Vibrations Mécaniques des Systèmes Libres à 1 Degré de Liberté

Exercice n°2 (5 points) : Pendule composé.

Image centrée

Un pendule constitué d'une tige de masse négligeable, portant à ses deux extrémités deux masses `m_1` et `m_2,` peut tourner dans le plan vertical autour d'un axe horizontal ##(Δ)## fixe passant par le point `O` de la tige. Ces deux masses, `m_1` et `m_2,` sont distantes de `O` de ##{ℓ}_1## et ##{ℓ}_2## respectivement. La masse `m_1` est reliée au bâti `B_1` par un ressort de constante de raideur `K` et la masse `m_2` à un bâti `B_2` par un amortisseur de coefficient de frottement visqueux `\alpha` (voir la figure ci-dessus). A l'équilibre, la tige est verticale.

1/ Déterminer le lagrangien `ℒ` et la fonction de dissipation ##𝒟## du système en fonction de l'angle de rotation `θ` dans le cas des mouvements de faible amplitude. En déduire l'équation du mouvement. Préciser l'expression de la pulsation propre `ω_0` et du coefficient d'amortissement `δ` du système.

Réponse

Image centrée

Les coordonnées cartésiennes et la vitesse de la masse `m_1` :

## \begin{cases} x_1=-{ℓ}_1sin(θ) \\ y_1={ℓ}_1cos(θ) \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \dot{x}_1=-{ℓ}_1 \dotθ cos(θ) \\ \dot{y}_2=-{ℓ}_1\dotθ sin(θ) \end{cases} \implies v_1^2=\dot{x}_1+\dot{y}_1={ℓ}_1^2 \dot{θ}^2 ##


et de la masse `m_2`:
## \begin{cases} x_2={ℓ}_2sin(θ)\\ y_2=-{ℓ}_2cos(θ) \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \dot{x}_1={ℓ}_2 \dotθ cos(θ)\\ \dot{y}_2={ℓ}_2\dotθ sin(θ) \end{cases} \implies v_2^2=\dot{x}_2+\dot{y}_2={ℓ}_2^2 \dot{θ}^2 ##


Energie cinétique :
## E_c=E_{c1}+E_{c2}=\dfrac12 m_1 v_1^2+\dfrac12 m_2 v_2^2=\dfrac12 m_1{ℓ}_1^2 \dot{θ}^2+\dfrac12 m_2{ℓ}_2^2 \dot{θ}^2\implies## ## E_c=\dfrac12 (m_1{ℓ}_1^2 +m_2{ℓ}_2^2 )\dot{θ}^2 ##


Energie potentielle :
Comme θ est petit, le déplacement du ressort est supposé pratiquement horizontal,
## E_P=\dfrac12 K(-x_2+Δ {ℓ}_equ )^2+m_1 gy_1-m_2 gy_2 \implies## ## E_P= \dfrac12 K(- {ℓ}_2 sin(θ)+Δ {ℓ}_equ)^2+m_1 g{ℓ}_1 cos(θ)-m_2 g{ℓ}_2 cos(θ)##

A l'équilibre:
## \left(\dfrac{∂E_P}{∂θ}\right)_{(θ=0)}=0\implies Δ {ℓ}_equ=0 \implies## ## E_P= \dfrac12 K({ℓ}_2 sin(θ))^2+m_1 g{ℓ}_1 cos(θ)-m_2 g{ℓ}_2 cos(θ) ##

On peut encore faire les approximations suivantes : `sin(θ)=θ` et `cos(θ)=1-\dfrac{θ^2}{2}`
## E_P= \dfrac12 K {ℓ}_2^2 θ^2+ \dfrac 12 m_1 g{ℓ}_1 θ^2-m_2 g{ℓ}_2 θ^2+ constante\implies##
## E_P= \dfrac12 (K {ℓ}_2^2 + \dfrac 12 m_1 g{ℓ}_1 θ^2-m_2 g{ℓ}_2 ) θ^2+ constante ##


Lagrangien :
## ℒ=E_c-E_P\implies##
## ℒ=\dfrac12 (m_1 {ℓ}_1^2+m_2 {ℓ}_2^2 ) θ ̇^2-\dfrac12 (K {ℓ}_2^2+m_2 g-m_1 g {ℓ}_1 ) θ^2 ##


Fonction de dissipation :
## 𝒟=\dfrac12 \alpha v_1^2 \implies## ## 𝒟=\dfrac12 \alpha ( {ℓ}_1 \dotθ )^2 \implies##
## 𝒟=\dfrac12 \alpha {ℓ}_1^2 \dotθ^2 ##


Equation du mouvement :
## \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{∂ ℒ}{∂\dotθ}\right) -\dfrac{∂ℒ} {∂θ}=-\dfrac{∂{𝒟}} {∂\dotθ}\implies## ## (m_1{ℓ}_1^2 +m_2{ℓ}_2^2 )\ddot{θ}+(K {ℓ}_2^2+m_2 g{ℓ}_2-m_1 g {ℓ}_1 ) θ=-\alpha {ℓ}_1^2 \dotθ\implies##
## (m_1{ℓ}_1^2 +m_2{ℓ}_2^2 )\ddot{θ}+\alpha {ℓ}_1^2 \dotθ+(K {ℓ}_2^2+m_2 g{ℓ}_2-m_1 g {ℓ}_1 ) θ=0 ##

On divise l'équation par le coefficient de ##\ddot{θ}##:
## \ddot{θ}+\dfrac{\alpha {ℓ}_1^2}{m_1{ℓ}_1^2 +m_2{ℓ}_2^2 } \dotθ+\dfrac{K {ℓ}_2^2+m_2 g{ℓ}_2-m_1 g {ℓ}_1 }{m_1{ℓ}_1^2 +m_2{ℓ}_2^2 } θ=0\implies##
## \ddot{θ}+2\dfrac{\alpha {ℓ}_1^2}{2(m_1{ℓ}_1^2 +m_2{ℓ}_2^2) } \dotθ+\dfrac{K {ℓ}_2^2+m_2 g{ℓ}_2-m_1 g {ℓ}_1 }{m_1{ℓ}_1^2 +m_2{ℓ}_2^2 } θ=0 ##


Pulsation propre:
$$ ω_0=\sqrt{\dfrac{K {ℓ}_2^2+m_2 g{ℓ}_2-m_1 g {ℓ}_1 }{(m_1{ℓ}_1^2 +m_2{ℓ}_2^2 )}} \ \ si \ \ K {ℓ}_2^2+m_2 g{ℓ}_2-m_1 g {ℓ}_1>0 $$

Coefficient d'amortissement:
$$ δ=\dfrac{\alpha {ℓ}_1^2}{2(m_1{ℓ}_1^2 +m_2{ℓ}_2^2) } $$

Par la suite on prendra `ℓ_2=2ℓ_1=ℓ` et ` m_2=2m_1=2m.`
On donne : `m=1 kg,K=3500 N//m`, `ℓ= 50 cm ` et ` g=10 m//s^2.`

2/ Déterminer la valeur de `\alpha ` pour que la nature du mouvement soit apériodique critique et écrire l'équation horaire `θ=g(t)` dans ce cas précis,sachant que le pendule est écarté de sa position d'équilibre d'un angle petit ` θ = 5° ` puis abandonné sans vitesse initiale.

Réponse

Exprimons tout d'abord `ω_0` et `δ` en fonction de m et ##ℓ## :

## ω_0=\sqrt{\dfrac{4K {ℓ}^2+4m g{ℓ}-mg{ℓ} }{m{ℓ}^2 +8m{ℓ}^2 }}= \sqrt{\dfrac{4}{9}\dfrac{K}{m} +\dfrac{1}{3}\dfrac{g}{ℓ}} ## et ## δ=\dfrac{\alpha {ℓ}^2}{2(m{ℓ} ^2+8m{ℓ} ^2 )} =\dfrac{\alpha }{18m} ##

Le régime est apériodique critique si `δ=ω_0`.
## \dfrac{\alpha _c}{18m}=\sqrt{\dfrac{4}{9}\dfrac{K}{m} +\dfrac{1}{3}\dfrac{g}{ℓ}}\implies## ## \alpha _c=6m \sqrt{4\dfrac Km+3\dfrac g{ℓ} }\implies## ##\alpha _c=6\times1\times\sqrt{4\times\dfrac {3500}1+3\times\dfrac {10}{0,5}}\implies##
##\alpha _c=711 kg/s ##

Equation horaire :
Calculons la valeur de `ω_0` :
##ω_0=\sqrt{\dfrac{4}{9}\dfrac{K}{m} +\dfrac{1}{3}\dfrac{g}{ℓ}}\implies## ##ω_0=\sqrt{\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3500}{1} +\dfrac{1}{3}\times\dfrac{10}{0,5}}\implies## ## ω_0=39,5 rd/s##

##θ(t)=(A+Bt) e^{(-ω_0 t)}\implies## ## θ(t)= (A+Bt) e^{(-39,5t)}##

Conditions initiales :
## \begin{cases} θ(0)=5 \dfrac{π}{180} rd\\ \dotθ(0)=0 rd/s \end{cases} \implies## ## \begin{cases} A=5 \dfrac{π}{180}\\ -39,5A+B=0 \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} A=5 \dfrac{π}{180}=0,0873rd \\ B=39,5\times 5 \dfrac{π}{180}=3,45rd/s \end{cases} \implies##
## θ=(0,0873+3,45 t) e^{(-39,5t)}  { \text{ (θ en rd et t en s) } } ##

3/ Pour ##\alpha=13,4 kg/s##, justifier que le mouvement du pendule est pseudopériodique. Calculer sa pseudopériode `T_a`. Au bout de combien d'oscillations, l'amplitude initiale est atténuée de `30%` ?

Réponse

Comme ##\alpha=13,4 kg//s## et ##\alpha_c=711 kg/s \implies ##
##\alpha \lt \alpha_c\implies## le mouvement est pseudopériodique.

Pseudopériode : ## T_a=\dfrac{2π}{ω_a} =\dfrac{2π}{\sqrt{ω_0^2-δ^2 }}=\dfrac{2π}{\sqrt{ω_0^2-\left( \dfrac{\alpha}{18m}\right )^2 }}\implies## ## T_a=\dfrac{2π}{\sqrt{39,5^2-\left(\dfrac{13,4}{18\times1}\right)^2 }}\implies ##
##T_a=0,159 s ##

On utilise le décrément logarithmique pour calculer le nombre d'oscillations n :
## D=δT_a=\dfrac1n Ln\left(\dfrac{θ(0)}{θ(nT_a)}\right)\implies n=\dfrac1{δT_a}Ln\left(\dfrac{θ(0)}{θ(nT_a)}\right) ## or ##θ(0)-θ(nT_a )=0,3θ(0)\implies## ## θ(nT_a )=0,7θ(0)##

Par conséquent: ##n=\dfrac1{13,4\times0,159}Ln\left(\dfrac{1}{0,7}\right) \implies##
## n=3##