Le ressort n'est pas déformé, il peut être ôté du système.
Divisons le système en trois sous-systèmes et
faisons un bilan de forces extérieures agissant sur chaque sous-système.
Sous-système 1 : corps ##A##
Les forces extérieures sont le poids du corps ##A##, ##\overrightarrow {P_A}##,
la force de contact entre le corps ##A## et le plan ##(MN),## ##\overrightarrow {C_A}##,
et la tension du fil, ##\overrightarrow {T_A}.##
Sous-système 2 : corps ##B##
Les forces extérieures sont le poids du corps ##B##, ##\overrightarrow {P_B}##,
la force de contact entre le corps ##B## et le plan ##(NP),## ##\overrightarrow {C_B}##,
et les deux tensions des fils de gauche, ##\overrightarrow {T_{Bg}}\ ##, et de droite,##\ \ \overrightarrow {T_{Bd}}.##
Sous-système 3 : corps C
Les forces extérieures sont le poids du corps ##C##, ##\overrightarrow {P_C}##,
la force de contact entre le corps ##C## et le plan ##(PQ),## ##\overrightarrow {C_C}##,
et la tension du fil, ##\overrightarrow {T_C}.##
Le corps ##A## peut glisser sans frottement sur le plan ##(MN)## ##\implies \overrightarrow {C_A}\bot (MN)##
Le corps ##B## peut glisser sans frottement sur le plan ##(NP)## ##\implies \overrightarrow {C_B}\bot (NP)##
Représentons les forces sur le systeme :
Remarque : Selon la valeur de ##m_C##, la force de contact statique ## \overrightarrow {C_C}
## peut être incliné du coté droit ou gauche de la normale.
Dans le cas de figure, on l'a représentée du coté gauche.
Ecrivons pour chaque sous-système l'équation ##\sum\overrightarrow {F_{ext}}=\overrightarrow 0 ##
et projetons la sur les axes tangentiel et nornal du sous-système considéré.
Sous-système 1 : corps ##A##
##\overrightarrow {P_A}+\overrightarrow {T_A}+\overrightarrow {C_A}=\overrightarrow {0}\implies##
##\begin{cases}
-P_{A∥}+T_A=0 \\[2ex]
-P_{A\bot}+C_A=0
\end{cases}##
##\implies##
##\begin{cases}
-m_Ag\ sin(\alpha)+T_A=0 \\[2ex]
-m_Ag\ cos(\alpha)+C_A=0
\end{cases}##
##\implies##
##\begin{cases}
T_A=m_Ag\ sin(\alpha) \\[2ex]
C_A=m_Ag\ cos(\alpha)
\end{cases}##
Sous-système 2 : corps ##B##
##\overrightarrow {P_B}+\overrightarrow {T_{Bg}}+\overrightarrow {T_{Bd}}+\overrightarrow {C_B}=\overrightarrow {0}\implies##
##\begin{cases}
-T_{Bg}+T_{Bd}=0 \\[2ex]
-P_B+C_B=0
\end{cases}##
##\implies##
##\begin{cases}
-T_{Bg}+T_{Bg}=0 \\[2ex]
-m_Bg+C_B=0
\end{cases}##
##\implies##
##\begin{cases}
T_{Bg}=T_{Bd} \\[2ex]
C_B=m_Bg
\end{cases}##
Sous-système 3 : corps ##C##
##\overrightarrow {P_C}+\overrightarrow {T_C}+\overrightarrow {C_C}=\overrightarrow {0}\implies##
##\begin{cases}
P_{C∥}-T_C-C_{C∥}=0 \\[2ex]
-P_{C\bot}+C_{C\bot}=0
\end{cases}##
##\implies##
##\begin{cases}
m_Cg\ sin(\beta)-T_C-C_{C∥}=0 \\[2ex]
-m_Cg\ cos(\beta)+C_{C\bot}=0
\end{cases}##
##\implies##
##\begin{cases}
C_{C∥}=m_Cg\ sin(\beta)-T_C \\[2ex]
C_{C\bot}=m_Cg\ cos(\beta)
\end{cases}##
Comme les poulies et les fils sont de masses négligeables
##\implies##
##\begin{cases}
T_{Bd}=T_C \\[2ex]
T_{Bg}=T_A
\end{cases}##
Au vu de toutes ces équations, on remarque:
##T_{Bg}=T_{Bd}=T_C=T_A=m_Ag\ sin(\alpha)##
On en déduit les relations exprimant ##C_{C∥}## et ##C_{C\bot}## :
##\begin{cases}
C_{C∥}=m_Cg\ sin(\beta)-m_Ag\ sin(\alpha)\\[2ex]
C_{C\bot}=m_Cg\ cos(\beta)
\end{cases}##
Déteminons maintenant la condition sur ##m_C##
pour que le système ne rompe pas l'équilibre.
Dans ce cas il faut:
##\dfrac {\left|\left|\overrightarrow {C_{∥}}\right|\right|}{\left|\left|\overrightarrow {C_{\bot}}\right|\right|}\le
\mu_s\implies##
##\dfrac{\left|m_C sin(\beta)-m_A sin(\alpha)\right|}{\left|m_C cos(\beta)\right|}\le \mu_s \implies##
##\left|m_C\ sin(\beta)-m_A sin(\alpha)\right|\le\mu_s \left|m_Ccos(\beta)\right| ##
Pour résoudre cette inéquation, on remplace tout d'abord, les grandeurs par leurs valeurs.
##\left|\dfrac{\sqrt3}2m_C- \dfrac{\sqrt3}2\right|\le 0,4\ \left|m_C\dfrac12\right|\implies ##
##\dfrac{\sqrt3}2\left|m_C-1\right|\le 0,2m_C\implies ##
##\left|m_C-1\right|\le \dfrac{0,4}{\sqrt3}m_C\implies ##
##-\dfrac{0,4}{\sqrt3}m_C\le m_C-1 \le \dfrac{0,4}{\sqrt3}m_C\implies ##
On résoud la première inéquation :
##-\dfrac{0,4}{\sqrt3}m_C\le m_C-1 \implies##
##\left(1+\dfrac{0,4}{\sqrt3}\right)m_C\ge 1 \implies##
## m_C\ge\dfrac {\sqrt3}{\sqrt3+0,4}\implies##
## m_C\ge\dfrac {75-15\sqrt3}{71}\implies##
## m_C\ge 0,812 kg##
puis la seconde :
## m_C-1 \le \dfrac{0,4}{\sqrt3}m_C \implies##
## \left(1-\dfrac{0,4}{\sqrt3}\right)m_C\le 1 \implies##
## m_C\le\dfrac {\sqrt3}{\sqrt3-0,4}\implies##
## m_C\ge\dfrac {75+15\sqrt3}{71}\implies##
## m_C\le 1,30 kg##
En conclusion : Le systéme est en équilibre si
##0,812 kg\le m_C\le 1,30 kg.##
Si ##m_C \lt 0,812 kg##,
le corps ##C## sera entrainé vers le haut par le corps ##A##
et si ##m_C> 1,30 kg##, le corps ##C## se déplacera vers le bas.
