Vibrations Mécaniques des Systèmes Forcés à 1 Degré de Liberté
Exercice n°2 (5 points) : Pendule forcé.
Un pendule constitué d'une tige de masse négligeable, portant à ses deux extrémités
deux masses `m_1` et `m_2,` peut tourner dans le plan vertical autour d'un axe horizontal
`(Δ)` fixe passant par le point `O` de la tige. Ces deux masses, `m_1` et `m_2,` sont distantes
de `O` de ##{ℓ}_1## et ##{ℓ}_2## respectivement. La masse `m_1` est reliée au bâti
`B_1` par un ressort de constante de raideur `K` et la masse `m_2` à un bâti `B_2` par un
amortisseur de coefficient de frottement visqueux `\alpha ` (voir la figure ci-dessus).
A l'équilibre, la tige est verticale et le ressort non déformé. La position du pendule est repérée
par l'angle θ que fait la tige avec la verticale. Le bâti `B_2` est animé d'un mouvement horizontal
harmonique `s(t)=S_0 sin(ωt).`
Données :
`ℓ_2=2ℓ_1=2ℓ , m_2=2m_1=2m , m=1 kg,K=3500 N//m, ℓ= 50 cm
` et ` g=10 m//s^2.`
1/Etablir l'équation du mouvement du système dans le cas des mouvements de faible amplitude.
Réponse
Les coordonnées cartésiennes et la vitesse de la masse `m_1` :
##
\begin{cases}
x_1=-{ℓ}_1sin(θ) \\ \\
y_1={ℓ}_1cos(θ)
\end{cases}
\implies##
##
\begin{cases}
\dot{x}_1=-{ℓ}_1 \dotθ cos(θ) \\ \\
\dot{y}_2=-{ℓ}_1\dotθ sin(θ)
\end{cases}
\implies##
## v_1^2=\dot{x}_1+\dot{y}_1={ℓ}_1^2 \dot{θ}^2
##
et de la masse `m_2`:
##
\begin{cases}
x_2={ℓ}_2sin(θ) \\ \\
y_2=-{ℓ}_2cos(θ)
\end{cases}
\implies##
##
\begin{cases}
\dot{x}_1={ℓ}_2 \dotθ cos(θ) \\ \\
\dot{y}_2={ℓ}_2\dotθ sin(θ)
\end{cases}
\implies##
## v_2^2=\dot{x}_2+\dot{y}_2={ℓ}_2^2 \dot{θ}^2
##
Energie cinétique :
Energie potentielle :
Comme θ est petit, le déplacement du ressort est supposé pratiquement horizontal.
A l'équilibre, le ressort n'est pas déformé, le ##Δ {ℓ}_{equ}## est nul.
On peut encore faire les approximations suivantes :
`sin(θ)=θ` et ##cos(θ)=1-\dfrac {θ^2}{2}##
Lagrangien :
Fonction de dissipation :
Equation du mouvement :
On divise l'équation par le coefficient de ##\ddot{θ}##:
Comme `ℓ_2=2ℓ_1=2ℓ , m_2=2m_1=2m `
Pulsation propre :
et
Coefficient d'amortissement :
2/ Donner l'équation horaire `θ_p=g(t)` en régime permanent.
Réponse
## θ_p (t)=\dfrac{\dfrac{2}{9}\dfrac{K}{m{ℓ} }S_0 }{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}cos(ωt-ϕ)## où ## ϕ=arccos\left(\dfrac{ω_0^2-ω^2}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}\right) (et sin(ϕ)>0)\implies##
3/Calculer l'amplitude de la déviation maximale du pendule en fonction de `S_0.`
Réponse
L'amplitude de la déviation maximale est obtenue à la pulsation de résonance :