Vibrations Mécaniques des Systèmes Forcés à 1 Degré de Liberté
Exercice n°1 (5 points): Sismographe.
Le système mécanique représenté sur la figure (a) est un instrument
sismique constitué d'une masse `m,` d'un ressort de constante de
raideur `K,` d'un amortisseur de coefficient de frottement visqueux
`\alpha` et d'un bâti (`B`). Ce système est doté d'un dispositif permettant
de tracer le déplacement relatif de la masse m par rapport au bâti
(`B`) en fonction du temps `t.` Soient `y(t)` et `s(t)` les
déplacements absolus de `m` et du bâti (`B`) respectivement. On
suppose que `s(t)` est une vibration harmonique de pulsation `ω` et
d'amplitude `S_0 : s(t)=S_0 cos(ωt).`
1/ Etablir l'équation du mouvement de la masse `m` en fonction du déplacement relatif : ` z(t)=y(t)-s(t)`. Expliciter les expressions de la pulsation propre `ω_0` et du coefficient d'amortissement `δ` de l'oscillateur.
Réponse
Energie cinétique :
##
E_c=\dfrac 12 m \dot{y}^2
##
Energie potentielle :
##
E_p=\dfrac 1{2} K\left(y-s+Δ {ℓ}_{equ} \right)^2+mgy
##
A l' équilibre :
##
{\left(\dfrac {∂E_P}{∂y}\right)}_{(y=0,s=0)}=0\implies
KΔ{ℓ}_{equ}+mg =0
##
L'expression de `E_p` se simplifie:
Lagrangien :
## ℒ=E_c-E_p=\dfrac 12m \dot{y}^2 -\dfrac 1{2}K(y-s)^2 ##
Fonction de dissipation :
## 𝒟=\dfrac 12 \alpha v^2=\dfrac 12 \alpha (\dot{y}-\dot{s}) ^2 ##
Equation du mouvement :
## \dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot{y}}\right) -\dfrac {∂ℒ} {∂y}=-\dfrac {∂{𝒟}} {∂\dot{y}}\implies## ## m\ddot{y}+K(y-s) y=-\alpha (\dot{y}-\dot{s}) ##
On divise l'équation par `m`:
## m\ddot{y}+2\dfrac \alpha {2m}(\dot{y}-\dot{s})+\dfrac {K}{m}(y-s) y=0 ##
Faisons le changement de variable :
## z=y-s\implies## ## y=z+s\implies## ## \dot{y}=\dot{z}+\dot{s}\implies## ## \ddot{y}=\ddot{z}+\ddot{s}##
Coefficient d'amortissement :
Pulsation propre :
2/ La solution permanente de l'équation du mouvement est donnée par ` z(t)=Z_0 cos(ωt+φ).` Exprimer l'amplitude `Z_0` et la phase `φ.`
Réponse
3/ Le graphe du rapport `|Z_0//S_0 |` en fonction du rapport des pulsations `ω//ω_0` pour différentes valeurs du facteur d'amortissement `ξ=δ//ω_0.` est représenté sur la figure (b). Dans le cas où la pulsation propre `ω_0` est faible devant la pulsation `ω` de l'excitation `s(t)` et ##ξ\lt {1}##, exprimer `z(t)` et montrer que l'on peut mesurer l'amplitude `S_0` de l'excitation `s(t).`
Réponse
Faisons apparaitre les deux rapports `ω_0//ω` et `δ//ω_0` `(=ξ)` dans les expressions de `Z_0` et `φ` :
Par hypothèse ##0\lt ξ\lt {1} ## et la pulsation `ω_0` est très faible devant la pulsation `ω.` Le rapport ##ω_0/ω\lt \lt {1} ## et les 2 termes ##|2(1-2ξ^2 )| (ω_0/ω)^2## et ##(ω_0/ω)^4## le sont aussi, on les néglige devant 1. Par conséquent :
## Z_0≅\dfrac{S_0}{\sqrt{1}}=S_0 ## et ## φ≅-arccos\left(\dfrac {-1}{\sqrt{1 }}\right)=-arccos(-1)=-\pi ##
L'expression de z peut être approximée à :
## z(t)=S_0 cos(ωt-π) ##