Exercice n°:2
Un corps ponctuel de de masse `m` peut glisser sur une piste `OAB` rectiligne inclinée par rapport à l'horizontale d'un angle `\alpha`. Le point `O` se trouve a une hauteur `H` de `B`. Le contact entre le corps et la piste est caractérisé par le coefficient de frottement dynamique `\mu_d.` On lance,vers le bas depuis le point `O`, ce corps avec une vitesse `\vec{v_O}` parrallèle à la piste `OAB`. Ce corps s'arrête au point `B` en comprimant de `AB` le ressort parfait de constante de raideur `k` (figure ci-dessous).

ccc



1/Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps en mouvement sur les deux trançons `OA` et `AB` de la piste `OAB`.

Réponse
Tronçon `OA`:

Les forces agissant sur m sont son poids, `\vec{P\ }`, et la force de contact du tronçon `OA`, `\vec{C\ }`.

ccc

Tronçon `AB`:

Les forces agissant sur `m` sont son poids, `\vec{P\ }`, la force de contact du tronçon `AB`, `\vec{C\ }`, et la tension élastique, `\vec{T_e}`, du ressort. .

ccc

2/ Calculer la valeur de la composante de la force de contact de la piste sur le corps, parallèle à la trajectoire, sur les deux trançons `OA` et `OB`.

Réponse
Tronçon `OA`:

ccc

Appliquons la RFD sur la masse `m` et projetons la sur les deux axes perpendiculaire et parallèle au trançon `OA`.

`\vec{P\ }+\vec{C\ }=m\vec{a\ }`##\implies## ##\begin{cases} P_{∥}-C_{∥}=ma \\[2ex] -P_{\bot}+C_{\bot}=0 \end{cases}## ##\implies## ##\begin{cases} mg\ sin(\beta)-C_{∥}=ma \\[2ex] C_{\bot}=mg\ cos(\beta) \end{cases}##

Comme `m` glisse sur le trançon `OA`, les deux composantes de la force de contact sot reliées par :

`\frac{C_{∥}}{C_{\bot}}=\mu_d`##\implies##` C_{∥}=\mu_d \ C_{\bot}`

En utilisant la deuxième équations du système précédent, on détermine l'expression de `C_{∥}`

`C_{∥}=mg\mu_d\ cos(\beta)\impliesC_{∥}`##\implies## `C_{∥}=1\times 10\times 0,5\times cos(45°)`##\implies##
`C_{∥}==3,54N`


Tronçon `AB`:

ccc

Appliquons la RFD sur la masse `m` et projetons la sur les deux axes perpendiculaire et parallèle au trançon `OA`.

`\vec{P\ }+\vec{C\ }+\vec{T_e}=m\vec{a\ }`##\implies## ##\begin{cases} P_{∥}-C_{∥}-T_e=ma \\[2ex] -P_{\bot}+C_{\bot}=0 \end{cases}## ``##\implies## ##\begin{cases} mg\ sin(\beta)-C_{∥}-T_e=ma \\[2ex] C_{\bot}=mg\ cos(\beta) \end{cases}##

Comme `m` glisse sur le trançon `AB`, les deux composantes de la force de contact sont reliées par :

`\frac{C_{∥}}{C_{\bot}}=\mu_d`##\implies##` C_{∥}=\mu_d \ C_{\bot}`

En utilisant la deuxième équations du système précédent, on détermine l'expression de `C_{∥}`

`C_{∥}=mg\mu_d\ cos(\beta)\impliesC_{∥}`##\implies## `C_{∥}=1\times 10\times 0.5\times cos(45°)`##\implies##
`C_{∥}=3,54N`


La force `\vec{C_{∥}}` est contante tout le long de la piste `OAB`.

3/ En déduire la valeur du travail de cette composante sur le trançon `OB`.

Réponse
`W_{O\rightarrow B}=\int_{OAB}\vec{C\ }.\vec{dl}`##\implies## `W_{O\rightarrowB}=\int_{OAB}-C_{∥}dl`##\implies## `W_{O\rightarrowB}=-C_{∥}\int_{OAB}dl`##\implies## `W_{O\rightarrowB}=-C_{∥}OB `##\implies## `W_{O\rightarrowB}=-C_{∥}\frac{H}{sin(\alpha)}`##\implies## `W_{O\rightarrowB}=-5\times\frac{sqrt2}2\times\frac1{\frac{sqrt2}2}`##\implies##
`W_{O\rightarrowB}=-5J`


4/ Calculer la variation de l'énergie potentielle de ce corps entre les deux points `O` et `B`.

Réponse
La différence `\DeltaE_{p_g}=E_{p_g}(B)-E_{p_g}(O)lt0` car l'énergie potentielle gravitationnelle `E_{p_g}` diminue lorsque le corps se déplace vers le bas.

`\DeltaE_{p_g}=E_{p_g}(B)-E_{p_g}(0)`##\implies##`\DeltaE_{p_g}=-mgH`##\implies##`\DeltaE_{p_g}=-1\times10times1`##\implies##
`\DeltaE_{p_g}=-10J`

5/ Calculer l'énergie cinétique de `m` au point `O`, puis en déduire le module de la vitesse de lancement `\vec{v_O}.`

Réponse
Soit `\DeltaE_m` la varition de l'énergie mécanique entre les deux points `O` et `B` :

`\DeltaE_m=W_{O\rightarrowB}`##\implies## `\DeltaE_c+\DeltaE_p=W_{O\rightarrowB}`##\implies## `E_{c}(B)-E_{c}(O)=-\DeltaE_p+W_{O\rightarrowB}`

Comme `m` s'arrête au point `B`, sa vitesse est nulle et son énergie cinétique aussi `E_{c}(B)=0J`.

`E_{c}(O)=-\DeltaE_p+W_{O\rightarrowB}`

##\Delta E_p=\Delta E_{p\ gravitation}+\Delta E_{p\ élastique}\implies## `\DeltaE_p=-mgH+\frac1 2k(AB)^2`##\implies## `\DeltaE_p=-10+frac1 2\times200times(0,1)^2`##\implies## `\DeltaE_p=-9J`

`E_{c}(O)=9-5`##\implies##
`E_{c}(O)=4J`


On sait que `E_{c}(O)=\frac1 2 mv_O^2`##\implies##` v_O=sqrt{\frac{2E_{c}(O)}m} `##\implies##` v_O=sqrt{\frac{2times4}1}`##\implies##
` v_O=\sqrt8=2,83m//s.`