Travaux Pratiques de Mécanique
TEST DE TRAvAUX PRATIQUE DE MECANIQUE n°:2
La figure ci-dessus représente dans le plan xOy une piste ABC composée d'un premier tronçon AB rectiligne et
inclinée par rapport à l'horizontale d'un angle `\alpha` et d'un second tronçon BC circulaire de rayon `R` et de centre `O^{\prime}`.
Les surfaces de ces deux tronçons sont de nature différente.
Une sonnette de masse `M=200\ g` est lachée du point `A`.
Le contact entre la sonnette et la piste est caractérisé par deux coefficients de frottememt de glissement
`\mu_{g1}` pour
le tronçon AB et `\mu_{g2}` pour le tronçon BC. De plus, les frappes du marteau sur le papier
engendre un freinage à la sonnette, il sera représenter par une force `\vec{f\ }`, tangente
à la trajectoire du mouvement et d'intensité `0,3\ N.`
L'enregistrement de son mouvement est reproduit sur la figure ci-dessous. Il débute du point `P_0,` sachant que
les points qui precedent `P_0` ont été volontairement supprimés.
L'origine des temps est choisie lorque la sonnette est en `P_0.`
L'intervalle de temps entre deux points successifs est `\Delta t=0,02\ s.`
Toute mesure faite sur l'enregistrement doit être estimée au `1/4` de subdivision (0,005m) près.
Enregistrememt à télécharger
0/Travail préliminaire :
Sur l'enregistrement :
- tracer le tronçon rectiligne `AB` et en déduire l'angle `\alpha`,
- mesurer R et tracer le tronçon `BC`,
- préciser le point `B` et donner une estimation de `t_B`, temps de passage de la sonnette au point `B`.
Réponse
- On choisit deux points du tronçon rectiligne `AB` puis on détermine la tangente de `\alpha` :
##tg(\alpha)=\dfrac{10}{10}\implies##
##tg(\alpha)=1\implies##
`\alpha=45°`
- `R=1,415\ m`
- Le point B a pour coordonnées `B\ (2\ m,1\ m)`
. Le temps `t_B` est compris : `0,58\ s \lt t_B \lt 0,60 \ s`
.
1/ Cinématique :
1.1/
- Mesurer sur l'enregistrement les coordonnées cartésiennes des positions `P(n\Deltat_e)` où n est entier et
`\Deltat_e=0,04\ s.`
- Calculer les déplacements
pendant les intervalles de temps successifs de largeur, `\Deltat_e=0,08s,`
que l'on supposera suffisamment petite.
- Calculer les vitesses
moyennes du corps pendant ces intervalles de temps.
- En déduire
les vitesses intantanées `v(t_j)` aux instants `t_j` que l'on précisera.
Remplir le tableau suivant:
Réponse
1.2/ Tracer le graphe de la vitesse instantanée, `v(t)`, du corps
en fonction du temps, `t`.
Réponse
1.3/ En déduire du graphe `v(t)` tout en justifiant vos réponses :
- Les différentes phases du mouvememt,
- l'instant de passage de la sonnette au point B,
- l'accélération de la sonnette, `a`, dans la première phase du mouvement.
Réponse
2/ Dynamique :
2.1/ Faire le bilan des forces appliquées à la sonnette au point `P_1` et les représenter à l'échelle.
Réponse
Bilan de forces: Le poids du corps `\vec{P\ }`, la force de contact `\vec{C_1\ }`
et la force de freinage du marteau `\vec{f\ }`.
Représentation des forces :
Pour déteminer `\vec{C_1\ }` , on utilisera la relation fondamentale de la dynamique:
`\vec P +\vec f +\vec {C_1} = m \vec {a_1} \implies``\vec {C_1} = m \vec {a_1} -(\vec P +\vec f )`
`m a_1=0,2\times 4,54\implies``m a_1=0,908\ N`
`P=m g\implies``P=0,2\times 10\implies``P=2\ N`
`f=0,3\ N`
2.2/ En déduire la valeur de `\mu_{g1}`.
Réponse
2.3/ Déterminer graphiquement, en utilisant un intervalle de temps de `0,16 \ s`, l'accélération de la sonnette
au point `P_3`.
Réponse
##\overrightarrow{a_{3}}=\dfrac{\Delta \overrightarrow{v}}{8\Delta t}\implies##
##\overrightarrow{a_{3}}=\dfrac{\dfrac{\Delta \overrightarrow{d}}{8\Delta t}}{8\Delta t}\implies##
##\overrightarrow{a_{3}}=\dfrac{\Delta \overrightarrow{d}}{(8\Delta t)^2}\implies##
##\overrightarrow{a_{3}}=\dfrac{\overrightarrow{d_2}-\overrightarrow{d_1}}{(8\Delta t)^2}##
Il suffit de déterminer le vecteur ##\Delta \overrightarrow{d}## puis de choisir une echelle des accélérations convenable
pour que les deux vecteurs ##\Delta \overrightarrow{d}## et ##\overrightarrow{a_3}## soient représentés par un même vecteur.
##||\overrightarrow{a_{3}}||=\sqrt{4^2+11,5^2}\times {0,781}\implies##
##||\overrightarrow{a_{3}}||=9,51\ m/s^2##
2.4/ Faire le bilan des forces appliquées à la sonnette en ce point `P_3` et les représenter à l'échelle.
Réponse
Bilan de forces: Le poids du corps `\vec{P\ }`, la force de contact `\vec{C_3\ }`
et la force de freinage du marteau `\vec{f\ }`.
Représentation des forces :
Pour déterminer `\vec{C_3\ }`, on utilisera la relation fondamentale de la dynamique:
`\vec P +\vec f +\vec {C_3} = m \vec {a_3} \implies``\vec {C_3} = m \vec {a_3} -(\vec P +\vec f )`
`m a_3=0,2\times 9,51\implies``m a_3=1,90\ N`
`P=m g\implies``P=0,2\times 10\implies``P=2\ N`
`f=0,3\ N`
2.5/ En déduire les valeurs de `\mu_{g2}` et du rayon `R` de la piste circulaire.
Réponse
Par définition : ##\mu_{g2}=\dfrac{||\overrightarrow {C_{3t}}||}{||\overrightarrow {C_{3n}}||}##
On projette ##\overrightarrow C_3## sur les deux axes normal et tangentiel puis
on détermine les modules de ##\overrightarrow{C_{3n}}## et ##\overrightarrow{C_{3t}}##:
##\begin{cases}
||\overrightarrow{C_{3t}}||=6,5\times {0,05}\\
||\overrightarrow{C_{3n}}||=75,5\times {0,05}
\end{cases}
\implies##
##
\begin{cases}
||\overrightarrow{C_{3t}}||=0,33\ N\\
||\overrightarrow{C_{3n}}||=3,8 \ N
\end{cases}
##
##\mu_{g2}=\dfrac{0,33}{3,8} \implies##
`\mu_{g1}=0,09`
Pour déterminer R, on projette la relation fondamentale de la dynamique sur l'axe normal :
##C_{3n}-P=m\dfrac{v_3^2}{R}\implies##
##R=m\dfrac{v_3^2}{C_{3n}-mg}##
Le point `P_3` correspond à l'intant `t = 0,88 s`.
La vitesse `v_3 = v(0,88)` peut être lue sur graphe de la vitesse, elle est égale à `3,66 \ m//s.`
##R=0,2\times\dfrac{3,66^2}{3,8-0,2\times 10}
\implies##
`R=1,49\ m`
Remarque: La valeur de R obtenue présente un écart relatif de ##\dfrac{\Delta R}{R}=\dfrac{|1,415-1,49|}{11,415}=5 \%##
par rapport à la valeur mesurée directement sur le graphe. Cette différence est due au choix de l'intervalle de temps égal â `0,16 \ s`,
il n'est pas assez petit pour pouvoir confondre la valeur moyenne de l'accélération â sa valeur instantanée au milieu de l'intervalle de temps.
3/ Energie :
3.1/ Calculer la variation de l'énergie cinétique `\Delta E_c` de la sonnette entre les deux
positions `P_0` et `P_2` .
Réponse
3.2/ Calculer, en utilisant la valeur de `\mu_{g1}` obtenue à la question 2.1, l'angle d'inclinaison `\alpha`
du trançon AB.
Réponse
D'après le théorème de l'énergie cinétique, on a :
##E_c(P_2)-E_c(P_0)=W_{(P_0\to P_2)}(\overrightarrow {P})+W_{(P_0\to P_2)}(\overrightarrow {f})+W_{(P_0\to P_2)}(\overrightarrow {C_{1\parallel}})\implies##
##E_c(P_2)-E_c(P_0)=\int_{P_0}^{P_2}{\overrightarrow {P_{\parallel}}.d\overrightarrow {s}}+\int_{P_0}^{P_2}{\overrightarrow {f}.d\overrightarrow {s}}+
\int_{P_0}^{P_2}{\overrightarrow {C_{\parallel}}.d\overrightarrow {s}}\implies##
##E_m(P_2)-E_m(P_0)=\int_{P_0}^{P_2}{||\overrightarrow {P_{\parallel}}||ds}-\int_{P_0}^{P_2}{fd{s}}-
\int_{P_0}^{P_2}{||\overrightarrow {C_{\parallel}}||ds}\implies##
Remplaçons ##\overrightarrow{P_{\parallel}}## et ## \overrightarrow{C_{\parallel}}## par leurs
expressions dans l'expressions de `\Delta E_c`:
##\Delta E_c=mgsin(\alpha)\int_{P_0}^{P_2}{d{s}}-f\int_{P_0}^{P_2}{d{s}}
-\mu_{g1}mg cos(\alpha)\int_{P_0}^{P_2}{ds}\implies##
##\Delta E_c=mg sin(\alpha)\ P_0P_2-f\ P_0P_2 -\mu_{g1}mg cos(\alpha)\ P_0P_2\implies##
##\dfrac{\Delta E_c}{P_0P_2}=mg sin(\alpha)-f -\mu_{g1}mg cos(\alpha)##
On détermine les coordonnées cartésiennes des deux points ##P_0## et ##P_2## puis on calcule la distance `P_0P_2` :
##
P_0 \left(
\begin{matrix}
2,935\\
1,935
\end{matrix}
\right)
##
et
##
P_2\left(
\begin{matrix}
2,165\\
1,165
\end{matrix}
\right)
\implies
##
##P_0P_2=\sqrt{(2,935-2,165)^2+(1,935-1,165)2}\implies##
##P_0P_2=1,089\ m##
Remplaçons toutes les grandeurs connues par leurs valeurs dans l'expression de `\Delta E_c` :
##\dfrac{0,9828}{1,089}=0,2\times 10\times sin(\alpha)-0,3 -0,15\times0,2\times 10\times cos(\alpha)\implies##
##2 sin(\alpha)-0,3cos(\alpha)-1,202=0##
Pour résoudre cette dernière équation, on utilisera les relations usuelles exprimant le `cos(\alpha)` et le `sin(\alpha)` en fonction de `b` où
`b=tg(\frac{\alpha}2)`:
##
\begin{cases}
sin(\alpha)=\dfrac{2b}{1+b^2}\\
cos(\alpha)=\dfrac{1-b^2}{1+b^2}
\end{cases}
##
##2 \dfrac{2b}{1+b^2}-0,3\dfrac{1-b^2}{1+b^2}-1,202=0\implies##
##4b-0,3(1-b^2)-1,202(1+b^2)=0\implies##
##-0,902b^2+4b-1,502=0\implies##
##b^2-2\times 2,217b+1,665=0\implies##
##b_1=2,217-\sqrt{2,217^2-1,665}## ou ##b_2=2,217-\sqrt{2,217^2-1,665}\implies##
##b_1=0,414## ou ##b_2=4,020\implies##
##\dfrac{\alpha_1}2=22,5°## ou ##\dfrac{\alpha_2}2=76°\implies##
##\alpha_1=45°## ou ##\alpha_2=152°##
L'angle d'inclinaison doit être compris entre `0°` et`90°, on ne retient que la valeur
`\alpha=45°`
