Les coordonnées cartésiennes du point `A` et du point `B` :
## \begin{cases} x_A=-Rcos(θ) \\ \\ y_A=-Rsin(θ) \end{cases}   et   \begin{cases} x_B=\dfrac{1}{2}Rcos(θ) \\ \\ y_B=\dfrac{1}{2}Rsin(θ) \end{cases} ##
θ est supposé faible, en première approximation ##sin(θ)≅θ## et ##cos(θ)≅1.##
Les coordonnées précédentes peuvent être approximées à :
## \begin{cases} x_A=-R \\ \\ y_A=-Rθ \end{cases}   et   \begin{cases} x_B=\dfrac{1}{2}R \\ \\ y_B=\dfrac{1}{2}Rθ \end{cases} ##
et la vitesse linéaire du point B :
## \begin{cases} \dot{x}_B=0 \\ \\ \dot{y}_B=\dfrac{1}{2}R\dotθ \end{cases} \implies## #### ## v_B=\dot{y}_B=\dfrac{R}{2} \dot{θ} ##
La vitesse ##\dot{s}## du bâti `B_2` est égale à :
## s(t)=s_0  cos (ωt)\implies## #### ##\dot{s} ̇(t)=- s_0 ω  sin(ωt)\implies## ## \dot{s} (t)= s_0 ω  cos\left(ωt+\dfrac{\pi}{2}\right) ##

Energie cinétique :
Lorsque l'axe de rotation (∆) passant par le centre de masse `O` est fixe, on calcule l'énergie cinétique du disque à partir de la formule suivante :
##E_{cM}=\dfrac 1{2} J_{/(∆)} Ω^2##
où Ω est la vitesse angulaire de la tige autour de cet axe fixe (∆) passant par le centre de masse `O`, elle est égale à ##\dotθ## , `J_(//(∆)` est le moment d'inertie par rapport à cet axe (∆), égal à `I_O` :
## E_{c}=\dfrac 1{2} I_0 \dotθ ̇^2 ##

Energie potentielle :
Comme θ est petit, le déplacement du point `A` du ressort est supposé vertical.

• Expression de `θ` en fonction du temps `t` et des caractéristiques du système:
  
  ## θ_p (t)=\dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω }{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}cos(ωt-ϕ)## où ## ϕ=arccos\left(\dfrac{ω_0^2-ω^2}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}\right) ## ##(et sin(ϕ)>0)##
• Expressions de la pulsation résonance `ω_R` et de l'amplitude de `θ` à à la résonance:
  Amplitude : ## A(ω)=\dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω }{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }} ##
  Pulsation de résonance `ω_R` :
  ## \dfrac{dA(ω)}{dω}=0\implies## ##\dfrac{d}{dω}\left(\dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}\right)=0\implies## ##(ω_0^2-ω^2 )(ω_0^2+ω^2 )=0\implies## > ##ω_R=ω_0\implies##
  ##ω_R=\sqrt{\dfrac {KR^2}{I_0}}##
  
  Amplitude à la résonance :
  ## A(ω_R )=A(ω_0 ) \implies## #### ## A(ω_R )= \dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω_0}{\sqrt{4δ^2 ω_0^2 }} = \dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω_0}{2δ ω_0}=\dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{1}{2δ } ##
  Comme ##δ=\dfrac{\alpha R^2}{8I_0}## on obtient:
  ## A(ω_R )= \dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{1}{2\dfrac{\alpha R^2}{8I_0} }\implies##
  ## A(ω_R )=\dfrac {2 s_O}{R} ##
  
  On remarque que l'amplitude à la résonance et la pulsation de résonance sont indépendantes du frottement.
  
  
• Tracé sur le même graphe l'allure des courbes des amplitudes de `θ` en régime permanent dans les deux cas suivants :
  
  • coefficient d'amortissement `δ` est très petit devant la pulsation propre `ω_0`.
  • coefficient d'amortissement δ est très grand devant la pulsation propre `ω_0`.

  

• Valeur limite `s_{0 lim}` de `s_0` à ne pas dépasser afin que la supposition angle faible reste valide :
## A(ω_R )≤\dfrac {\pi}{18}\implies## ## \dfrac {2s_0}{R}≤\dfrac {\pi}{18}\implies## ## s_0≤\dfrac {\pi}{36} R\implies##
##s_{0 lim}=\dfrac {\pi}{36} R##

Lagrangien et fonction de dissipation:
## ℒ=E_c-E_p=\dfrac 1{2} I_0\dot{θ} ̇^2-\dfrac 1{2}KR^2θ^2## et ## 𝒟=\dfrac 1{2}\alpha v_B^2=\dfrac 1{2} \dfrac{\alpha R^2}{4} \dot{θ}^2 ##

Moment de la force F(t) par rapport à l'axe de rotation (Δ) :
On applique la force F(t) tangentiellement à la jante au point A, par exemple :
## \overrightarrow{ℳ} _{F(t)/(Δ)}=\overrightarrow{OA} ∧\overrightarrow{F(t)} \implies## #### ## {ℳ} _{F(t)/(Δ)}=‖\overrightarrow{OA}‖F(t)sin(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F(t)} ) \implies## #### ##{ℳ} _{F(t)/(Δ)}=RF(t) sin(π/2)\implies## #### ##{ℳ} _{F(t)/(Δ)}=RF(t) ##

Equation du mouvement :
##\dfrac {d}{dt} \left( \dfrac {∂{ℒ}} {∂\dotθ}\right)-\dfrac {∂{ℒ}} {∂θ}= -\dfrac {∂{𝒟}} {∂\dotθ}+ {ℳ} _{F(t)/(Δ)} \implies## ##I_0\ddotθ+KR^2θ=-\alpha \dfrac{R^2}{4}\dot{θ}+RF(t) \implies## ##I_0\ddotθ+\alpha \dfrac{R^2}{4}\dot{θ}+KR^2θ=RF(t)\implies## ##\ddotθ+ 2\dfrac{\alpha R^2}{8I_0} \dotθ+\dfrac {KR^2}{I_0} θ=\dfrac{RF_0}{I_0}  cos\left(ωt\right)##

Expression de θ(t) en régime permanent :
##θ_p (t)=\dfrac{RF_0}{I_0}\dfrac{1 }{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}cos(ωt+ϕ)##  où  ##ω_0=\sqrt{\dfrac {KR^2}{I_0}},  δ=\dfrac {\alpha R^2}{8I_0} ##  et   ##ϕ=-arccos\left(\dfrac{ω_0^2-ω^2}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}\right) (et sin(ϕ)<{0})##

Amplitude :
## A(ω)=\dfrac{RF_0}{I_0}\dfrac{1 }{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }} ##

Pulsations des extremums :
##\dfrac{dA(ω)}{dω}=0\implies## ##\dfrac{d}{dω}\left(\dfrac{ω}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}\right)=0\implies## ##ω(ω^2-(ω_0^2-2δ^2 ) )=0\implies##