2- Dans quels cas les solutions particulières des équations du mouvement ont la forme générale suivante :
##x_{pi} (t)=X_{pi} cos(ωt+ϕ) i=1,2 ##
Déterminer les amplitudes `X_{p1}(ω)` et `X_{p2}(ω).`
Réponse
On exprime autrement les équations du mouvement :
##
\begin{cases}
\ddot x_1+\dfrac km x_1+\dfrac{k_0}m (x_1-x_2 )= \dfrac{F_0 }mcos(ω t)\\
\ddot x_2+\dfrac km x_2+\dfrac{k_0}m (x_2-x_1 )= 0
\end{cases}
##
##
\begin{cases}
x_1=X_p1 cos(ω t+φ) \\
x_2=X_p2 cos(ω t+φ)
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\ddot x_1=-\omega^2x_1 \\
\ddot x_2=-\omega^2x_2
\end{cases}
##
On remplace ##\ddot x_1## et ##\ddot x_2## par leurs expressions dans les équations du mouvement :
##
\begin{cases}
-\omega^2x_1+\dfrac km x_1+\dfrac{k_0}m (x_1-x_2 )=\dfrac{F_0 }mcos(ω t)\\
-\omega^2x_2+\dfrac km x_2+\dfrac{k_0}m (x_2-x_1 )= 0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\left(-\omega^2+\dfrac{k+k_0}m \right)x_1-\dfrac{k_0}m x_2 =\dfrac{F_0 }mcos(ω t)\\
-\dfrac{k_0}m x_1+\left(-\omega^2+\dfrac{k+k_0}m \right) x_2= 0
\end{cases}
##
Pour résoudre ce système, on utilise la méthode de Cramer. Calculons le déterminant, ##det S,## du système :
##
det S=\left(-\omega^2+\dfrac{k+k_0}m \right)^2-\left(\dfrac{k_0}m\right)^2
\implies
##
##
det S=\left(-\omega^2+\dfrac{k+2k_0}m \right)\left(-\omega^2+\dfrac km \right)
##
Pour que ce système admette des solutions de la forme proposée, il faut que :
##
detS ≠0 \implies
##
##
ω≠\sqrt{\dfrac{k+2k_0}m}
##
et
##
ω≠\sqrt{\dfrac km}
##
##
\begin{cases}
x_1(t)=\dfrac{-\omega^2+\dfrac{k+k_0}{m}}{\left(-\omega^2 +\dfrac{k+2k_0}{m}\right)
\left(-\omega^2+\dfrac {k}{m} \right)}\dfrac{F_0}{m} cos(ω t)\\
x_2(t)= \dfrac{\dfrac{k_0}{m}}{\left(-\omega^2+\dfrac{k+2k_0}{m}\right)
\left(-\omega^2+\dfrac {k}{m} \right)}\dfrac{F_0}{m} cos(ω t)
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
X_{p1}(\omega)=\dfrac{-\omega^2+\dfrac{k+k_0}{m}}{\left(-\omega^2+\dfrac{k+2k_0}{m}\right)
\left(-\omega^2+\dfrac {k}{m} \right)}\dfrac{F_0}{m} \\
X_{p2}(\omega)= \dfrac{\dfrac{k_0}{m}}{\left(-\omega^2+\dfrac{k+2k_0}{m}\right)
\left(-\omega^2+\dfrac {k}{m} \right)}\dfrac{F_0}{m}
\end{cases}
##
3- Donner la pulsation d'antirésonance `ω_{anti}` et les pulsations de résonance ` ω_{R1}` et ` ω_{R2}`
Réponse
L'antirésonance de `x_1` se produit lorsque `X_{p1}= 0` :
##
-\omega^2+\dfrac{k+k_0}{m}=0
\implies
##
##
\omega_{anti}=\sqrt{\dfrac{k+k_0}{m}}
##
Les résonances déplacements des systèmes à frottement nul se produisent exactement aux pulsations propres du système mécanique :
##
\begin{cases}
\omega_{R1}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\\
\omega_{R2}=\sqrt{\dfrac{k+2k_0}{m}}
\end{cases}
##
