Vibrations Mécaniques des Systèmes Libres à 1 Degré de Liberté

Exercice n°1 (5 points) : Moteur posé sur des joints antivibratoires.

Le déplacement vertical ` y(t)` pseudopériodique d'un moteur électrique de masse ` m = 5 kg,` monté sur des joints fixés sur un sol horizontal, est représenté sur la figure ci-contre. Les joints sont équivalents à un assemblage de ressort de constante de raideur ` k` et d'un amortisseur de coefficient de frottement visqueux ##\alpha ,## placés en parallèle.

Image centrée

1/ Représenter le schéma équivalent du système mécanique moteur et joints.

Réponse

ccc

2/ Donner l'équation du mouvement de ce système en fonction de ` y`.

Réponse

##m\ddot y +\alpha \dot y+k y=0 \implies##

## \ddot y +2δ\dot y+ ω_0^2 y=0## où ##δ=\dfrac \alpha {2m}## et ##ω_0=\sqrt{\dfrac km}##

3/ En s'aidant du graphe, en déduire les valeurs du déplacement initial ` y_0`, de la pseudopériode `T_a`, du décrément logarithmique ` D`, du coefficient d'amortissement `δ`, de la pulsation propre `ω_0`, de la constante de raideur `k` et du coefficient de frottement visqueux `\alpha `.

Réponse

ccc

D'après le graphe :
Déplacement initial :

`y_0=8 mm `

Pseudo-période :
`T_a` est la durée de temps séparant deux maximums ou deux minimums consécutifs `\implies`

##T_a=0,2 s##

## \implies ω_a=\dfrac{2π}{T_a} = \dfrac{2π}{0,2}\implies##

##ω_a=31,4 rd/s##

Décrément logarithmique : ##D=\dfrac {1}{n} Ln\left(\dfrac{y(t)}{y(t+nT_a)}\right)##

On choisit ##t=0 s## et ##n=1\implies## ##D=\dfrac {1}{n} Ln\left(\dfrac{y(0)}{y(T_a)}\right)\implies## ##D=Ln\left(\dfrac 8{4}\right)\implies## ##D=Ln(2) \implies##

## D=0,693##

Pulsation propre :
On a : ##\begin{cases} ω_a^2=ω_0^2 -δ^2 \\ D=δT_a \end{cases} \implies## ## ω_0^2=\left(\dfrac{2π}{T_a}\right)^2-\left(\dfrac{D}{T_a}\right)^2\implies## ## ω_0=\dfrac{\sqrt{4π^2+D^2}}{T_a}\implies## ## ## ##ω_0=\dfrac{\sqrt{4π^2+\left(Ln\left(2\right)\right)^2}}{0,2}\implies##

## ω_0=31,6 rd/s##

Constante de raideur :
## ω_0=\sqrt{\dfrac {k}{m} }\implies## ## k=mω_0^2\implies## ## k=5\times(31,6)^2\implies##

## k=4,99 kN/m.##

Coefficient de frottement visqueux :
## δ=\dfrac\alpha {2m} \implies## ## \alpha =2δm=\dfrac {2Dm}{T_a} \implies## ## \alpha =\dfrac{2\times Ln\left(\dfrac{8}4\right)\times5}{0,2} \implies##

## \alpha =34,7 kg/s ##

4/ Exprimer ` y(t)` en fonction du temps ` t` sachant qu'à `t=0s` la courbe présente une tangente horizontale.

Réponse

`y(t)=Ae^(-δt) cos(ω_a t-ϕ)`

Conditions initiales :

## \begin{cases} y(0)=y_0 \\ tangente\ horizontale\ à \ t=0 s⇒ y ̇(0)=0 m/s \end{cases} \implies## ## \begin{cases} A cos(ϕ)=y_0 \\ -δA cos(ϕ)+ω_a A sin(ϕ) =0 \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} A cos(ϕ)=y_0 \\ A sin(ϕ) =\dfracδ{ω_a} y_0 \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} (A cos(ϕ) )^2+(A sin(ϕ) )^2=y_0^2+\left(\dfracδ{ω_a} y_0 \right)^2 \\ ϕ =arccos\left(\dfrac{y_0}A\right) et sin(ϕ)>0 \end{cases} \implies ## ##\begin{cases} A^2=y_0^2+\left(\dfracδ{ω_a} y_0 \right)^2 \\ ϕ =arccos\left(\dfrac{y_0}A\right) et sin(ϕ)>0 \end{cases} \implies## ## \begin{cases} A=y_0 \sqrt{1+\left(\dfrac{δ}{ω_a }\right)^2 } \\ ϕ =arccos\left(\dfrac{y_0}A\right) et sin(ϕ)>0 \end{cases} \implies## ## \begin{cases} A=y_0 \sqrt{1+\left(\dfrac{δ}{ω_a }\right)^2 } \\ ϕ =arccos\left(\left(1+\left(\dfrac{δ}{ω_a }\right)^2\right)^{-\dfrac{1}{2}} \right) et sin(ϕ)>0 \end{cases} ##

## y(t)= y_0 \sqrt{1+\left(\dfrac{δ}{ω_a}\right)^2 } e^{-δt} cos\left(ω_a t- arccos\left(\left(1+\left(\dfrac{δ}{ω_a }\right)^2\right)^{-\dfrac{1}{2}} \right)\right)\implies##

##\\ y(t)= y_0 \sqrt{1+\left(\dfrac{δT_a}{2π}\right)^2 } e^{-δt} cos\left(2π\dfrac{t}{T_a}- arccos\left(\left(1+\left(\dfrac{δT_a}{2π}\right)^2\right)^{-\dfrac{1}{2}}\right) \right)\implies##

## y(t)= 8 \times10^{-3} \sqrt{1+\left(\dfrac{3,47\times 0,2}{2π}\right)^2 } e^{-3,47t} cos\left(2π\dfrac{t}{0,2}- arccos\left(\left(1+\left(\dfrac{3,47\times 0,2}{2π}\right)^2 \right)^{-\dfrac{1}{2}} \right)\right)\implies##

$$ y(t)= 8,05 \times10^{-3} e^{-3,47t} cos(10 π t-0,11) $$