Coordonnées cartésiennes des deux masses :
## \begin{cases} x_1=L_1 sin(\theta_1)\\ y_1=L_1 (1-cos(\theta_1)) \end{cases} ## et ## \begin{cases} x_2=L_2 sin(\theta_2)\\ y_2=L_2(1- cos(\theta_2)) \end{cases} ##

Les angles ##\theta_1## et ##\theta_2## sont faibles, développons les expressions de ces coordonnées au premier ordre qui serviront à déterminer les expressions des énergies cinétiques des deux masses, ##E_{c1}## et ##E_{c2}##, et de l'énergie potentielle élatique du ressort, ##E_{pe}## , et au second ordre pour déterminer les expressions potentielles de gravitation des deux masses , ##E_{pg1}## et ##E_{pg2}##.

Les développements limités au premier ordre du sinus et du cosinus aux angles ##\theta## faibles sont :

## \begin{cases} sin(\theta) =\theta\\ cos(\theta) =1\\ \end{cases} \implies ##

## \begin{cases} x_1=L_1 \theta_1\\ y_1=0\\ \end{cases} ## et ## \begin{cases} x_2=L_2 \theta_2\\ y_2=0\\ \end{cases} ##

## \begin{cases} v_1=L_1 \dot {\theta_1}       \mbox{( Vitesse linéaire de }  m_1)\\ v_2=L_2 \dot {\theta_2}       \mbox{( Vitesse linéaire de }  m_2)\\ x_2-x_1=L_2 \theta_2-L_1\theta_1  \mbox{( Déformation du ressort)} \end{cases} ##

et au second ordre: ## \begin{cases} sin(\theta) =\theta\\ cos(\theta) =1-\dfrac12\theta^2\\ \end{cases} \implies ##

## \begin{cases} x_1=L_1 \theta_1\\ y_1=\dfrac12L_1 \theta_1^2 \end{cases} ##

## \begin{cases} x_2=L_2 \theta_2\\ y_2=\dfrac12L_2 \theta_2^2 \end{cases} ##

##E_c=E_{c1}+E_{c2}\implies E_c=\dfrac12 m_1 v_1^2 + \dfrac12 m_2 v_2^2 \implies##

##E_p=E_{pe}+E_{pg1}+E_{pg2}\implies##

##E_p=\dfrac12 K(x_2 - x_1 +\Delta ℓ_{equ} )^2+m_1 gy_1+m_2 gy_2 ##

Pour ce système conservatif, les deux équations de Lagrange s'écrivent : ## \begin{cases} \dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot{\theta_1}}\right) -\dfrac {∂ℒ} {∂\theta_1}=0\\ \dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot{\theta_2}}\right) -\dfrac {∂ℒ} {∂\theta_2}=0 \end{cases} ##

où    ## ℒ=E_c-E_p=\dfrac12 m_1 L_1^2 \dot θ_1^2+\dfrac12 m_2 L_1^2 \dot θ_2^1 ##

## -\left(\dfrac12 K(L_2 θ_2-L_1 θ_1 )^2+\dfrac12 m_1 gL_1^2 θ_1^2+\dfrac12 m_2 gL_2^2 θ_2^2\right) ##

Dans le cas des systèmes conservatifs, les solutions des équations du mouvement sont harmoniques. En notation complexe, elles s'expriment en fonction du temps t par : ##\begin{cases} \overline{θ_1}=\overline{A_1}e^{j\omega t}\\ \overline{θ_2}=\overline{A_2}e^{j\omega t} \end{cases}## et leurs dérivés secondes par ## \begin{cases} \ddot{\overline{θ_1}}=-\omega^2 \overline{θ_1}\\ \ddot{\overline{θ_2}}=-\omega^2 \overline{θ_2} \end{cases} ##

Les équations du mouvement en notation complexe s'expriment par: ## \begin{cases} \ddot {\overline{θ_1}}+\dfrac{g}{L_1}\overline{θ_1}+ \dfrac {K}{m_1} ( \overline{θ_1}-\dfrac{L_2}{L_1} \overline{θ_2} )=0\\ \ddot {\overline{θ_2}}+\dfrac{g}{L_2} \overline{θ_2}+ \dfrac {K}{m_2} ( \overline{θ_2}-\dfrac{L_1}{L_2}\overline{θ_1} )=0 \end{cases} ##

On remplace ## \ddot {\overline{θ_1}}## et ## \ddot {\overline{θ_2}}## par leurs expressions:

## \begin{cases} -\omega^2 \overline{θ_1}+\dfrac{g}{L_1}\overline{θ_1}+ \dfrac {K}{m_1} ( \overline{θ_1}-\dfrac{L_2}{L_1} \overline{θ_2} )=0\\ -\omega^2 \overline{θ_2}+\dfrac{g}{L_2} \overline{θ_2}+ \dfrac {K}{m_2} ( \overline{θ_2}-\dfrac{L_1}{L_2}\overline{θ_1} )=0 \end{cases}\implies ##

## \begin{cases} \left(-\omega^2 +\dfrac{g}{L_1}+\dfrac {K}{m_1}\right)\overline{θ_1} -\dfrac {K}{m_1}\dfrac{L_2}{L_1} \overline{θ_2} =0\\ -\dfrac {K}{m_2}\dfrac{L_1}{L_2} \overline{θ_1}+\left(-\omega^2 +\dfrac{g}{L_2}+\dfrac {K}{m_2}\right)\overline{θ_2}=0 \end{cases}\implies ##

## \begin{cases} \left(-\omega^2 +\dfrac{10}{0,4}+\dfrac {5}{0,1}\right)\overline{θ_1} -\dfrac {5}{0,1}\times\dfrac{0,2}{0,4} \overline{θ_2} =0\\ -\dfrac {5}{0,2}\times\dfrac{0,4}{0,2} \overline{θ_1}+\left(-\omega^2 +\dfrac{10}{0,2}+\dfrac {5}{0,2}\right)\overline{θ_2}=0 \end{cases} \implies ##

## \begin{cases} \left(-\omega^2 +75\right)\overline{θ_1} -25 \overline{θ_2} =0\\ -50 \overline{θ_1}+\left(-\omega^2 +75\right)\overline{θ_2}=0 \end{cases} ##

Le système obtenu est algébrique, linéaire et homogène. Il admettra des solutions dont au moins une n'est pas nulle que si et seulement si son déterminant est nul.

##\left(-\omega^2 +75\right)\left(-\omega^2 +75\right)-(-25)(-50)=0 \implies ##

##\left(-\omega^2 +75\right)^2-(\sqrt{1250})^2=0\implies##

## \left(-\omega^2 +75-\sqrt{1250}\right)\left(-\omega^2 +75+\sqrt{1250}\right)=0\implies ##

## \begin{cases} \omega_1^2=75-\sqrt{1250}\\ \omega_2^2=75+\sqrt{1250} \end{cases} \implies ##

## \begin{cases} \omega_1=\sqrt{75-\sqrt{1250}}\\ \omega_2=\sqrt{75+\sqrt{1250}} \end{cases} \implies##

Puisque le déterminant est nul, les deux équations du système algébrique sont équivalentes. On considère alors une des deux équations pour déterminer les rapports d'amplitude C.

## \left(-\omega^2 +75\right)\overline{θ_1} -25 \overline{θ_2} =0\implies ##

## C=\dfrac{\overline{θ_2}}{\overline{θ_1}}=\dfrac{-\omega^2 +75}{25 }\implies ##

## \begin{cases} C_1=\dfrac{-\omega_1^2 +75}{25 }\\ C_2=\dfrac{-\omega_2^2 +75}{25 } \end{cases} \implies ##

## \begin{cases} C_1=\dfrac{-75+\sqrt{1250} +75}{25 }\\ C_2=\dfrac{-75-\sqrt{1250} +75}{25 } \end{cases} \implies ##

## \begin{cases} C_1=+\dfrac{\sqrt{1250} }{25 }\\ C_2=-\dfrac{\sqrt{1250} }{25 } \end{cases} \implies ##

## \begin{cases} C_1=+\sqrt{2}\\ C_2=-\sqrt{2} \end{cases} \implies ##