Vibrations Mécaniques des Systèmes Libres à 1 Degré de Liberté

Les coordonnées cartésiennes du point `A` et du point `B` : $$ \begin{cases} x_A=-Rcos(θ) \\ \\ y_A=-Rsin(θ) \end{cases}   et   \begin{cases} x_B=\dfrac{1}{2}Rcos(θ) \\ \\ y_B=\dfrac{1}{2}Rsin(θ) \end{cases} $$ θ est supposé faible, en première approximation ##sin⁡(θ)≅θ## et ##cos⁡(θ)≅1##. Les coordonnées précédentes peuvent être approximées à : $$ \begin{cases} x_A=-R \\ \\ y_A=-Rθ \end{cases}   et   \begin{cases} x_B=\dfrac{1}{2}R \\ \\ y_B=\dfrac{1}{2}Rθ \end{cases} $$ et la vitesse linéaire du point B : $$ \begin{cases} \dot{x}_B=0 \\ \\ \dot{y}_B=\dfrac{1}{2}R\dotθ \end{cases} \implies v_B=\dot{y}_B=\dfrac{R}{2} \dot{θ} $$ La vitesse ##\dot{s} ##du bâti `B_2` est égale à : $$ s(t)=s_0  cos (ωt)⇒\dot{s} ̇(t)=- s_0 ω  sin(ωt)\implies \dot{s} (t)= s_0 ω  cos\left(ωt+\dfrac{\pi}{2}\right) $$ Energie cinétique :

Lorsque l'axe de rotation (∆) passant par le centre de masse `O`, est fixe, on calcule l'énergie cinétique du disque à partir de la formule suivante :

$$E_{cM}=\frac1{2} J_{/(∆)} Ω^2$$ où Ω est la vitesse angulaire de la tige autour de cet axe fixe (∆) passant par le centre de masse `O`, elle est égale à ##\dotθ## , `J_(//(∆)` est le moment d'inertie par rapport à cet axe (∆), égal à `I_O` :

$$ E_{c}=\frac1{2} I_0 \dotθ ̇^2

$$ Energie potentielle :

Comme θ est petit, le déplacement du point `A` du ressort est supposé vertical. $$ E_p=\frac1{2} K(y_A+Δ {ℓ}_{equ} )^2= \frac1{2} K(-Rθ+Δ {ℓ}_{equ} )^2 $$ A l' équilibre : $$ {\left(\frac{∂E_P}{∂θ}\right)}_{(θ=0)}=0⇒Δ {ℓ}_{equ}=0 ⇒ E_p=\frac1{2} KR^2 θ^2 $$ Lagrangien :
$$ ℒ=E_c-E_p=\frac1{2} I_0\dot{θ} ̇^2-\frac1{2}KR^2θ^2 $$ Fonction de dissipation : $$ 𝒟=\frac1{2}\alpha \left(v_B-\dot{s}\right))^2=\frac1{2} \alpha \left(\dfrac{R}{2} \dot{θ}-\dot{s}\right) ^2 $$ Equation du mouvement : $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{∂{ℒ}} {∂\dotθ}\right)-\frac{∂{ℒ}} {∂θ}= -\frac{∂{𝒟}} {∂\dotθ} ⇒ I_0\ddotθ+KR^2θ=-\alpha \dfrac{R}{2}\left(\dfrac{R}{2} \dot{θ}-\dot{s}\right) ⇒ I_0\ddotθ+\alpha \dfrac{R^2}{4}\dot{θ}+KR^2θ=\alpha \dfrac{R}{2} \dot{s} ⇒\\ \ddotθ+ 2\dfrac{\alpha R^2}{8I_0} \dotθ+\frac{KR^2}{I_0} θ=\dfrac{\alpha R}{2I_0} s_0 ω  cos\left(ωt+\dfrac{\pi}{2}\right) $$ Caractéristiques de l'oscillateur :
Pulsation propre:

$$ ω_0=\sqrt{\frac{KR^2}{I_0}} $$ et coefficient d' amortissement:

$$ δ=\frac{\alpha R^2}{8I_0} $$

• Expression de `θ` en fonction du temps `t` et des caractéristiques du système:
  $$ θ_p (t)=\dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω }{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}cos(ωt-ϕ)\implies $$ où $$ ϕ=arccos\left(\dfrac{ω_0^2-ω^2}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}\right) (et sin(ϕ)>0) $$
• Expressions de la pulsation résonance `ω_R` et de l'amplitude de `θ` à à la résonance:
  Amplitude : $$ A(ω)=\dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω }{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }} $$ Pulsation de résonance `ω_r` : $$ \dfrac{dA(ω)}{dω}=0⇒ \dfrac{d}{dω}\left(\dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}\right)=0\implies\\ (ω_0^2-ω^2 )(ω_0^2+ω^2 )=0⇒ ω_r=ω_0⇒ω_r=\sqrt{\frac{KR^2}{I_0}} $$ Amplitude à la résonance : $$ A(ω_r )=A(ω_0 ) \implies A(ω_r )= \dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω_0}{\sqrt{4δ^2 ω_0^2 }} = \dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{ω_0}{2δ ω_0}=\dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{1}{2δ } $$ Comme ##δ=\dfrac{\alpha R^2}{8I_0}## on obtient: $$ A(ω_r )= \dfrac{\alpha Rs_0}{2I_0}\dfrac{1}{2\dfrac{\alpha R^2}{8I_0} }\implies A(ω_r )=\frac{2 s_O}{R} $$ On remarque que l'amplitude à la résonance et la pulsation de résonance sont indépendantes du frottement.
  
  
• Tracé sur le même graphe l'allure des courbes des amplitudes de `θ` en régime permanent dans les deux cas suivants :
  
  • coefficient d'amortissement `δ` est très petit devant la pulsation propre `ω_0`.
  • coefficient d'amortissement δ est très grand devant la pulsation propre `ω_0`.

  

• Valeur limite `s_{0 lim}` de `s_0` à ne pas dépasser afin que la supposition angle faible reste valide :

$$ A(ω_r )≤\frac{\pi}{18}⇒ \frac{2s_0}{R}≤\frac{\pi}{18}⇒s_0≤\frac{\pi}{36} R ⇒s_{0 lim}=\frac{\pi}{36} R $$

Lagrangien et fonction de dissipation: $$ ℒ=E_c-E_p=\frac1{2} I_0\dot{θ} ̇^2-\frac1{2}KR^2θ^2\\ 𝒟=\frac1{2}\alpha v_B^2=\frac1{2} \dfrac{\alpha R^2}{4} \dot{θ}^2 $$ Moment de la force F(t) par rapport à l'axe de rotation (Δ) :
On applique la force F(t) tangentiellement à la jante au point A, par exemple : $$ \overrightarrow{ℳ} _{F(t)/(Δ)}=\overrightarrow{OA} ∧\overrightarrow{F(t)} \implies {ℳ} _{F(t)/(Δ)}=‖\overrightarrow{OA}‖F(t)sin(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F(t)} ) \\ \implies{ℳ} _{F(t)/(Δ)}=RF(t) sin(π/2)\implies {ℳ} _{F(t)/(Δ)}=RF(t) $$ Equation du mouvement : $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{∂{ℒ}} {∂\dotθ}\right)-\frac{∂{ℒ}} {∂θ}= -\frac{∂{𝒟}} {∂\dotθ}+ {ℳ} _{F(t)/(Δ)} ⇒\\ I_0\ddotθ+KR^2θ=-\alpha \dfrac{R^2}{4}\dot{θ}+RF(t) ⇒\\ I_0\ddotθ+\alpha \dfrac{R^2}{4}\dot{θ}+KR^2θ=RF(t)⇒\\ \ddotθ+ 2\dfrac{\alpha R^2}{8I_0} \dotθ+\frac{KR^2}{I_0} θ=\dfrac{RF_0}{I_0}  cos\left(ωt\right) $$ Expression de θ(t) en régime permanent : $$ θ_p (t)=\dfrac{RF_0}{I_0}\dfrac{1 }{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}cos(ωt+ϕ) $$ $$ où  ω_0=\sqrt{\frac{KR^2}{I_0}},  δ=\frac{\alpha R^2}{8I_0},   ϕ=-arccos\left(\dfrac{ω_0^2-ω^2}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}\right) (et sin(ϕ)<{0}) $$ Amplitude : $$ A(ω)=\dfrac{RF_0}{I_0}\dfrac{1 }{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }} $$ Pulsation de résonance `ω_r` : $$ \dfrac{dA(ω)}{dω}=0⇒ \dfrac{d}{dω}\left(\dfrac{ω}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2 )^2+4δ^2 ω^2 }}\right)=0\implies ω(ω^2-(ω_0^2-2δ^2 ) )=0⇒\\ \begin{cases} ω_{max}=\sqrt{ω_0^2-2δ^2 } =\sqrt{\dfrac{KR^2}{I_0} -2\left(\dfrac{\alpha R^2}{8I_0}\right)^2} et  ω_{min}=0 rd/s  si  δ≤\sqrt{2} ω_0 \\ \\ ω_{max}=0rd/s                     si  δ>\sqrt{2} ω_0 \end{cases} $$ Cas où `δ≥sqrt2 ω_0` (`A(ω)` présente un maximum à `ω=0 rd//s` et elle est strictement décroissante). $$ A_{max}=A(0)\implies A_{max}=\dfrac{RF_O}{I_0 ω_0^2 }= \dfrac{RF_O}{I_0 \dfrac{KR^2}{I_0} }\implies A_{max}=\frac{F_O}{KR}\\ A_{max}≤\frac{π}{18}⇒\frac{F_0}{KR}≤\frac{π}{18}⇒F_0≤\frac{π}{18} KR⇒F_{0  lim}=\frac{π}{18} KR $$ Cas où `δ\lt {sqrt2 ω_0}` (présente un maximum à `ω_{max}=\sqrt{ω_0^2-2δ^2}` et un minimum à `ω_{min}=0 rd//s` ). $$ A_{max}=A(ω_{max})\implies A_{max}=\dfrac{RF_0}{I_0}\dfrac{1 }{\sqrt{(ω_0^2-ω_{max}^2 )^2+4δ^2 ω_{max}^2 }}\implies\\ A_{max}=\dfrac{RF_0}{I_0}\dfrac{1}{\sqrt{(ω_0^2-(ω_0^2-2δ^2) )^2+4δ^2(ω_0^2-2δ^2) }}\implies A_{max}=\dfrac{RF_0}{I_0}\dfrac{1 }{\sqrt{4δ^4+4δ^2 (ω_0^2-2δ^2 )}}\implies\\ A_{max}=\dfrac{RF_0}{I_0}\dfrac{1 }{2δ\sqrt{ω_0^2-δ^2}}\\ A_{max}≤\frac{π}{18}⇒\dfrac{RF_0}{I_0}\dfrac{1 }{2δ\sqrt{ω_0^2-δ^2}}≤\frac{π}{18}\implies F_0≤\frac{π}{9}\dfrac{I_0}{R}δ\sqrt{ω_0^2-δ^2}\implies F_{0lim}=\frac{π}{9}\dfrac{I_0}{R}\frac{\alpha R^2}{8I_0}\sqrt{\frac{KR^2}{I_0}-\left(\frac{\alpha R^2}{8I_0}\right)^2}\implies\\ F_{0lim}=\frac{π\alpha R^2}{72}\sqrt{\frac{K}{I_0}-\left(\frac{\alpha R}{8I_0}\right)^2} $$ Graphe de l'amplitude A(ω) dans ce cas limite :