Travaux Pratiques de Mécanique

TEST DE TRAvAUX PRATIQUE DE MECANIQUE n°:1
Les positions d'un corps ponctuel de masse m se déplaçant sur une table horzontale, sont enregistrées sur du papier à ruban solidaire de ce corps. Cet enregistrement se fait à l'aide d'une sonnette électrique à marteau de fréquence `f_s=\frac1{\deltat_s}`. Le support de cette sonnette est fixé à la table. Un disque en papier carbone est inséré entre le marteau et le papier à ruban afin d'imprimer les frappes de ce marteau sous forme de point sur ce papier.

Le corps est relié au support de la sonnette par un élastique de constante d'élasticité `k_e`. Un ressort de lancement est intercalé entre le support de la sonnette et le corps. Le ressort et l'élastique sont supposés parfaits et de masse négligeable.

Ce corps est posé sur la table avec le ressort de lancement comprimé puis libéré sans vitesse initiale (voir figure ci-dessous). Le mouvement de ce corps peut être décomposé en trois phases:

- Phase 1 : Elle commence au point `P_i` correspondant à l'instant `t_i` et se termine au point `P_r` correspondant à l'instant `t_r`. L'instant initial `t_i`, pris comme origine des temps `(t_i =0\ s),` est attribué au premier point de l'enregistrement. A l'instant `t_r` le ressort atteint sa longueur à vide `l_{0r}`. Dans cette phase 1, l'élastique n'est pas étiré.

- Phase 2 : Elle commence au point `P_r` et se termine au point `P_e` correspondant à l'instant `t_e`. Cet instant `t_e`, marque le début de l'étirement de l'élastique de longueur à vide `l_{0e}`. Pendant cette phase 2, aucune force élastique n'agit sur le corps.

- Phase 3 : Elle commence au point `P_e` et se termine au point `P_f` correspondant à l'instant final `t_f`. A cet instant `t_f`, le corps s'arrêtte. Pendant cette phase, l'élastique est étiré.

Le contact du corps sur la table est caractérisé par un coefficent de frottement dynamique `\mu_d.`

Données:

`m=0,632 \ kg,\ \deltat_s=0,01\ s`

L'enregistrement des positions du corps à différents instants est représenté sur la figure ci-dessous. Les premiers points enregistrés ont été omis.

ccc

Enregistrememt à télécharger

Cinématique :

1/
- Mesurer sur l'enregistrement les positions `P(n\Deltat_e)` où n est entier et `\Deltat_e=0,04s.`
- Calculer les déplacements pendant les intervalles de temps successifs de largeur, `\Deltat_e=0,04s,` que l'on supposera suffisamment petite.
- Calculer les vitesses moyennes du corps pendant ces intervalles de temps.
- En déduire les vitesses intantanées `v(t_j)` aux instants `t_j` que l'on précisera.

Remplir le tableau suivant:

`t_n(10^{-2}\ s) `
`P_iP_n (m)`

`P_nP_{n+1}\ (m)`
##V_{moy}=v(tj)\\ (m/s)##
`t_j\ (10^{-2}\ s)`

Réponse

`t_n(10^{-2}\ s) `	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52
`P_iP_n (m)`	0,00	1,75	6,15	12,1	18,3	24,4	30,3	36,1	41,7	46,8	51,4	54,8	57,2	58,2

`P_nP_{n+1}\ (m)`	1,75	4,40	5,95	6,20	6,10	5,90	5,60	5,70	5,10	4,60	3,4	2,40	1,00
##V_{moy}=v(tj)\\ (m/s)##	0,44	1,10	1,49	1,55	1,52	1,48	1,45	1,43	1,28	1,15	0,85	0,60	0,25
`t_j\ (10^{-2}\ s)`	2	6	10	14	18	22	26	30	34	38	42	46	50

2/ Tracer le graphe de la vitesse instantanée, `v(t)`, du corps en fonction du temps, `t`.

Réponse

ccc

3/ En déduire du graphe `v(t)` :
- Les instants `t_r` et `t_e`,
- la distance, d, séparant les deux points `P_r` et `P_e`,
- l'accélération, `a`, du corps dans la phase 2.

Réponse

ccc

`t_r=0,12s`

`t_e=0,30s`

,

`d=P_rP_e=int_{t_r}^{t_e}v(t) dt \implies``d=aire\ du\ trapèze \implies` ` d=(t_e-t_r)\frac{v_r+v_e}2\implies``d= (0,30-0,12)\frac{1,56+1,43}2\implies`

`d= 0,28\ m`

,

`a=\frac{dv}{dt}= ` pente de la droite `\implies a=\frac{v_e-v_r}{t_e-t_r}\implies`` a=\frac{1,43-1,56}{0,30-0,12}\implies`

`a=-0,72\ m//s^2`

4/ Représenter sur la trajectoire, les vecteurs vitesses `\vec{v(t_A)}` et `\vec{v(t_B)}` et accélérations `\vec{a(t_A)}` et `\vec{a(t_B)}` du corps, aux instants `t_A=0,04\ s` et `t_B=0,4\ s.`

Réponse

On détermine tout d'abord les positions `A` et `B` aux instants `t_A=0,04\ s` et `t_B=0,4\ s`.
Il est plus facile de les déteminer directement sur l'enregistrement. Le point A correspond au point `P_1` d'abscisse

`x(0,04)=1,75\ cm`

et le point `B` correspond au point `P_10` d'abscisse

`x(0,4)=51,3 \ cm`

.
Les valeurs algébriques des vitesses se lisent par projection sur le graphe de la vitesse :

`v(0,04)=0,81\ m//s`

`v(0,4)=1,00\ m//s`

ccc

Les accélérations se calculent soit à partir des pentes des tangentes à la courbe de la vitesse aux instant `t_A` et `t_B`, ou soit en utilisant la méthode de la sécante en choisissant des intervalles de temps petits, `\Delta t=0,04\ s`, centrés sur `t_A` et `t_B`.

`a(0,04)=\frac{v(0,06)-v(0,02)}{0,06-0,02}\implies``a(0,04)=\frac{1,10-0,44}{0,04}\implies`

`a(0,04)=16,5\ m//s^2`

`a(0,4)=\frac{v(0,42)-v(0,38)}{0,42-0,38}\implies``a(0,4)=\frac{0,88-1,13}{0.04}\implies`

`a(0,4)=-6,25\ m//s^2`

ccc

Dynamique :

5/ Faire un bilan de forces agisssant sur le corps dans la phase 2 du mouvement. On supposera que les frappes du marteau sur le papier cause une force de frainage `\vec{f\ }` sur le corps, tangente à la trajectoire du mouvement.
Représenter qualitativemant ces forces.

Réponse

Bilan de forces: Le poids du corps `\vec{P\ }`, La force de contact `\vec{C\ }` et la force de frainage du marteau `\vec{f\ }`.
Représentation des forces :

ccc

6/ En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, déterminer le coefficient de frottement dynamique `\mu_d`. On prendra `||\vec{f\ }||=0,3 N.`

Réponse

ccc

`\vec{P\ }+\vec{C\ }+\vec{f\ }=m\vec{a\ }\implies ` ##\begin{cases} -f-C_x=ma \mbox { (projection suivant (Ox))}\\[2ex] -mg+C_y=0 \mbox { (projection suivant (Oy))} \end{cases}\implies## ##\begin{cases} C_x=-f-ma \\[2ex] C_y=mg \end{cases}##

Comme `\mu_d=\frac{C_x}{C_y} \implies \mu_d=\frac{-f-ma}{mg}\implies``\mu_d=\frac{-0.3-0.632\times(-0.72)}{0.632\times10}\implies`

`\mu_d=0.025`

Energie :

7/ Déterminer les énergies mécaniques `E_{mr}` et `E_{mf}` du système aux points `P(t_r)` et `P(t_f)` respectivement.

Réponse

Au point `P_r` :
Le corps n'est pas soumis à la force élastique ## \implies E_{pr}=0J## .
`E_{mr}=E_{cr}=\frac1 2 mv_r^2\implies``E_{mr}=\frac1 2 0.632\times 1.56^2\implies`

`E_{mr}=0.77\ J`

Au point `P_f` :
`E_{mf}-E_{mr}= (-f-C_x)P_fP_r\implies ``E_{mf}=(-f-\mu_dmg)P_fP_r+E_{mr}`
On détermine la distance `P_fP_r` de l'enregistrement.
L'abscisse du point `P_r : x_r=x(0,12)=12,1\ cm`
L'abscisse du point `P_f : x_f=58,3\ cm`
`P_fP_r=58,3-12,1\implies``P_fP_r=46,2\ cm`

`E_{mf}=(-0,3-0,025\times0,632\times10)\times0,462+0,77\implies `

`E_{mf}=0,56\ J`

8/ Calculer la valeur de la constante de raideur `k_e` de l'élastique.

Réponse

Au point `P_f` :
Le corps est arrêté ##( E_{cf}=0\ J)## et soumis à la force de l'élastique.
`E_{mf}=E_{p\ élastique}\implies` `E_{mf}=\frac1 2 k_e(\Delta l)^2\implies` ` k_e=2\dfrac{E_{mf}}{(\Delta l)^2}`
On détermine l'allongement de l'élastique de l'enregistrement : `\Deltal=P_eP_f`
L'abscisse du point `P_e : x_e=x(0,3)=33,3\ cm`
L'abscisse du point `P_f : x_f=58,3\ cm`
`\Deltal=P_eP_f=58,3-38,3=19,4\ cm`
`k_e=2\times \frac{0,56}{0,194^2}\implies`

`k_e=29,8\ N//m`