Réponse
Les équations de Lagrange de ce système sont :
##
\begin{cases}
\dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot x_1}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂x_1}=-\dfrac {∂ 𝒟}{∂\dot x_1}+F(t)\\
\dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot x_2}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂x_2}=0
\end{cases}
##
où ##ℒ## est le lagrangien du système:
##
ℒ=E_c-E_p
##
`E_p` est l'énergie potentielle :
##
E_p=\dfrac12 k(-x_1+x_2+Δℓ_{equ} )^2
##
A l'équilibre:
##
\begin{cases}
\left(\dfrac{∂E_p}{∂x_1}\right)_{x_1=x_2=0}=0\\
\left(\dfrac{∂E_p}{∂x_2}\right)_{x_1=x_2=0}=0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
kΔ{ℓ}_{equ}=0\\
kΔ{ℓ}_{equ}=0
\end{cases}\implies
##
##
Δ{ℓ}_{equ}=0
##
L'expression de `E_p` se simplifie:
##
E_p=\dfrac12 k(-x_1+x_2 )^2
##
Par conséquent:
##
ℒ=\dfrac12 m\dot x_1^2+\dfrac12 m\dot x_2^2-\dfrac12 k_2(-x_1+x_2 )^2
##
##𝒟## est la fonction de dissipation:
##
𝒟=\dfrac12 \alpha \dot x_1^2
##
Les équations du mouvement s'expriment donc par :
##
\begin{cases}
m\ddot x_1+k (x_1-x_2 )=-\alpha \dot x_1+ F(t) \\
m\ddot x_2 +k (x_2-x_1 )= 0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
m\ddot x_1+\alpha \dot x_1+k (x_1-x_2 )= F_0 cos(\omega t) \\
m\ddot x_2 +k (x_2-x_1 )= 0
\end{cases}
##
2- En utilisant la notation complexe, déterminer l'impédance mécanique ## \overline Z =\dfrac{\overline {F(t)}} {\overline {\dot x_1(t)}}. ##
Que vaut cette impédance pour
##ω=\sqrt{\dfrac km}## ?
Décrire le mouvement de chaque masse à cette pulsation particulière en régime permanent.
Réponse
En notation complexe on a : ##\overline {F(t)}= F_0 exp(jωt),##
##\overline {\dot x_1 (t)}=\overline {V_1} exp(jωt)##
et ##\overline {\dot x_2 (t)}=\overline {V_2} exp(jωt).##
##
\overline Z =\dfrac{\overline {F(t)}} {\overline {\dot x_1(t)}}
\implies
##
##
\overline Z =\dfrac{F_0 exp(jωt)} {\overline {V_1} exp(jωt)}
\implies
##
##
\overline Z =\dfrac{F_0 } {\overline {V_1} }
##
Pour déterminer ce rapport, on utlise les équations intégro-différentielle du mouvement :
##
\begin{cases}
m\dfrac{d\overline{\dot x_1}}{dt}+\alpha \overline{\dot x_1}+k \int{(\overline{\dot x_1}-\overline{\dot x_2} )dt}= \overline F_0 exp(jωt) \\
m\dfrac{d\overline{\dot x_2}}{dt} +k \int{(\overline{\dot x_2}-\overline{\dot x_1} )dt}= 0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
jm\omega \overline{V_1}exp(jωt)+\alpha \overline{V_1}exp(jωt)+\dfrac{k}{j\omega} (\overline{V_1}-\overline{V_2} )exp(jωt)= F_0 exp(jωt) \\
jm\omega\overline{V_2}exp(jωt) +\dfrac{k}{j\omega} (\overline{V_2}-\overline{V_1} )exp(jωt)= 0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
jm\omega \overline{V_1}+\alpha \overline{V_1}+\dfrac{k}{j\omega} (\overline{V_1}-\overline{V_2} )= F_0 \\
jm\omega\overline{V_2} +\dfrac{k}{j\omega} (\overline{V_2}-\overline{V_1} )= 0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
(\alpha+jm\omega)\overline{V_1}+\dfrac{k}{j\omega} (\overline{V_1}-\overline{V_2} )= F_0 \\
jm\omega(\overline{V_2}-\overline{V_1}) +\dfrac{k}{j\omega} (\overline{V_2}-\overline{V_1} )=- jm\omega\overline{V_1}
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
(\alpha+jm\omega)\overline{V_1}+\dfrac{k}{j\omega} (\overline{V_1}-\overline{V_2} )= F_0 \\
\left(jm\omega +\dfrac{k}{j\omega}\right) (\overline{V_2}-\overline{V_1} )=- jm\omega\overline{V_1}
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
(\alpha+jm\omega)\overline{V_1}+\dfrac{k}{j\omega} (\overline{V_1}-\overline{V_2} )= F_0 \\
\overline{V_2}-\overline{V_1} =-\dfrac{ jm\omega}{jm\omega +\dfrac{k}{j\omega}}\overline{V_1}
\end{cases}
\implies
##
##
(\alpha+jm\omega)\overline{V_1}+\dfrac{k}{j\omega}
\dfrac{ jm\omega}{jm\omega +\dfrac{k}{j\omega}}\overline{V_1}= F_0
\implies
##
##
\left(\alpha+jm\omega+
\dfrac{ mk}{jm\omega +\dfrac{k}{j\omega}}\right)\overline{V_1}= F_0
\implies
##
##
\overline Z =\dfrac{F_0 } {\overline {\overline {V_1} }}=
\alpha+j\left(m\omega-\dfrac{ mk}{m\omega -\dfrac{k}{\omega}}\right)
##
ou bien
##
\overline Z =\dfrac{F_0 } {\overline {\overline {V_1} }}=
\alpha+jm\omega\left(1-\dfrac{ 1}{\dfrac{m}{k}\omega^2 -1}\right)
##
Dans le cas où ##\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} ## on a :
##
\overline Z =\dfrac{F_0 } {\overline {\overline {V_1} }}=
\alpha+jm\sqrt{\dfrac{k}{m}}\left(1-\dfrac{ 1}{\dfrac{m}{k}\dfrac{k}{m} -1}\right)
\implies
##
##
\overline Z =\dfrac{F_0 } {\overline {\overline {V_1} }}=
\alpha+jm\sqrt{\dfrac{k}{m}}\left(1-\dfrac{ 1}{1 -1}\right)
\implies
##
##
\overline Z =\dfrac{F_0 } {\overline {\overline {V_1} }}=
\alpha+jm\sqrt{\dfrac{k}{m}}\left(1-\dfrac{ 1}0\right)
\implies
##
##
\overline Z =±\infty \Omega
##
Comme :
##
\overline Z =\dfrac{F_0 } {\overline {V_1} }
\implies
##
##
\overline {V_1} =\dfrac{F_0 } {\overline Z}
\implies
##
##
\overline {V_1}=\dfrac{F_0 } {\infty}
\implies
##
##
\overline {V_1} =0 m/s
\implies
##
##
x_1(t) =0 m
##
A cette pulsation la masse de coordonnée `x_1` est immobile, on a une antirésonance pour cette masse.
Pour déterminer ##\overline{x_2(t)},## on utilise la deuxième équation du système en posant
##\overline {V_1} =0## et ##\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}## :
##
jm\omega \overline{V_1}+\alpha \overline{V_1}+\dfrac{k}{j\omega} (\overline{V_1}-\overline{V_2} )= F_0
\implies
##
##
-\dfrac{k}{j\sqrt{\dfrac{k}{m}}}\overline{V_2} = F_0
##
##
\implies
##
##
\overline{V_2} =-j \dfrac{F_0}{\sqrt{mk}}
\implies
##
##
\overline{V_2} =\dfrac{F_0}{\sqrt{mk}} exp\left(-j\dfrac{\pi}{2}\right)
##
Comme
##
\overline{\dot x_2(t)}=\overline{V_2}exp\left(j\sqrt{\dfrac{k}{m}} t\right)
\implies
##
##
\overline{\dot x_2(t)}=\dfrac{F_0}{\sqrt{mk}} exp\left(j\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}} t-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)
##
Par intégration, on détermine ##\overline{x_2(t)}## :
##
\overline{ x_2(t)}=\int{\overline{\dot x_2(t)}dt}
\implies
##
##
\overline{ x_2(t)}=\dfrac{\dfrac{F_0}{\sqrt{mk}}} {j\sqrt{\dfrac{k}{m}}}exp\left(j\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}} t-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)
\implies
##
##
\overline{ x_2(t)}=\dfrac{F_0}{k} exp\left(j\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}} t-\pi\right)\right)
\implies
##
##
x_2(t)=\dfrac{F_0}{k} cos\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}} t-\pi\right)
##
La masse de coordonnée `x_2` vibre en opposition de phase avec la force F avec une amplitude
##\dfrac{F_0}{k}## et une pulsation ##\sqrt{\dfrac{k}{m}}.##
3- En utilisant l'analogie électromécanique force-tension, représenter le schéma du circuit électrique
équivalent au système mécanique.
