Vibrations Mécaniques des Systèmes Libres à 2 Degrés de Liberté
Exercice n°4 (7 points) : Couplage élastique d'un cylindre roulant et d'une masse + poulie. Modes de vibration.
Soit le système mécanique représenté sur la figure ci-dessus. Le cylindre homogène de masse `M` et de rayon `R` peut
rouler sans glisser sur un plan incliné d'un angle ##\phi_1## par rapport à l'horizontale. Son centre `O_1` est relié au point `A`
de la poulie de moment d'inertie `I_0` et de rayon `2r,` par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur `K.`
Le point `A` est distant de `r` du centre `O_2` de la poulie. Cette poulie peut tourner autour d'un axe fixe `(\Delta)` passant
par `O_2.` La masse `m` est posée sur un plan parfaitement lisse incliné d'un angle ##\phi_2## par rapport à l'horizontale.
Le fil inextensible fixé sur `m` peut s'enrouler sans glisser sur la poulie. Le ressort de constante de raideur `k` relie `m` à
un bâti fixe. Les déplacements de `O_1` et de `m` sont repérés par `x_1` et `x_2` respectivement.
1- Montrer que le lagrangien du système s'écrit :
##ℒ=\dfrac12 M\left(\dfrac32 \dot x_1^2+\dot x_2^2 \right)
-\dfrac12 K \left(x_1^2+ \dfrac54 x_2^2-x_1 x_2\right)##
dans le cas où ##M=m+\dfrac{I_0}{4r^2}## et ##K=k##
Réponse
Le lagrangien du système:
##
ℒ=E_c-E_p
##
Energie cinétique :
##
E_c=E_{c cylindre}+E_{c poulie}+E_{c m}
##
Le cylindre roule sans glisser, son angle de rotation `\theta_1` est alors relié au
déplacement `x_1` de son centre `0_1` par : ##θ_1=\dfrac{x_1}{R}.##
La vitesse angulaire est donnée par ##\dot θ_1=\dfrac{\dot x_1}{R}.##
##
E_{c cylindre}=\dfrac12 J_{cylindre/O_1 }\dot θ_1^2+\dfrac12 M\dot x_1^2 \implies
##
##
E_{c cylindre}=\dfrac12 \dfrac{MR^2}2 \dfrac{\dot x_1^2}{R^2} +\dfrac12 M\dot x_1^2 \implies
##
##
E_{c cylindre}=\dfrac12 \left(\dfrac32 M\dot x_1^2 \right)
##
La poulie tourne autour de l'axe fixe passant par son centre `O_2` de l'angle `\theta_2`:
##
E_{c poulie}=\dfrac12 I_0\dot θ_2^2
##
Comme le fil est inextensible et s'enroule sur la poulie sans glisser,
le déplacement `x_2` de m est relié à `\theta_2` par :
##
x_2=2rθ_2\implies
##
##
θ_2=\dfrac{x_2}{2r}\implies
##
##
\dot θ_2=\dfrac{\dot x_2}{2r}\implies
##
##
E_{c poulie}=\dfrac12 \dfrac{I_0}{4r^2} \dot x_2^2
##
L'énergie cinétique de `m` :
##
E_{c m}=\dfrac12 m\dot x_2^2
##
##
E_c=\dfrac12 \left(\dfrac32 M\dot x_1^2 \right)
+\dfrac12 \dfrac{J_0}{4r^2} \dot x_2^2+\dfrac12 m\dot x_2^2\implies
##
##
E_c=\dfrac12 \left(\dfrac32 M\dot x_1^2 \right)
+\dfrac12 \left(\dfrac{J_0}{4r^2}+m\right)\dot x_2^2
##
Comme : ##M=m+\dfrac{I_0}{4r^2} \implies##
##
E_c=\dfrac12 \left(\dfrac32 M\dot x_1^2 \right)
+\dfrac12 M\dot x_2^2
\implies
##
##
E_c=\dfrac12 M \left(\dfrac32 \dot x_1^2 +\dot x_2^2\right)
##
Energie potentielle :
##
E_p=E_{e ressort1}+E_{c ressor2}+E_{pg m}++E_{pg M}\implies
##
##
E_p=\dfrac12 K(-x_1+rθ_2+Δℓ_{equ1} )^2+\dfrac12 k(-x_2+Δℓ_{equ2} )^2
+MgΔh_1 +mgΔh_2+constante\implies
##
##
E_p=\dfrac12 K(-x_1+rθ_2+Δℓ_{equ1} )^2+\dfrac12 k(-x_2+Δℓ_{equ2} )^2
+Mgx_1sin(\phi_1) -mgx_2sin(\phi_2)\implies
##
##
E_p=\dfrac12 K\left(-x_1+\dfrac{x_2}2+Δℓ_{equ1} \right)^2+\dfrac12 k(-x_2+Δℓ_{equ2} )^2
+Mgx_1sin(\phi_1) -mgx_2sin(\phi_2)+constante
##
A l'équilibre:
##
\begin{cases}
\left(\dfrac{∂E_p}{∂x_1}\right)_{x_1=x_2=0}=0\\
\left(\dfrac{∂E_p}{∂x_2}\right)_{x_1=x_2=0}=0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
-KΔ{ℓ}_{equ1}+Mg sin(ϕ_1)=0\\
\dfrac12 KΔ{ℓ}_{equ1}-k{Δℓ}_{equ2}-mg sin(ϕ_2)=0
\end{cases}
##
On développe l'expression de `E_p` puis on la simplifie:
##
E_p=\dfrac12 K\left(-x_1+\dfrac{x_2}2\right)^2+ K(-x_1+\dfrac{x_2}2)Δℓ_{equ1}
+ \dfrac12 kx_2^2 -kΔℓ_{equ2} x_2
+Mgx_1sin(\phi_1) -mgx_2sin(\phi_2) +constante\implies
##
##
E_p=\dfrac12 K\left(-x_1+\dfrac{x_2}2\right)^2+ \dfrac12 kx_2^2 + (-KΔℓ_{equ1}+Mgsin(\phi_1))x_1
+(\dfrac{K}2 Δℓ_{equ1}-kΔℓ_{equ2}-mgsin(\phi_2))x_2
+constante\implies
##
##
E_p=\dfrac12 K\left(-x_1+\dfrac{x_2}2\right)^2+ \dfrac12 kx_2^2+constante
##
Comme `K=k`:
##
E_p=\dfrac12 K\left(-x_1+\dfrac{x_2}2\right)^2+ \dfrac12 Kx_2^2 +constante \implies
##
##
E_p=\dfrac12 Kx_1^2+\dfrac12 \dfrac54 Kx_2^2- \dfrac12 Kx_1x_2+constante\implies
##
##
E_p=\dfrac12 K \left(x_1^2+ \dfrac54 x_2^2- x_1x_2 \right)+constante
##
Par conséquent:
##
ℒ=\dfrac12M \left(\dfrac32 \dot x_1^2 +\dot x_2^2\right)
-\dfrac12 K \left(x_1^2+ \dfrac54 x_2^2- x_1x_2 \right)
##
2- Etablir les équations du mouvement en déplacement `x_1`et `x_2.`
Réponse
Pour ce système conservatif, les deux équations de Lagrange s'écrivent :
##
\begin{cases}
\dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot x_1}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂x_1}=0\\
\dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot x_2}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂x_2}=0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\dfrac32 M\ddot x_1+ Kx_1-\dfrac12 K x_2 =0\\
M\ddot x_2+ \dfrac54 Kx_2-\dfrac12 K x_1 =0
\end{cases}
##
3- Déterminer les pulsations propres du système en fonction de ##ω_0=\sqrt{\dfrac{K}{m}}## et le rapport d'amplitude
de chaque mode.
Ecrire les équations horaires `x_1=g_1 (t)` et `x_2=g_2 (t).`
Réponse
##
\begin{cases}
\dfrac32 M\ddot x_1+ Kx_1-\dfrac12 K x_2 =0\\
M\ddot x_1+ \dfrac54 Kx_1-\dfrac12 K x_2 =0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\ddot x_1+\dfrac23 \dfrac KM x_1-\dfrac13 \dfrac KM x_2 =0\\
\ddot x_2+ \dfrac54 \dfrac KM x_2-\dfrac12 \dfrac KM x_1 =0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\ddot x_1+\dfrac23 \omega_0^2 x_1-\dfrac13 \omega_0^2 x_2 =0\\
\ddot x_2+ \dfrac54 \omega_0^2 x_2-\dfrac12 \omega_0^2 x_1 =0
\end{cases}
##
Ce système linéaire et homogène admet des solutions harmonique de pulsation `\omega`:
##
\begin{cases}
x_1=A cos(\omega t +\phi)\\
x_2=B cos(\omega t +\phi)
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\ddot x_1=-A\omega^2 cos(\omega t +\phi)\\
\ddot x_2=-B\omega^2 cos(\omega t +\phi)
\end{cases}
##
On remplace ##x_1,## ##x_2,## ##\ddot x_1,## et ##\ddot x_2,## par leurs expresions dans le système :
##
\begin{cases}
-A\omega^2 cos(\omega t +\phi)+\dfrac23 \omega_0^2 A cos(\omega t +\phi)-\dfrac13 \omega_0^2 B cos(\omega t +\phi) =0\\
-B\omega^2 cos(\omega t +\phi)+ \dfrac54 \omega_0^2 B cos(\omega t +\phi)-\dfrac12 \omega_0^2 A cos(\omega t +\phi) =0
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\left(-A\omega^2 +\dfrac23 \omega_0^2 A -\dfrac13 \omega_0^2 B \right) cos(\omega t +\phi) =0\\
\left(-B\omega^2 + \dfrac54 \omega_0^2 B -\dfrac12 \omega_0^2 A \right)cos(\omega t +\phi) =0
\end{cases}
##
Ces deux équations sont nulles `∀t,` par conséquent :
##
\begin{cases}
\left(-\omega^2 +\dfrac23 \omega_0^2 \right)A -\dfrac13 \omega_0^2 B =0\\
-\dfrac12 \omega_0^2 A +\left(-\omega^2 + \dfrac54 \omega_0^2\right) B =0
\end{cases}
##
Le système obtenu est algébrique, linéaire et homogène.
Il admet des solutions dont au moins une n'est pas nulle que si et seulement si
son déterminant est nul:
##
\left(-\omega^2 +\dfrac23 \omega_0^2 \right)\left(-\omega^2 + \dfrac54 \omega_0^2\right)-\dfrac16 \omega_0^2=0
\implies
##
## \omega^4-\dfrac{23}{12} \omega_0^2\omega^2+\dfrac23 \omega_0^2=0
##
(équation caractéristique)
Les pulsations propres, `\omega_1` et `\omega_2,` sont les racines de l'équation bicarrée précédente :
##
\begin{cases}
\omega_1^2=\dfrac{\dfrac{23}{12}-\sqrt{\left(\dfrac{23}{12}\right)^2-\dfrac83}}{2}\omega_0^2\\
\omega_2^2=\dfrac{\dfrac{23}{12}+\sqrt{\left(\dfrac{23}{12}\right)^2-\dfrac83}}{2}\omega_0^2
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\omega_1^2=0,457 \omega_0^2\\
\omega_2^2=1,46\omega_0^2
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
\omega_1=0,676\omega_0^2\\
\omega_2=1,21\omega_0^2
\end{cases}
##
Pour le calcul des rapports d'amplitude,
on choisit une des deux équations du système algébriques. Ces deux équations sont
équivalentes du fait que le déterminant de ce système est nul.
##
\left(-\omega^2 +\dfrac23 \omega_0^2 \right)A -\dfrac13 \omega_0^2 B =0
\implies
##
##
C=\dfrac BA=\dfrac{\left(-\omega^2 +\dfrac23 \omega_0^2 \right)} {\dfrac13 \omega_0^2}
\implies
##
##
\begin{cases}
mode 1 : C_1=\dfrac {B_1}{A_1}=\dfrac{\left(-0,457 \omega_0^2 +\dfrac23 \omega_0^2 \right)} {\dfrac13 \omega_0^2}\\
mode 2 : C_2=\dfrac {B_2}{A_1}=\dfrac{\left(-1,46 \omega_0^2 +\dfrac23 \omega_0^2 \right)} {\dfrac13 \omega_0^2}
\end{cases}
\implies
##
##
\begin{cases}
C_1=+0,629\\
C_2=-2,38
\end{cases}
##
Les équations horaires :
##
\begin{cases}
x_1(t)=A_1 cos(\omega t+\phi_1)+A_2 cos(\omega t+\phi_2)\\
x_1(t)=0,629A_1 cos(\omega t+\phi_1)-2,38A_2 cos(\omega t+\phi_2)
\end{cases}
##