Considérons le sous-système masse ##m_1##. Les forces extérieures agissant sur ce sous-système sont le poids de la masse ##m_1##, ##\overrightarrow {P_1}=m_1\overrightarrow {g},## et l'action du plateau sur la masse ##m_1##, ##\overrightarrow {C_1}.##

Comme le sous-système est en équilibre la résultante des forces du sous-système est nulle.

##\overrightarrow {P_1}+\overrightarrow {C_1}=\overrightarrow {0\ }##

En projetant cette équatiion vectorielle sur l'axe vertical, ##(O_1y_1),## on obtient:

##C_1-P_1=0 \implies## ## C_1=P_1\implies## ## C_1=m_1g\implies## ## C_1=2\times 10\implies##

On considère le sous-système plateau. Les forces extérieures agissant sur le sous-système plateau sont la tension du ressort, ##\overrightarrow {T_R}##, et l'action de la masse ##m_1## sur le plateau, ##\overrightarrow {C_2}.##

Comme le système est en équilibre, la résultante des forces de ce sous-système est nulle, par conséquent, on a :

## \begin{cases} \overrightarrow {C_2}+\overrightarrow {T_R}=\overrightarrow {0\ }  (\mbox{sous-système plateau})\\ \overrightarrow C_2=-\overrightarrow {C_1}   (\mbox{Forces mutuelles}) \end{cases} \implies ## ## \overrightarrow {T_R}=\overrightarrow {C_1} \implies ## ##T_R=C_1 ##

Le ressort étant parfait, on a ##T_R=k\Deltaℓ##, par conséquent:

##k\Deltaℓ=C_1\implies## ##\Deltaℓ=\dfrac{C_1}{k}\implies## ## \Deltaℓ=\dfrac{20}{100}\implies##

Si le système est au repos et les deux conditions (1) et (2) sont vérifiées:

##\sum\overrightarrow {F_{ext}}=\overrightarrow {0\ } \ \ \ \ (1) \ \ \ \ et \ \ \ \ \dfrac{\||\overrightarrow {C_{∥}}||}{\||\overrightarrow {C_{\bot}}||}\le\mu_s\ \ \ \ (2)##

alors le système est en équilibre.
La première condition permet de déterminer les composantes de la force de contact ##\overrightarrow {C\ }## si équilibre a lieu et la seconde permet de vérifier si l'équilibre peut avoir lieu.
Dans le cas où la condition (2) n'est pas vérifiée, le système se mettra à glisser et les composantes de ##\overrightarrow {C\ }## vérifient les conditions (3) et (4) :

##\dfrac{\||\overrightarrow {C_{∥}}||}{||\overrightarrow {C_{\bot}}||}=\mu_d \ \ \ (3) \ \ \ et\ \ \ \ \ \sum\overrightarrow {F\ }=m\overrightarrow {a\ }\ \ \ (4)## (Relation Fondamentale de la Dynamique : RFD)

Considérons le sous-système masse ##m_2##. Les forces extérieures agissant sur ce sous-système sont le poids de la masse ##m_2##, ##\overrightarrow {P_2}## et l'action du plan incliné sur la masse ##m_2##, ##\overrightarrow {C_2}.##

Comme le corps de masse ##m_2## repose sur le plan incliné rugueux, donc au repos, ce corps est alors en équilibre. La résultante des forces du sous-système est nulle.

##\overrightarrow {P_2}+\overrightarrow {C_2}=\overrightarrow {0\ }\implies## ##\overrightarrow {C_2}=-\overrightarrow {P_2}##

En projetant l'équation vectorielle, ##\overrightarrow {P_2}+\overrightarrow {C_2}=\overrightarrow {0\ }##, sur les axes perpendiculaire ##(O_2y_2)## et parallèle ##(O_2x_2)## au plan, on obtient:

##\begin{cases} C_{2∥}-P_2\ sin(\alpha)=0 \\[2ex] -C_{2\bot}+P_2\ cos(\alpha)=0 \end{cases}\implies## ##\begin{cases} C_{2∥}=P_2\ sin(\alpha) \\[2ex] C_{2\bot}=P_2\ cos(\alpha) \end{cases}\implies## ## \dfrac{C_{2∥}}{C_{2\bot}}=tg(\alpha)##

Comme le sous-système est en équilibre, la condition statique doit être vérifiée :

##0\le\dfrac{C_{2∥}}{C_{2\bot}}\le\mu_s\implies## ## 0\le tg(\alpha)\le\mu_s\implies## ## 0°\le\alpha\le arctg(\mu_s)\implies## ## arctg(0)\le\alpha\le arctg(0,5)\implies## ## 0°\le\alpha\le 26,57°\implies##

Si un corps glisse sur un sol rugueux caractérisé par un coefficient de frottement dynamique ##\mu_d\ , ## le vecteur ##\overrightarrow {C_{∥}}## est tangent à la trajectoire et de sens opposé à celui de la vitesse ##\overrightarrow v.## Son module est égal à ##C_{∥}=\mu_d\ C_{\bot}.## Par conséquent, il est impératif de connaitre le sens du mouvement lorsqu'on désire représenter les forces et de calculer l'accélération. Sur la repésentaion des forces, il faut indiquer le sens du mouvement en représentant le vecteur vitesse ##\overrightarrow v.##

Puisque ##\alpha> \alpha_°##, l'équilibre est rompu. Le système se met en mouvement. Le corps de masse ##m_2## se déplace vers le bas.

Les forces extérieures agissant sur le sous-système masse ##m_1## et plateau, sont : le poids de la masse ##m_1## , ##\overrightarrow {P_1}##, l'action du ressort sur le plateau, ##\overrightarrow {T_R}##, et la tension du fil ##\overrightarrow {T_1}##.
Après un glissement vers le bas du corps ##m_2## de ##5\ cm##, le ressort est alors comprimé de ## 20-5=15\ cm##. Il pousse le plateau et ##m_2## vers le haut, ##\overrightarrow {T_R}## est donc dirigé vers le haut.

Les forces extérieures agissant sur la masse ##m_2##, sont : son poids, ##\overrightarrow {P_2}##, l'action du plan incliné sur elle, ##\overrightarrow {C_2}##, et la tension du fil ##\overrightarrow {T_2}.##

Le mouvement de ##m_1## est rectiligne et vertical. La direction de l'accélération ##\overrightarrow {a_1}## de ##m_1## est donc parallèle à l'axe vertical ##(O_1y_1)## .
Le mouvement de ##m_2## est rectiligne de trajectoire matérialisé par l'axe parallèle au plan incliné, ##(O_2x_2)##. La direction de l'accélération ##\overrightarrow {a_2}## de ##m_2## est donc parallèle à l'axe ##(O_2x_2)##.
Comme le fil est tendu, les intenstés de ces deux accélérations sont égales, qu'on prendra égales à ##a## : ##a_1=a_2=a##

Appliquons la RFD ##\left(\sum\overrightarrow {F_{ext}}=m\overrightarrow {a\ }\right)##, à chaque sous-système puis projetons la sur l'axe vertical pour le sous-système masse ##m_1## et plateau et sur les deux axes perpendiculaire ##(O_2y_2)## et parallèle ##(O_2x_2)## au plan pour le sous-système masse ##m_2##.

Sous-système masse ##m_1## et plateau :

##\overrightarrow {P_1}+\overrightarrow {T_1}+\overrightarrow {T_R}=m_1\overrightarrow {a_1\ }\implies## ##-P_{1}+T_1+T_R=m_1a\implies## ## -m_{1}g+T_1+T_R=m_1a##

Sous-système masse ##m_2## :

##\overrightarrow {P_2}+\overrightarrow {T_2}+\overrightarrow {C_2}=m_2\overrightarrow {a_2\ }\implies## ##\begin{cases} P_{2∥}-T_2-C_{2∥}=m_2a \\[2ex] -P_{2\bot}+C_{2\bot}=0 \end{cases} \implies## ##\begin{cases} m_2g\ sin(\alpha)-T_2-C_{2∥}=m_2a \\[2ex] -m_2g\ cos(\alpha)+C_{2\bot}=0 \end{cases} \implies## ##\begin{cases} m_2g\ sin(\alpha)-T_2-C_{2∥}=m_2a \\[2ex] C_{2\bot}=m_2g\ cos(\alpha) \end{cases}##

Comme ##C_{2∥}=\mu_d\ C_{2\bot}\implies## ## C_{2∥}=\mu_d\ m_2g\ cos(\alpha) ##

Le dernier sytème d'équations s'écrit alors :

##\begin{cases} m_2g\ sin(\alpha)-\mu_d\ m_2g\ cos(\alpha)-T_2=m_2a \\[2ex] -C_{2\bot}=m_2g\ cos(\alpha) \end{cases}\implies## ##\begin{cases} m_2g\ \left(sin(\alpha)-\mu_d\ cos(\alpha)\right)-T_2=m_2a \\[2ex] -C_{2\bot}=m_2g\ cos(\alpha) \end{cases}##

Additionons l'équation du sous-système masse ##m_1## et plateau et la première équation du système d'équations du sous-système masse ##m_2.##



Comme la poulie et le fil sont de masses négligeables, la somme des moments des tensions par rapport à l'axe de rotation ##(\Delta)## de la poulie est nulle :

##ℳ_1-ℳ_2=0\implies## ##T_{1}R-T_2R=0\implies## ##T_{1}=T_2##

Le ressort est parfait, on a : ##T_R=k\Delta ℓ##

L'équation se simplifie et s'écrit :

Corps de masse ##m_1##:

##P_1=m_1g\implies## ##P_1=2\times10\implies##

##T_R=k\Delta l\implies## ##T_R=100\times(0,2-0,05)\implies##

##T_1=m_1a+P_1-T_R\implies## ##T_1=2\times0,19+20-15\implies##

Corps de masse ##m_2##:

##P_2=m_2g\implies## ##P_2=4\times10\implies##

##T_2=T_1\implies##

##C_{2\bot}=m_2g\ cos(\alpha)\implies## ##C_{2\bot}=4\times10\times cos(30)\implies## ##C_{2\bot}=34,64\ N##

##C_{2∥}=\mu_dC_{2\bot}\implies## ##C_{2∥}=0,4\times34,64\implies## ##C_{2∥}=13,85\ N##

##C=\sqrt{C_{2∥}^2+C_{2\bot}^2}\implies## ##C=\sqrt{13,85^2+34,64^2}\implies##