Vibrations Mécaniques des Systèmes Libres à 1 Degré de Liberté
Exercice n°3 (5 points) : Disque oscillant autour d'un axe fixe.
Le disque circulaire homogène, de moment d'inertie `I_0` et de rayon `R,` représenté sur la figure ci-dessus, peut osciller sans frottement autour de son axe de révolution horizontal fixe (Δ) passant par `O.` La masse `m` est fixée à la jante de ce disque. Le ressort vertical, de constante de raideur `K` a une extrémité fixe et l'autre reliée au disque au point `A` situé à une distance `R` de `O.` Au point `B` de ce disque, diamétralement opposé au point `A,` est fixé un amortisseur vertical de coefficient de frottement visqueux `\alpha .` La seconde extrémité de cet amortisseur est fixe. En position d'équilibre la masse `m` se trouve en position basse et le point `A` est au même niveau que le centre `O.`
1/ Établir, en utilisant la méthode de Lagrange, l'équation du mouvement en fonction de l'angle de rotation du disque θ
supposé faible et repéré par rapport à la verticale. Préciser les expressions des caractéristiques de cet oscillateur.
Réponse
On dote le systéme d'un repère cartésien fixe `(O,x,y)`.
Les coordonnées cartésiennes et la vitesse du point `A` :
du point `B`:
et de la masse `m` :
Energie cinétique :
Lorsque l'axe de rotation (∆) passant par le centre de masse `O`, est fixe, on calcule l'énergie cinétique du disque à partir de la formule suivante :
## E_{cM}=\dfrac1{2} J_{/(∆)} Ω^2 ##
où Ω est la vitesse angulaire de la tige autour de cet axe fixe (∆) passant par le centre de masse `O`, elle est égale à `\dot θ,` `J_(//(∆)` est le moment d'inertie par rapport à cet axe (∆), égal à `I_O` :
## E_{cM}=\dfrac1{2} I_0 \dotθ ̇^2 ##
L'énergie de la masse ponctuelle est égale à :
## E_cm=\dfrac1{2} mv_m^2=\dfrac1{2} mR^2 \dot{θ}^2 ##
L'énergie cinétique `E_c` du système est égale à la somme des deux énergies cinétiques `E_{cM}` et `E_{cm}` :
## E_c=E_{cM}+E_{cm}\implies## ## E_c=\dfrac1{2} I_0 \dot{θ} ̇^2̇^+\dfrac1{2} mv_m^2\implies## ##E_c= \dfrac1{2} I_0 \dot{θ} ̇^2+\dfrac1{2} mR^2 \dot{θ} ̇^2=\dfrac1{2} (I_0+mR^2)\dot{θ} ̇^2 ##
Energie potentielle :
L'énergie potentielle `E_p` du système est égale à la somme des deux énergies potentielles élastique du ressort `E_{pr}` et de gravitation `E_{pg}` de `m.`
##E_p=E_{pr}+E_{pg} ##
Comme θ est petit, le déplacement du point `A` du ressort est supposé vertical et égal à `y_A`.
## E_p=\dfrac1{2} K(y_A+Δ ℓ_{equ} )^2+mgy_m= \dfrac1{2} K(-R sin(θ)+Δ ℓ_{equ} )^2-mgRcos(θ) ##
A l' équilibre :
## {\left(\dfrac{∂E_P}{∂θ}\right)}_{(θ=0)}=0\implies ## ##Δ {ℓ}_{equ}=0 \implies ## ##E_p=\dfrac1{2} KR^2 sin^2 (θ)-mgR cos(θ) ##
Pour les angles petits, on peut encore faire les approximations suivantes :
##{sin(θ)=θ} ## et ## {cos(θ)=1-\dfrac{θ^2}{2}} ##
## E_p=\dfrac1{2} (KR^2+mgR) θ^2+constante ##
Lagrangien :
## ℒ=E_c-E_p\implies## ## ℒ=\dfrac1{2} (I_0+mR^2)\dot{θ} ̇^2-\dfrac1{2}(KR^2+mgR)θ^2 ##
Fonction de dissipation :
## 𝒟=\dfrac1{2}\alpha v_B^2\implies## ## 𝒟=\dfrac1{2} \alpha R^2 \dot{θ} ^2 ##
Equation du mouvement :
Caractéristiques de l'oscillateur :
Pulsation propre:
et
coefficient d'amortissement:
2/ Le mouvement observé est oscillatoire amorti. Donner l'expression de θ(t) en fonction du temps t et des caractéristiques de l'oscillateur.
Réponse
3/ Calculer la valeur de `K,` dans le cas où la pseudopériode des oscillations amorties
mesurée est égale à `1 s.`
On donne : `I_0=0,02kg.m^2, m = 0,1kg, R = 20 cm, g = 10 m//s^2` et `\alpha = 6 kg//s.`
Réponse