Vibrations Mécaniques des Systèmes Forcés à 2 Degrés de Liberté
Exercice n°2 (5 points) : Analogie force-tension. Impédance électrique.
On considère le système mécanique de la figure ci-dessus. On applique une force verticale `F(t)` sur
la masse ponctuelle ` m_1.`
1- Etablir les équations du mouvement de ce système mécanique en fonction des déplacements verticaux `y_1` et `y_2`
des masses ponctuelles ` m_1` et ` m_2` respectivement.
Réponse
Les équations de Lagrange de ce système sont :
##
\begin{cases}
\dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot y_1}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂y_1}=-\dfrac {∂ 𝒟}{∂\dot y_1}+F(t)\\
\dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot y_2}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂y_2}=-\dfrac {∂ 𝒟}{∂\dot y_2}
\end{cases}
##
où ##ℒ## est le lagrangien du système:
##
ℒ=E_c-E_p
##
`E_p` est l'énergie potentielle :
##
E_p=E_{pe1}+E_{pe2}\implies
##
##
E_p=\dfrac12 k_1(y_1+Δℓ_{equ1} )^2+\dfrac12 k_2(-y_1+y_2+Δℓ_{equ2} )^2-m_1gy_1-m_2gy_2+constante
##
A l'équilibre:
##
\begin{cases}
\left(\dfrac{∂E_p}{∂y_1}\right)_{y_1=y_2=0}=0\\
\left(\dfrac{∂E_p}{∂y_2}\right)_{y_1=y_2=0}=0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
k_1Δ{ℓ}_{equ1}-k_2{Δℓ}_{equ2}-m_1g=0\\
k_2Δ{ℓ}_{equ2}-m_2g=0
\end{cases}
##
L'expression de `E_p` se simplifie:
##
E_p=\dfrac12 k_1y_1^2+k_1 y_1 Δ{ℓ}_1equ+\dfrac12 k_1 Δ{ℓ}_1equ^2
+\dfrac12 k_2 (y_2-y_1 )^2+k_2 (y_2-y_1 )Δ{ℓ}_2equ+\dfrac12 k_2 Δ{ℓ}_2equ^2-m_1 g-m_2 g+contante
\implies
##
##
E_p=\dfrac12 k_1y_1^2+(k_1 Δ{ℓ}_1equ-k_2 Δ{ℓ}_2equ-m_1 g) y_1
+\dfrac12 k_2(-y_1+y_2 )^2+(k_2 Δ{ℓ}_2equ-m_2 g) y_2+constante
\implies
##
##
E_p=\dfrac12 k_1y_1^2+\dfrac12 k_2(-y_1+y_2 )^2 +constante
##
Par conséquent:
##
ℒ=\dfrac12 m_1\dot y_1^2+\dfrac12 m_2\dot y_2^2-\dfrac12 k_1y_1^2-\dfrac12 k_2(-y_1+y_2 )^2
##
##𝒟## est la fonction de dissipation:
##
𝒟=𝒟_{1}+𝒟_{2}
\implies
##
##
𝒟=\dfrac12 \alpha_1 \dot y_1^2+\dfrac12 \alpha_2(-\dot y_1+\dot y_2 )^2
##
Les équations du mouvement s'expriment donc par :
##
\begin{cases}
m_1\ddot y_1+k_1 y_1+k_2 (y_1-y_2 )=-\alpha_1 \dot y_1-\alpha_2 (\dot y_1-\dot y_2 )+ F(t) \\
m_2\ddot y_2 +K_2 (y_2-y_1 )= - \alpha_2 (\dot y_2-\dot y_1)
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
m_1\ddot y_1+\alpha_1 \dot y_1+\alpha_2 (\dot y_1-\dot y_2 )+k_1 y_1+k_2 (y_1-y_2 )= F(t) \\
m_2\ddot y_2 +\alpha_2 (\dot y_2-\dot y_1)+K_2 (y_2-y_1 )= 0
\end{cases}
##
2- Ecrire les équations intégro-différentielles du circuit électrique équivalent à ce système mécanique dans l'analogie
force-tension et représenter le schéma de ce circuit.
Réponse
Equations intégro-différentielles du système mécanique :
##
\begin{cases}
m_1\dfrac{d\dot y_1}{dt}+\alpha_1 \dot y_1+\alpha_2 (\dot y_1-\dot y_2 )+k_1 \int {\dot y_1dt}+k_2 \int {(\dot y_1-\dot y_2 )dt}= F(t) \\
m_2\dfrac{d\dot y_2}{dt}+\alpha_2 (\dot y_2-\dot y_1)+K_2 \int {(\dot y_2-\dot y_1 )dt}= 0
\end{cases}
##
les équations intégro-différentielles du circuit électrique analogue force-tension sont :
##
\begin{cases}
L_1\dfrac{di_1}{dt}+R_1 i_1+R_2 (i_1-i_2 )+\dfrac{1}{C_1} \int {i_1dt}+\dfrac{1}{C_2} \int {(i_1-i_2 )dt}= e(t) \\
L_2\dfrac{di_2}{dt}+R_2 (i_2- i_1)+\dfrac{1}{C_2} \int {(i_2-i_1 )dt}= 0
\end{cases}
##
Le schéma du circuit électrique est représenté sur la figure suivante :
3- Dans le cas où `F(t)` est harmonique, calculer l'impédance d'entrée de ce circuit électrique.
Réponse
Par définition ##\overline {Z_E}=\overline E/\overline {I_1}## où ##\overline {e(t)}=\overline E exp(jωt),##
##\overline {i_1 (t)}=\overline {I_1} exp(jωt)##
et ##\overline {i_2 (t)}=\overline {I_2} exp(jωt).##
On peut calculer cette impédance en utilisant les lois d'associations des impédances ou à partir
des équations intégro-différentielles établies précédemment.
##1^{ière}## méthode
##
\overline Z_E=R_1+jL_1 ω+\dfrac{1}{jC_1 ω}+\dfrac{jL_2 ω\left(R_2+\dfrac{1}{jC_1 ω}\right)}{R_2+jL_2 ω+\dfrac{1}{jC_2 ω}}
##
##2^{ième}## méthode
##
\begin{cases}
L_1\dfrac{d\overline{i_1}}{dt}+R_1 \overline{i_1}+R_2 \left(\overline{i_1}-\overline{i_2} \right)+\dfrac{1}{C_1} \int {\overline{i_1}dt}+\dfrac{1}{C_2} \int {\left(\overline{i_1}-\overline{i_2} \right)dt}= \overline{e\left(t\right)} \\
L_2\dfrac{d\overline{i_2}}{dt}+R_2 \left(\overline{i_2}- \overline{i_1}\right)+\dfrac{1}{C_2} \int {\left(\overline{i_2}-\overline{i_1} \right)dt}= 0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
jL_1\omega\overline{I_1}+R_1 \overline{I_1}+R_2 \left(\overline{I_1}-\overline{I_2} \right)+\dfrac{1}{jC_1\omega}\overline{I_1}+\dfrac{1}{jC_2\omega} \left(\overline{I_1}-\overline{I_2} \right)= \overline E \\
jL_2\omega\overline{I_2}+R_2 \left(\overline{I_2}- \overline{I_1}\right)+\dfrac{1}{jC_2\omega} \left(\overline{I_2}-\overline{I_1}\right)= 0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\left(R_1 +jL_1\omega+\dfrac{1}{jC_1\omega}\right)\overline{I_1}+\left(R_2 +\dfrac{1}{jC_2\omega}\right)\left(\overline{I_1}-\overline{I_2}\right)= \overline E \\ \\
jL_2\omega\left(\overline{I_2}-\overline{I_1}\right)+R_2\left(\overline{I_2}- \overline{I_1}\right)+\dfrac{1}{jC_2\omega}\left(\overline{I_2}-\overline{I_1}\right)= - jL_2\omega\overline{I_1}
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\left(R_1 +jL_1\omega+\dfrac{1}{jC_1\omega}\right)\overline{I_1}+\left(R_2 +\dfrac{1}{jC_2\omega}\right) \left(\overline{I_1}-\overline{I_2} \right)= \overline E \\
\left(R_2 +jL_2\omega+\dfrac{1}{jC_2\omega} \right)\left(\overline{I_2}-\overline{I_1}\right)= - jL_2\omega\overline{I_1}
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\left(R_1 +jL_1\omega+\dfrac{1}{jC_1\omega}\right)\overline{I_1}+\left(R_2 +\dfrac{1}{jC_2\omega}\right) \left(\overline{I_1}-\overline{I_2} \right)= \overline E \\
\overline{I_2}-\overline{I_1}= - \dfrac{jL_2\omega}{R_2 +jL_2\omega+\dfrac{1}{jC_2\omega}}\overline{I_1}
\end{cases}
\implies
##
##
\left(R_1 +jL_1\omega+\dfrac{1}{jC_1\omega}\right)\overline{I_1}+\left(R_2 +\dfrac{1}{jC_2\omega}\right) \dfrac{jL_2\omega}{R_2 +jL_2\omega+\dfrac{1}{jC_2\omega}}\overline{I_1}= \overline E
\implies
##
##
\left(R_1 +jL_1\omega+\dfrac{1}{jC_1\omega}+\left(R_2 +\dfrac{1}{jC_2\omega}\right) \dfrac{jL_2\omega}{R_2 +jL_2\omega+\dfrac{1}{jC_2\omega}}\right)\overline{I_1}= \overline E
\implies
##
##
\overline{Z_E}=\dfrac{\overline E}{\overline{I_1}} =R_1 +jL_1\omega+\dfrac{1}{jC_1\omega}+ \dfrac{jL_2\omega \left(R_2 +\dfrac{1}{jC_2\omega}\right)}{R_2 +jL_2\omega+\dfrac{1}{jC_2\omega}}
##