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)\right)^2+\left(2tsin\left(\dfrac\pi4t\right)\right)^2} \\ tg\left(\theta\right)= \dfrac{2tsin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)}{2tcos\left(\dfrac\pi4t\right)} \end{cases}## ##implies## ##\begin{cases} r\left(t\right)=2t\sqrt{cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+sin^2\left(\dfrac\pi4t\right)} \\ tg\left(\theta\right)= tg\left(\dfrac{\pi}{4}t\right) \end{cases}\implies ## ##\begin{cases} r\left(t\right)=2t \\[2ex] \theta= \dfrac{\pi}{4}t +k\pi \ \ \ k \in \mathbb Z \end{cases}##

Puisque ##\theta\left(0\right)=0 rad \implies k=0##. Par conséquent, on aboutit au résultat recherché :

##\begin{cases} r\left(t\right)=2t \\[2ex] \theta= \dfrac{\pi}{4}t \end{cases}##

2/Tracer la trajectoire pour ##0\le t \le 4s## sur la grille ci-dessous. Echelle : ##1 cm \rightarrow 1 m##

ccc
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Réponse

##\begin{cases} r\left(t\right)=2t \\[2ex] \theta= \dfrac{\pi}{4}t \end{cases}## ##\implies r=\dfrac8\pi\theta##.
On dresse un taleau de valeurs pour tracer la trajectoire du mobile.

##\theta\left(rad\right)##	0	##\dfrac\pi8##	##\dfrac\pi4##	##\dfrac{3\pi}8##	##\dfrac\pi2##	##\dfrac{5\pi}8##	##\dfrac{3\pi}4##	##\dfrac{7\pi}8##	##\pi##
##r\left(m\right)##	0,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0

ccc

3- Déterminer les expressions des composantes radiale ##v_r## et transversale ##v_\theta## du vecteur vitesse ##\overrightarrow{v\ }##. En déduire l'expression du vecteur vitesse en fonction du temps ##t##.

Réponse

On sait que le vecteur vitesse en coordonnées polaires s'exprime par la relation suivante :

##\overrightarrow v=\dfrac{d\overrightarrow{r}}{dt}\implies## ##\overrightarrow v=\dfrac{d\left(r\overrightarrow{u_r}\right)}{dt}\implies## ##\overrightarrow v=\dfrac{dr}{dt}\overrightarrow{u_r} +r\dfrac{d\overrightarrow{u_r}}{dt}\implies## ##\overrightarrow v=\dfrac{dr}{dt}\overrightarrow{u_r} +r\dfrac{d\theta}{dt}\dfrac{d\overrightarrow{u_r}}{d\theta}\implies## ##\overrightarrow v=\dfrac{dr}{dt}\overrightarrow{u_r} +r\dfrac{d\theta}{dt}\overrightarrow {u_\theta}\implies##

##\begin{cases} v_r=\dfrac{dr}{dt} \\[2ex] v_\theta= r\dfrac{d\theta}{dt} \end{cases}##

##\implies## ##\begin{cases} v_r=2 m/s \\[2ex] v_\theta= \dfrac{\pi}{2}t\ \ \ \left(m/s\right) \end{cases}\implies##

##\overrightarrow v=2 \overrightarrow{u_r}+ \dfrac{\pi}{2}t \overrightarrow {u_\theta}\ \ \ \left(m/s\right)##

4- Déterminer les expressions des composantes radiale ##a_r## et transversale ##a_\theta## du vecteur accélération ##\overrightarrow{\ a\ },## en fonction du temps ##t.##
On rappelle que : ##\overrightarrow{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\overrightarrow{u_r}+ \left(2\dfrac{dr}{dt}\dfrac{d \theta}{dt}+r \dfrac{d^2\theta}{dt^2}\right)\overrightarrow{u_\theta}##

Réponse

##\overrightarrow{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\overrightarrow{u_r}+ \left(2\dfrac{dr}{dt}\dfrac{d \theta}{dt}+r \dfrac{d^2\theta}{dt^2}\right)\overrightarrow{u_\theta}\implies## ##\begin{cases} a_r=\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2 \\[2ex] a_{\theta}= 2\dfrac{dr}{dt}\dfrac{d\theta}{dt}+r \dfrac{d^2\theta}{dt^2} \end{cases}####\implies## ##\begin{cases} a_r=-\dfrac{\pi^2}{8}t\ \ \ \left(m/s^2\right) \\[2ex] a_\theta=\pi \ \ \ \left(m/s^2\right) \end{cases}####\implies##

##\begin{cases} a_r=-1,25\ t \ \ \ \left(m/s^2\right) \\[2ex] a_\theta=3,14 m/s^2 \end{cases}##

5- Sachant que ##a_r =-2,5 m/s^2## et ##a_{\theta}=3,14 m/s^2## à l'instant ##t=2 s##, représenter les vecteurs vitesse et accélération à cet instant.

Rappel

On reporte ce point dans le plan ##xOy## puis on trace le vecteur position ##\overrightarrow{OM\left(t_1\right)}##. La direction de ce vecteur définit l'axe radial à cet instant. Le vecteur unitaire de l'axe radiale ##\overrightarrow{u_r}## est orienté dans le même sens que le vecteur position. Le vecteur unitaire ##\overrightarrow{u_\theta}## de l'axe transversal est obtenu en le confondant avec ##\overrightarrow{u_r}## puis en le faisant tourner de 90° dans le sens direct (sens trigonométrique). Sa direction définit l'axe transversal.

Réponse

Déterminons la position du mobile à l'instant ##t=2s##, en coordonnées polaires : ##\begin{cases} r(2)=4 m\\ \theta(2)=\dfrac\pi2 \end{cases}## ou en coordonnées cartésiennes : ##\begin {cases} x(2)=0 m\\ y(2)=4 m\\ \end{cases} ##
Les coordonnées polaires de la vitesse sont : ##\begin {cases} v_r(2)=2 m/s\\ v_{\theta}(2)=3,14 m/s \end{cases}## et celles de l'accélérations sont : ##\begin {cases} a_r(2)=-2,5 m/s^2\\ a_{\theta}(2)=3,14 m/s^2 \end{cases}##

ccc

6- Déterminer les composantes tangentielle ##a_t## et normale ##a_n## du vecteur accélération ##\overrightarrow a## à l'instant ##t=2s##. En déduire le rayon de courbure ##\rho## de la trajectoire à cet instant.

Rappel

Le mobile parcourt la trajectoire dans un sens unique. On oriente cette trajectoire dans ce sens et le considére positif. On trace en premier lieu l'axe tangentiel (direction du vecteur vitesse ou direction la tangente à la trajectoire au point considéré) , puis en second lieu on trace l'axe normal, perpendiculaire à l'axe tangentiel. Le vecteur unitaire ##\overrightarrow{u_t}## de l'axe tangentiel est orienté dans le sens positif. Le vecteur unitaire ##\overrightarrow{u_n}## de l'axe normal est orienté vers l'intérieur de la courbure de la trajectoire.

Réponse

Méthode graphique :

On projette le vecteur accélération ##\overrightarrow a## sur les deux axes tangentiel et normal (voir figure ci-dessous) :

##\begin{cases} a_t\left(2\right)=1,3m/s^2\\ a_n\left(2\right)=3,8m/s^2 \end{cases}##

ccc

Méthode analytique :

##\overrightarrow v=v\overrightarrow{u_t}##, comme ##\overrightarrow v## et ##\overrightarrow{u_t}## sont orientés dans le même sens, ##v## est positive et par conséquent ##v=||\overrightarrow{v}||\implies## ## v=\sqrt{v_r^2+v_{\theta}^2}\implies## ## v=\sqrt{4+\dfrac{\pi^2}{4}t^2}##

##a_t=\dfrac{dv}{dt}\implies## ##a_t=\dfrac{\dfrac{\pi^2}{4}t}{\sqrt{4+\dfrac{\pi^2}{4}t^2}}\implies##

## a_t\left(2\right)=1,33 m/s^2##

##\begin{cases} a^2=a_r^2+a_\theta^2\\ a^2=a_t^2+a_n^2 \end{cases} \implies## ## a_n=\sqrt{a_r^2+a_\theta^2-a_t^2}\implies## ## a_n=\sqrt{2,5^2+3,14^2-1,33^2}\implies##

## a_n(2)=3,79 m/s^2##

##a_n\left(2\right)=\dfrac{v^2\left(2\right)}{\rho\left(2\right)}\implies## ## \rho\left(2\right)=\dfrac{v^2\left(2\right)}{a_n\left(2\right)}\implies## ##\rho\left(2\right)=\dfrac{4+\dfrac{\pi^2}{4}\times2^2}{3,79}\implies##

##\rho\left(2\right)=3,66 m##

7-Un deuxième mobile ##B##, se déplace avec la vitesse ##\overrightarrow {v_B}=4\overrightarrow i +4\overrightarrow j\ \ \left(m/s\right) ##.
a/Représenter le vecteur ##\overrightarrow {v_B}## au point ##O.##
b/En déduire la représentation du vecteur vitesse ##A## par rapport à ##B##, ##\overrightarrow {v_{A/B} }## à ##t=2 s##.

Réponse

a/ ##\overrightarrow{v_B}=4\overrightarrow i+4\overrightarrow j= -4\overrightarrow{u_\theta}+4\overrightarrow{u_r}##
b/ ##\overrightarrow{v_{A/B}}=\overrightarrow{v_A}-\overrightarrow{v_B}##

ccc