Cas unidimensionnel: `F(x)=-\frac{dE_p(x)}{dx}` ou bien `dE_p(x)= F(x)dx`

Si l'expression de l'énergie potentielle de `E_p(x)` est connue, on utilise la première relation pour déterminer par dérivation, l'expression de la force conservatrice `F(x).`

Si l'expression de la force conservatrice `F(x)` est connue, on utilise la seconde relation pour déterminer par intégration, l'expression de l'énergie potentielle `E_p(x)` à une constante près.
`dE_p(x)= F(x)dx`##\implies##`\int_{E_p(x_0)}^{E_p(x)}dE_p(x)= \int_{x_0}^{x}F(x)dx`##\implies##` E_p(x)-E_p(x_0)= \int_{x_0}^{x}F(x)dx`##\implies## `E_p(x)=\int_{x_0}^{x}F(x)dx+E_p(x_0)`

`F(x)=-\frac{dE_p(x)}{dx}`##\implies##

Pour chaque expression de `F(x)`, on détermine ses zéros puis on ne retient que ceux qui appartiennent à son intervalle de définition.

`3(x-1)^2=0`##\implies## . Cette valeur appartient à l'intervalle ` 0\ m\le x\le 3\m`, elle donc retenue.

`-12(x-4)=0`##\implies## . Cette valeur appartient à l'intervalle ` x\gt 3\m`, elle est donc retenue.

A ces positions, les forces sont nulles. Si on y place le corps sans lui communiquer de vitesse, il restera au repos. Ce sont des positions d'équilibre. A `x_1=1\ m`, l'équilibre est instable. Si on l'écarte légérement vers la droite, il s'en éloignera de cette position. Par contre, à `x_1=5\ m,` l'équilibre est stable. Si on l'écarte légérement vers la droite ou vers la gauche les forces tendent à le rappeler à cette position.

Pour chaque expression de `E_p(x)`, on détermine ses zéros puis on ne retient que ceux qui appartiennent à son intervalle de définition.

`(x-1)^3=0`##\implies## . Cette valeur appartient à l'intervalle ` 0\ m\le x\le 3\m`, elle donc retenue. On remarque que ` x_3= x_1`, l'énergie potentielle et la force sont toutes nulles en ce point.

`6(x-4)^2-14=0`##\implies##`(x-4)^2=\frac7 3` ##\implies## ## \begin{cases} x_4=4+\sqrt{\dfrac{7}{3}} \\ x_4^{\prime}=4-\sqrt{\dfrac{7}{3}} \end{cases} ## ##\implies## ## \begin{cases} x_4=5,53\ m \\ x_4^{\prime}=2,47\ m \end{cases} ##

On ne retient que , parce que parmi ces deux valeurs, elle est la seule à appartenir à l'intervalle ` x\gt 3\m.`

Déterminons les forces à ces deux points `x_3` et `x_4.`

`F(1)= 3\times(1-1)^2`##\implies## et

`F(4+sqrt{\frac7 3})=(-12\times((4+sqrt{\frac7 3})-4)`##\implies##`F(4+sqrt{\frac7 3})=- 12sqrt{\frac7 3}`##\implies##

Calculons l'énergie mécanique du corps au point d'abscisse `x_4`.

`E_m=E_c(x_4)+E_p(x_4)=0+0=0J`

Comme le système est conservatif, l'énergie mécanique est constante. Par conséquent :

`E_c(x)+E_p(x)=0`##\implies##`E_c(x)=-E_p(x)`

et de plus on sait que ` E_c(x)ge0J` alors `-E_p(x)ge0J`##\implies##` E_p(x)le0J.`

D'apès le grraphe de `E_p(x)`, cete condition est vérifiée que pour x appartenant à l'intervalle `[1,5.53]`. Le corps ne peut se déplacer que dans cet intervalle.

Au début, le corps se trouvant au point d'abscisse `x_4=5,53m` avec une vitesse nulle, est soumis à une force orientée dans le sens contraire de `\veci`, son mouvement est accéléré jusqu'au point d'abscisse `x_2=4\ m`. Au delà, le sens de la force change et devient opposé à celui de la vitesse, le mouvement est donc retardé jusqu'à ce que la vitesse s'annulle au point d'abscisse `x_1=1\ m`. Aussi la force `F(x_1)`est nulle. Par conséquent, ce corps s'immobilisera en `x_1`.

Comme le système est conservatif, son énergie mécanique est constante. Lorsqu'on communique au corps la vitesse minimale au point d'abscisse `x=5\ m`, il arrivera au point `x=1m` avec une vitesse nulle. Son énergie cinétique est donc nulle en `x=1\ m`.

` E_c(5)+E_p(5)=E_p(1)`##\implies##` \frac1 2 mv^2=E_p(1)-E_p(5)`##\implies## `v=sqrt{\frac{2(E_p(1)-E_p(5))}m}`##\implies##`v=sqrt{\frac{2\times(0-(-8))}1}`##\implies##`v=sqrt16`##\implies##

Pour tracer le graphe `E_c(x)`, il existe 3 méthodes :

La première méthode est analytique. On détermine l'expression analytique de `E_c(x)` puis on trace la courbe de `E_c(x).`

La deuxième méthode est graphique. Il suffit de relever quelques points du graphe de `E_p(x)`, de calculer les énergies cinétiques correspondantes et de les reporter sur le graphe `E_p(x)` pour tracer la courbe de `E_c(x).`

La troisième méthode est aussi graphique. Les deux courbes de `E_c(x)` et `E_p(x)` sont symétriques par rapport à la droite d'équation `E(x)=\frac{E_m}2.`

Comme le système est conservatif, on peut écrire :

`E_c(x)+E_p(x)=E_c(5)+E_p(5)=0-8=-8\ J`##\implies##`E_c(x)=-8-E_p(x)`

Puisque `E_c(x)\ge0j`##\implies##` -8-E_p(x)\ge0J`##\implies##`E_p(x)\le-8J`

D'après le graphe de `E_p(x)`, cette condition est vérifiée que dans l'intervalle `3\ m\lex\le5\ m.`


`1^{îère}` méthode : On détermine l'expression de `E_c(x)`

` E_c(x)=-8-6(x-4)^2+14 `##\implies##`E_c(x)= 6-6(x-4)^2\ \ \ \ `où`\ \ \ \ 3\ m\lex\le5\ m`

On calcule les valeurs particulères de `x` et de `E_c(x)` (zéros et extrémums de `E_c(x)` ):

`E_c(x)=0\ J \implies x=3\ m` et `x=5\ m`

` \frac{dE_c(x)}{dx}=0\implies -12(x-4)=0`##\implies##` x=4\ m\impliesE_c(4)=6\ J `

puis on dresse un tableau de valeurs de `E_c(x)` incluant les valeurs particulières :

`x(s)`	3	3,2	3,5	4	4,5	4,8	5
`E_c`(J)	0	2,16	4,5	6	4,5	2,16	0

`2^{îème}` méthode : On relève quelques valeurs de `E_p` du graphe `E_p(x)`, puis on calcule les valeurs de `E_c` correspondantes à partir de l'équation établie préalablement, `E_c(x)=-8-E_p(x)`:

`3^{îème}` méthode : On trace la droite, `(\Delta)`, d'équation `E(x)= \frac{Em}2=-4\ J ` sur le graphe `E_p(x).` On choisit quelques points sur la courbe de `E_p(x)` puis sur ce même graphe, on trace les symétriques de ces points par rapport à la droite `(\Delta)`.

Le corps se déplace sur le segment de droite `AB`. Aux extrémités `A` d'abscisse `3\ m` et `B` d'abscisse `5\ m`, les vitesses sont nulles et les forces sont non nulles, `\vec{F(3)}=+12\vec{i\ }` et `\vec{F(3)}=-12\vec{i\ }.`

Ainsi, à chaque fois que le corps arrive en `A` ou en `B`, il rebroussse chemin et atteint une vitesse maximale de `3,46\ m//s` lors de son passage au point `C` d'abscisse `4\ m`. le mouvement du corps est donc un mouvement rectiligne, ocillatoire et périodique.