Vibrations Mécaniques des Systèmes Libres à 2 Degrés de Liberté

Exercice n°5 (8 points) : Couplages inertiel et élastique d'un cylindre roulant et d'un plateau. Modes de vibration.

Image centrée

Un cylindre homogène de masse `M_1,` de centre O et de rayon `R` peut rouler sans glisser au dessus d'un plateau de masse `M_2` qui peut lui-même coulisser sans frottement sur un bâti horizontal. Un ressort de constante de raideur `K_2` relie le plateau à un support fixe et un autre ressort de constante de raideur `K_1` le relie à l'axe du cylindre au centre `O.`
Les déplacements horizontaux de O et du plateau sont repérés par `x_1` et `x_2` respectivement.

1- Déterminer le lagrangien du système.

Réponse
Le lagrangien du système: ## ℒ=E_c-E_p ##

Energie cinétique : ## E_c=E_{c cylindre}+E_{c plateau} ##

Lorsque le cylindre tourne de `\theta` sans glisser, son centre de masse se déplacera par rapport au plateau de `R\theta` et son déplacement total sera égal à :
$$ x_1= R θ + x_2 \implies θ=\dfrac{x_1- x_2}R $$

La vitesse angulaire est donnée par ##\dot θ=\dfrac{\dot x_1- \dot x_2 }R##
## E_{c cylindre}=\dfrac12 I_{(\Delta') }\dot θ^2+\dfrac12 M_1\dot x_1^2 ##
où ##I_{(\Delta')}## est le moment d'inertie du cylindre par à son axe de révolution `(\Delta')`, il est égal à ##\dfrac{M_1R^2}2 ##
## E_{c cylindre}=\dfrac12 \dfrac{M_1R^2}2 \dfrac{(\dot x_1- \dot x_2 )^2}{R^2} +\dfrac12 M_1\dot x_1^2 \implies ## ## E_{c cylindre}=\dfrac12 M_1\dot x_1^2+\dfrac12 \dfrac12 M_1 (\dot x_1- \dot x_2 )^2 ##

Le plateau se déplace en translation:

## E_{c plateau}=\dfrac12 M_2\dot x_2^2 ##

L'expression de `E_c` du système est :

## E_c=\dfrac12 M_1\dot x_1^2+\dfrac12 \dfrac12 M_1 (\dot x_1- \dot x_2 )^2+\dfrac12 M_2\dot x_2^2 ##

Energie potentielle :

## E_p=E_{e ressort1}+E_{p ressor2}\implies ##

## E_p=\dfrac12 K_1(-x_1+x_2+Δℓ_{equ1} )^2+\dfrac12 K_2(-x_2+Δℓ_{equ2} )^2 ##

A l'équilibre: ## \begin{cases} \left(\dfrac{∂E_p}{∂x_1}\right)_{x_1=x_2=0}=0\\ \left(\dfrac{∂E_p}{∂x_2}\right)_{x_1=x_2=0}=0 \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} -K_1Δ{ℓ}_{equ1}=0\\ \dfrac12 K_1Δ{ℓ}_{equ1}-K_2{Δℓ}_{equ2}=0 \end{cases}\implies ##

## Δ{ℓ}_{equ1}={Δℓ}_{equ2}=0 ##

L'expression de `E_p` se simplifie:

## E_p=\dfrac12 K_1(-x_1+x_2 )^2+\dfrac12 K_2x_2^2 ##

Par conséquent:

## ℒ=\dfrac12 M_1\dot x_1^2+\dfrac12 \dfrac12 M_1 (\dot x_1- \dot x_2 )^2+\dfrac12 M_2\dot x_2^2 -\dfrac12 K_1(-x_1+x_2 )^2-\dfrac12 K_2x_2^2 ##

2- Établir les équations du mouvement du système.

Réponse

Pour ce système conservatif, les deux équations de Lagrange s'écrivent :


## \begin{cases} \dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot x_1}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂x_1}=0\\ \dfrac {d}{dt} \left(\dfrac {∂ ℒ}{∂\dot x_2}\right) -\dfrac {∂ℒ}{∂x_2}=0 \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} M_1\ddot x_1+\dfrac{M_1}2 (\ddot x_1-\ddot x_2)+K_1 (x_1-x_2 )=0 \\ M_2\ddot x_2+\dfrac{M_1}2 (\ddot x_2-\ddot x_1)+K_2x_2 +K_1 (x_2-x_1 )=0 \end{cases} ##

3- ##M_1=2kg, M_2=1kg, K_1=30 N/m## et ##K_2=10 N/m.##
  a- Calculer les pulsations propres du système.
  b- Déterminer les équations horaires `x_1 (t)` et `x_2 (t).`

Réponse

Exprimons autremement les équations du mouvement

## \begin{cases} M_1\ddot x_1+\dfrac{M_1}2 (\ddot x_1-\ddot x_2)+K_1 (x_1-x_2 )=0 \\ M_2\ddot x_2+\dfrac{M_1}2 (\ddot x_2-\ddot x_1)+K_2x_2 +K_1 (x_2-x_1 )=0 \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} \dfrac32M_1\ddot x_1-\dfrac{M_1}2 \ddot x_2 +K_1x_1 -K_1x_2 =0 \\ \left(M_2+\dfrac{M_1}2\right)\ddot x_2-\dfrac{M_1}2\ddot x_1+(K_1+K_2)x_2 -K_1x_1 =0 \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} \ddot x_1-\dfrac{1}3 \ddot x_2 +\dfrac23\dfrac{K_1}{M_1}x_1 -\dfrac23\dfrac{K_1}{M_1}x_2 =0 \\ \ddot x_2-\dfrac{M_1}{M_1+2M_2}\ddot x_1+2\dfrac{K_1+K_2}{M_1+2M_2}x_2 -2\dfrac{K_1}{M_1+2M_2}x_1 =0 \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} \ddot x_1-\dfrac{1}3 \ddot x_2 +\dfrac23\dfrac{30}{2}x_1 -\dfrac23\dfrac{30}{2}x_2 =0 \\ \ddot x_2-\dfrac{2}{2+2\times 1}\ddot x_1+2\dfrac{30+10}{2+2\times 1}x_2 -2\dfrac{30}{2+2\times 1}x_1 =0 \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} \ddot x_1-\dfrac{1}{3} \ddot x_2 +10x_1 -10x_2 =0 \\ \ddot x_2-\dfrac{1}{2}\ddot x_1+20x_2 -15x_1 =0 \end{cases} ##


a) Pulsations propres :

Ce système linéaire et homogène admet des solutions harmonique de pulsation `\omega`:

## \begin{cases} x_1=A cos(\omega t +\phi)\\ x_2=B cos(\omega t +\phi) \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} \ddot x_1=-A\omega^2 cos(\omega t +\phi)\\ \ddot x_2=-B\omega^2 cos(\omega t +\phi) \end{cases} ##

On remplace ##x_1,## ##x_2,## ##\ddot x_1,## et ##\ddot x_2,## par leurs expresions dans le système :

## \begin{cases} \left(-A\omega^2 +\dfrac{1}{3} B\omega^2 +10A -10B\right)cos(\omega t +\phi)=0 \\ \left(-B\omega^2+\dfrac{1}{2}A\omega^2+20B -15A\right)cos(\omega t +\phi) =0 \end{cases} ##

Ces deux équations sont nulles `∀t,` par conséquent :

## \begin{cases} (10-\omega^2)A +(-10+\dfrac{1}{3}\omega^2)B =0 \\ (-15+\dfrac{1}{2}\omega^2)A+(20-\omega^2)B =0 \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} (30-3\omega^2)A +(-30+\omega^2)B =0 \\ (-30+\omega^2)A+(40-2\omega^2)B =0 \end{cases} ##

Le système obtenu est algébrique, linéaire et homogène. Il admet des solutions dont au plus une est nulle que si et seulement si son déterminant est nul:

## (30-3\omega^2)(40-2\omega^2) -(-30+\omega^2)^2 =0 ##
## \omega^4-24\omega^2+60=0 ## (équation caractéristique)

Les pulsations propres, `\omega_1` et `\omega_2,` sont les racines de l'équation bicarrée précédente :

## \begin{cases} \omega_1=\sqrt{12-\sqrt{12^2-60}}\\ \omega_2=\sqrt{12+\sqrt{12^2-60}} \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} \omega_1=1,68rd/s & \mbox{(mode 1)}\\ \omega_2=4,60 rd/s & \mbox{(mode 2)} \end{cases} ##


b) Equations horaires :

On détermine le rapport d'amplitude de chaque mode. on choisit une des deux équations du système algébriques. Ces deux équations sont équivalentes du fait que le déterminant de ce système est nul.

## (30-3\omega^2)A +(-30+\omega^2)B =0 \implies ##
## C=\dfrac BA=\dfrac{30-3\omega^2} {-30+\omega^2} \implies ##
## \begin{cases} C_1=\dfrac {B_1}{A_1}=\dfrac{30-3\times 1,68^2 } {-30+1,68^2}=-0,792 \\ C_2=\dfrac {B_1}{A_1}=\dfrac{30-3\times 4,60^2} {-30+4,60^2}=+3,79 \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} C_1=-0,792 & \mbox{(mode 1)}\\ C_2=+3,79 & \mbox{(mode 2)} \end{cases} ##


## \begin{cases} x_1(t)=A_1 cos(1,68 t+\phi_1)+A_2 cos(4,60 t+\phi_2)\\ x_1(t)=-0,792A_1 cos(1,68 t+\phi_1)+3,79A_2 cos(4,60 t+\phi_2) \end{cases} ##