Si un corps glisse sur un sol rugueux caractérisé par un coefficient de frottement dynamique ##\mu_d\ , ## le vecteur ##\overrightarrow {C_{∥}}## est tangent à la trajectoire et de sens opposé à celui de la vitesse ##vecv.## Son module est égal à ##C_{∥}=\mu_d\ C_{\bot}.## Par conséquent, il est impératif de connaitre le sens du mouvement lorsqu'on désire représenter les forces et de calculer l'accélération. Sur la repésentaion des forces, il faut indiquer le sens du mouvement en représentant le vecteur vitesse ##\overrightarrow v.##

Les forces extérieures agissant sur le corps ##A## sont son poids, ##\overrightarrow {P_A}##, et l'action du plan horizontal sur lui, ##\overrightarrow {C_A}.##

Le travail élémentaire d'une force ##\overrightarrow {F\ }## lors du déplacement ##\overrightarrow {dl}## est donné par le produit scalaire :

##\delta W=\overrightarrow {F\ }.\overrightarrow {dl}##

l'intégration de ce travail élémentaire le long du trajet (##\mathcal {C}##) détermine le travail total de cette force le long de (##\mathcal {C}##) :

`W_\mathcal {(C)}=\int_\mathcal {(C)}\vec{F\ }.\vec {dl}`

Cas d'une force non conservative : force de frottement.

Dans le cas d'un glissement, la composante `C_{∥}` de la force de contact est opposée au vecteur déplacement élémentaire en tout point de `\mathcal {(C)}`, le produit scalaire s'écrit alors :

##\delta W=\overrightarrow {C\ }.\overrightarrow {dl}\implies## ##\delta W=\overrightarrow {C_{∥}}.\overrightarrow {dl}\implies## ##\delta W=-C_{∥}dl##

Le travail total sera égal à :

`W_\mathcal {(C)}=\int_{(\mathcal {C})}\vec{C\ }.\vec{dl} \implies ``W_\mathcal {(C)}=-\int_{(\mathcal {C})} C_{∥}dl`

Si le module ##C_{∥}## est contant, on peut le faire sortir de l'intégrale :

`W_\mathcal {(C)}=-\int_{(\mathcal {C})} C_{∥}dl\implies` `W_\mathcal {(C)}=-C_{∥}\int_{(\mathcal {C})} dl\implies` `W_\mathcal {(C)}=-C_{∥}l` où ##l## est la longueur (ou distance ) du trajet (`\mathcal {C}`).

On remarque que le travail de cette force de contact est toujours négatif, c'est un travail résistant. Il dépend aussi du chemin suivi, cette force n'est donc pas une force conservative et ne dérive pas d'un potentiel.

Cas d'une force conservative : force constante.

Le poids ##\overrightarrow {P\ }=m\overrightarrow {g\ }## est une force conservative constante, son tavail élémenntaire est :

##\delta W=\overrightarrow {P\ }.\overrightarrow {dl}=m\overrightarrow {g\ }.\overrightarrow {dl}##

Choisissons la direction de l'axe (Oz) du repère cartésien ##(Ox,Oy,Oz)## muni d'une base orthonormée (##\overrightarrow {i\ }, \overrightarrow {j\ }, \overrightarrow {k\ }##), vertical et orienté vers le haut.

##\delta W=-mg\overrightarrow {k\ }.(dx\overrightarrow {i\ }+dy\overrightarrow {j\ }+dz\overrightarrow {k\ })=-mgdz##

Le travail total sera égal à :

`W_{A\rightarrow B}=\int_{A\rightarrow B}\vec{P\ }.\vec{dl} =-mg\int_{z_A}^{z_B}dz\implies` ## W_{A\rightarrow B}=-mg(z_B-z_A).##

Au vu de ce résultat, on remarque que le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi, il dépend uniquement que des positions initiale et finale. On peut alors conclure que:

- Si on se déplace vers le bas ##(z_B\lt z_A)##, le travail du poids est moteur ##(W_{A\rightarrow B}\gt 0J )##.
- Si on se déplace vers le haut ##(z_B\gt z_A)## , le travail du poids est résistant ##(W_{A\rightarrow B}\lt 0J )##.
- Si on se déplace sur un plan horizontal ou on revient à la même hauteur ou au même point ##(z_A=z_B)##, le travail du poids est nul ##(W_{A\rightarrow B}=0).##

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un corps ponctuel, stipule que dans un référentiel galiléen, la différence des énergies cinétiques de ce corps, ##E_{c}(A)## et ##E_{c}(B)## définies aux points A et B de la trajectoire, est égale à la somme des travaux `W_{i\ \mathcal{C}_{(A\rightarrow B)}}` de toutes les forces extérieures ##F_i## agissant sur ce corps le long du trajet `\mathcal{C}_{(A\rightarrow B)}.`

Sa formulation est :

`E_{c}(B)-E_{c}(A)=\sum_iW_{i\ \mathcal{C}_{(A\rightarrow B)}} \implies` `\frac1 2mv^2(B)-\dfrac1 2mv^2(A)=\sum_iW_{i\ \mathcal{C}_{(A\rightarrow B)}}`

Ce théorème peut aussi être appliqué à un système mécanique formé de n corps ponctuels. On considérera l'énergie cinétique totale du système `(E_c=\sum_{j=1}^nE_{cj})`.

##v_{A}(C)=0\ m//s\implies## ##E_{cA}(C)=0\ J##

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique :

##E_{cA}(C)-E_{cA}(O)=W_{(O\rightarrow C)}\implies## ##-E_{cA}(O)=W_{(O\rightarrow C)}\implies## ##-\dfrac1 2m_Av_{0}^2=W_{(O\rightarrow C)}\implies## ##v_0=\sqrt{-\dfrac{2W_{(O\rightarrow C)}}{m_A}}\implies## ##v_0=\sqrt{\dfrac{2\times 0,2}{0,2}}\implies## ##v_0=\sqrt2\ m//s\implies##

Soit un un système mécanique formé de n corps où s'y appliquent ##p## forces conservatives et ##q## forces non conservatives. L'énergie mécanique ##E_m## à l'instant ##t## est égale la somme des énergies cinétiques `(E_c=\sum_{i=1}^nE_{ci})` et potentielles correspondant aux forces conservatives `(E_p=\sum_{j=1}^pE_{pj})` à cet instant ##t##.

`E_m=E_c+E_p=\sum_{i=1}^nE_{ci}+\sum_{j=1}^pE_{pj}.`

On associe à chaque force conservative du système une énergie potentielle définie par :

##dE_p=-\overrightarrow F.\overrightarrow {dl}\implies##`E_p(M)-E_p(M_0)=-\int_{M_0}^M\vecF.\vec{dl}= \implies` `E_p(M)-E_p(M_0)=-W_{\mathcal {(C)}_(M_0\rightarrow M)}\implies`

`E_p(M)= -W_{\mathcal {(C)}_(M_0\rightarrow M)}+E_p(M_0) `

Cas particuliers :

Energie potentielle gravitationnelle d'un corps de masse m :

## E_{pg}(z)= -mg(z-z_0)+ E_p(M_0)\implies##

## E_{pg}(z)= -mgz+Cste##

où z est la coordonnée du point M. L'axe Oz du repère cartésien ##(Ox,Oy,Oz)## muni d'une base orthonormée (##\overrightarrow {i\ }, \overrightarrow {j\ }, \overrightarrow {k\ }##), est vertical et orienté vers le haut. Cste est une constante; le choix arbitraire de l'origine de l'énergie potentielle gravitationnelle permet de la définir.

Energie potentielle élastique d'un ressort parfait de constante de raideur K :

##E_{pe}=\dfrac1 2 K(\Deltaℓ)^2##

où ##\Deltaℓ## est la déformation du ressort.

Dans un référentiel galiléen, la différence des énergies mécaniques de ce système, ##E_{m}(A_1)## et ##E_{m}(A_2)## définies aux positions ##A_1## et ##A_2## correspondantes aux intants ##t_1## et ##t_2##, est égale à la somme des travaux, ##W_{w(\mathcal {C})}##, des forces non conservatives, ##\overrightarrow F_w##, agissant sur le système mécanique pendant la traversée du trajet ##A_1A_2##, noté par `\mathcal{(C)}`

`\Delta E_m=E_{m}(A_2)-E_{m} (A_1)=\sum_{w=1}^qW_{w\ (\mathcal {C})}`

Soit le point ##F##, la positon du corps ##A## lorsque le ressort est à sa compression maximale ##\implies\Delta ℓ_{max}=DF##.
Aussi, à la compression maximale du ressort, le corps ##A## s'arrête ##\implies## ##v_A(F)=0\ m//s##

Calculons ##\Delta E_{cA}## et ##\Delta E_{pA}## entre les deux point ##D## et ##F##:

##\Delta E_{cA}=E_{cA}(F)-E_{cA}(D)\implies## ##\Delta E_{cA}=\dfrac1 2m_Av_A^2(F)-\dfrac1 2m_Av_A^2(D)\implies## ##\Delta E_{cA}=-\dfrac1 2m_Av_A^2(D)##

Comme ##E_{cA}(D)=m_AgLsin(\beta)## (voir question précédente), on a : ##\Delta E_{cA}=-m_AgLsin(\beta)##

##\Delta E_{pA}=-W_{D\rightarrow F}(\overrightarrow {P_A})+(E_{pe}(F)-E_{pe}(D))## où ##E_{pe}=\dfrac1 2 k(\Delta l)^2## est l'énergie potentielle du ressort déformé de ##\Delta ℓ##.

Le travail du poids, ##\overrightarrow {P_A}##, est moteur puisque le corps se déplace vers le bas, il est par conséquent positif.

##W_{D\rightarrow F}(\overrightarrow {P_A})=m_Agh'\implies## ##W_{D\rightarrow F}(\overrightarrow {P_A})=m_AgDFsin(\beta)\implies## ##W_{D\rightarrow F}(\overrightarrow {P_A})=m_Ag\Delta ℓ_{max}sin(\beta)##

Au point F, le ressort est déformé de ##\Delta ℓ_{max}\implies## ##E_{pe}(F)=\dfrac1 2 k(\Delta ℓ_{max})^2##
Au point D, le ressort n'est pas déformé, ##\Delta ℓ=0\ m\implies E_{pe}(D)=0\ J##

##\Delta E_{pA}=-m_Ag\Delta ℓ_{max}sin(\beta)+\dfrac1 2 k(\Delta ℓ_{max})^2##

Sur le trançon DF, il n'y a que deux forces conservatives qui travaillent, le poids et tension du ressort. La direction de l'action du sol sur le corps ##A## est perpendiculaire au déplacement, le travail de cette action le long de ce trançon est donc nul, par conséquent :

##\Delta E_{mA}=\Delta E_{cA}+\Delta E_{pA}=0\ J\implies## ##70(\Delta ℓ_{max})^2-\Delta ℓ_{max}-1=0 ##

On résoud ce trinôme du second degré en ne retenant que la racine positive :

##\Delta ℓ_{max}=\dfrac{1+\sqrt{1+4\times 70\times 1}}{2\times 70}\implies##

La quantité de mouvement ##\overrightarrow {p\ }## d'un corps de masse ##m## animé d'une vitesse ##\overrightarrow {v\ }## est donnée par :

##\overrightarrow {p\ }=m\overrightarrow {v\ }##

Déterminons la vitesse ##\overrightarrow {v_B^{'}}## de la masse ##m_B## en ##O## juste avant le choc, sachant qu'en ce point, ##\overrightarrow {v_A^{'}}=0\overrightarrow {i}## juste avant le choc et ##\overrightarrow {v_A}=\sqrt2 \overrightarrow {i}## juste après (voir question 3). Aussi on a : ##m_A=m_B=m##.
Notons par ##\overrightarrow {v_B}## la vitesse de la masse ##m_B## en ##O## juste après le choc.

##\begin{cases} \overrightarrow {v_B^{'}}= \sqrt2\ \overrightarrow {i}+\overrightarrow {v_B} \\[2ex] v_B^{'\ 2}= \sqrt2^2+v_B ^2 \end{cases}\implies## ##\begin{cases} \overrightarrow{v_B}=v_B^{'}\overrightarrow{i} - \sqrt2\ \overrightarrow{i} \\[2ex] v_B^{'\ 2}= 2+v_B ^2 \end{cases}\implies## ##\begin{cases} (\overrightarrow{v_B})^2=(v_B^{'}\overrightarrow{i} - \sqrt2\ \overrightarrow{i} )^2 \\[2ex] v_B ^2= v_B^{'\ 2}-2 \end{cases}\implies## ##\begin{cases} v_B ^2=v_B^{'\ 2}+ 2-2\sqrt2 v_B^{'\ 2} \\[2ex] v_B ^2= v_B^{'\ 2}-2 \end{cases} \implies ## ##v_B^{'\ 2}-2= v_B^{'\ 2}+ 2-2\sqrt2 v_B^{'\ 2}\implies## ##2\sqrt2 v_B^{'\ 2}=4\implies## ## v_B^{'}=\sqrt2\implies##

Pour déterminer l'angle ##\alpha##, on utilise le théorème de l'énergie cinétique.

##\Delta E_c=\sum W_{(\overrightarrow {F\ }_{extérieures} )}##

Les forces extérieures agissant sur la masse ##B## sont son poids, ##\overrightarrow {P_B}## et la tensiion du fil, ##\overrightarrow {T\ }.## La tension ##\overrightarrow {T\ }## est normale à la trajectoire circulaire, son travail est nul.

Puisque le pendule est abandonné sans vitesse initiale, son énergie cinétiqie initiale est nulle.
Le travail du poids, ##\overrightarrow {P_B}##, est moteur (positif) car le corps ##B## se déplace vers le bas.

##\dfrac1 2m_Bv_B^{'\ 2}=m_Bgh \implies## ##\dfrac1 2m_Bv_B^{'\ 2}=m_Bgl(1-cos(\alpha))\implies## ##cos(\alpha)=1-\dfrac{v_B^{'\ 2}}{2gl}\implies ## ##\alpha=arccos\left(1-\dfrac{v_B^{'\ 2}}{2gl}\right)\implies##

##\alpha=arccos\left(1-\dfrac{2}{2\times 10\times 0,1}\right)\implies## ## \alpha=arccos(0)\implies##