Vibrations Mécaniques des Systèmes Forcés à 2 Degrés de Liberté
Exercice n°1 (3 points) : Analogie force-tension.
1- Déterminer les équations du mouvement.
Réponse
Les équations de Lagrange de ce système sont :
##
\begin{cases}
\dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot x_1}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂x_1}=-\dfrac {∂ 𝒟}{∂\dot x_1}+F(t)\\
\dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot x_2}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂x_2}=-\dfrac {∂ 𝒟}{∂\dot x_2}
\end{cases}
##
où ##ℒ## est le lagrangien du système: ## ℒ=E_c-E_p ##
`E_c` est l'énergie cinétique :
Les deux masses se déplacent en translation rectiligne:
## E_c=E_{c1}+E_{c2} \implies ## ## E_{c}=\dfrac12 m_1\dot x_1^2+\dfrac12 m_2\dot x_2^2 ##
`E_p` est l'énergie potentielle :
## E_p=E_{pe1}+E_{pe2}\implies ## ## E_p=\dfrac12 k_1(x_1+Δℓ_{equ1} )^2+\dfrac12 k_2(-x_1+x_2+Δℓ_{equ2} )^2 ##
## E_p=E_{pe1}+E_{pe2}\implies ## ## E_p=\dfrac12 k_1(x_1+Δℓ_{equ1} )^2+\dfrac12 k_2(-x_1+x_2+Δℓ_{equ2} )^2 ##
A l'équilibre:
##
\begin{cases}
\left(\dfrac{∂E_p}{∂x_1}\right)_{x_1=x_2=0}=0\\
\left(\dfrac{∂E_p}{∂x_2}\right)_{x_1=x_2=0}=0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
k_1Δ{ℓ}_{equ1}-k_2{Δℓ}_{equ2}=0\\
k_2Δ{ℓ}_{equ2}=0
\end{cases}\implies
##
##
Δ{ℓ}_{equ1}={Δℓ}_{equ2}=0
##
L'expression de `E_p` se simplifie:
##
E_p=\dfrac12 k_1x_1^2+\dfrac12 k_2(-x_1+x_2 )^2
##
Par conséquent:
##
ℒ=\dfrac12 m_1\dot x_1^2+\dfrac12 m_2\dot x_2^2-\left(\dfrac12 k_1x_1^2+\dfrac12 k_2(-x_1+x_2 )^2\right)
##
##𝒟## est la fonction de dissipation:
## 𝒟=𝒟_{1}+𝒟_{2} \implies ## ## 𝒟=\dfrac12 \alpha_1 \dot x_1^2+\dfrac12 \alpha_2(-\dot x_1+\dot x_2 )^2 ##
## 𝒟=𝒟_{1}+𝒟_{2} \implies ## ## 𝒟=\dfrac12 \alpha_1 \dot x_1^2+\dfrac12 \alpha_2(-\dot x_1+\dot x_2 )^2 ##
Les équations du mouvement s'expriment donc par :
##
\begin{cases}
m_1\ddot x_1+k_1 x_1+k_2 (x_1-x_2 )=-\alpha_1 \dot x_1-\alpha_2 (\dot x_1-\dot x_2 )+ F(t) \\
m_2\ddot x_2 +k_2 (x_2-x_1 )= - \alpha_2 (\dot x_2-\dot x_1)
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
m_1\ddot x_1+\alpha_1 \dot x_1+\alpha_2 (\dot x_1-\dot x_2 )+k_1 x_1+k_2 (x_1-x_2 )= F(t) \\
m_2\ddot x_2 +\alpha_2 (\dot x_2-\dot x_1)+k_2 (x_2-x_1 )= 0
\end{cases}
##
2- Ecrire les équations intégro-différentielles du circuit électrique analogue à ce système mécanique dans l'analogie force-tension et représenter le schéma de ce circuit.
Réponse
Equations intégro-différentielles du système mécanique :
##
\begin{cases}
m_1\dfrac{d\dot x_1}{dt}+\alpha_1 \dot x_1+\alpha_2 (\dot x_1-\dot x_2 )+k_1 \int {x_1dt}+k_2 \int {(x_1-x_2 )dt}= F(t) \\
m_2\dfrac{d\dot x_2}{dt}+\alpha_2 (\dot x_2-\dot x_1)+k_2 \int {(x_2-x_1 )dt}= 0
\end{cases}
##
les équations intégro-différentielles du circuit électrique analogue force-tension sont :
##
\begin{cases}
L_1\dfrac{di_1}{dt}+R_1 i_1+R_2 (i_1-i_2 )+\dfrac{1}{C_1} \int {i_1dt}+\dfrac{1}{C_2} \int {(i_1-i_2 )dt}= e(t) \\
L_2\dfrac{di_2}{dt}+R_2 (i_2- i_1)+\dfrac{1}{C_2} \int {(i_2-i_1 )dt}= 0
\end{cases}
##
Le schéma du circuit électrique est représenté sur la figure suivante :
