Vibrations Mécaniques des Systèmes Libres à 1 Degré de Liberté

Exercice n°4 (5 points) : Tige pivotante autour d'un axe fixe.

Image centrée

Le système de la figure ci-dessus est constitué d'une tige rectiligne `AD,` homogène, de masse `M = 10 kg` et de longueur `L = 2 m.` Cette tige peut tourner sans frottement, dans le plan vertical, autour d'un axe horizontal (Δ) fixe distant de `L/4` du point `C` milieu de la tige. Les extrémités `A` et `D` sont reliées au bâti fixe `B_2` par deux amortisseurs identiques de coefficient de frottement visqueux \alpha . Le point `C` est relié au bâti `B_1` fixe par un ressort de constante de raideur `K.` A l'équilibre, la tige est horizontale.
Lorsque la tige est écartée de sa position d'équilibre d'un angle `θ_0` petit puis lâchée sans vitesse initiale, elle prend un mouvement oscillatoire amorti de pseudo-période `T_a=0,6 s.` On constate qu'au bout de 4 pseudo-périodes, l'amplitude initiale des oscillations est divisée par `10.`

1/ Etablir l'équation du mouvement du système en fonction de l'angle de rotation θ et préciser les expressions du coefficient d'amortissement δ et de la pulsation propre `ω_0.`

Réponse

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On dote le systéme d'un repère cartésien fixe `(O,x,y)`.
Les coordonnées cartésiennes et la vitesse du point `A` :

## \begin{cases} x_A=-OAcos(θ) \\ y_A=-OAsin(θ) \end{cases} \implies## ## \begin{cases} x_A=-\dfrac{3L}{4}cos(θ) \\ y_A=-\dfrac{3L}{4}sin(θ) \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \dot{x}_A=\dfrac{3L}{4} \dotθ sin(θ) \\ \dot{y}_A=-\dfrac{3L}{4}\dotθ cos(θ) \end{cases} \implies## ## v_A^2=\dot{x}_A^2+\dot{y}_A^2=\dfrac{9}{16}L^2 \dot{θ}^2 ##


du point `C`:
## \begin{cases} x_C=-OCcos(θ) \\ \\ y_C=-OCsin(θ) \end{cases} \implies## ## \begin{cases} x_C=-\dfrac{L}{4}cos(θ) \\ \\ y_C=-\dfrac{L}{4}sin(θ) \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \dot{x}_C=\dfrac{L}{4} \dotθ sin(θ) \\ \\ \dot{y}_C=-\dfrac{L}{4}\dotθ cos(θ) \end{cases} \implies## ## v_C^2=\dot{x}_C^2+\dot{y}_C^2=\dfrac{1}{16}L^2 \dot{θ}^2 ##


du point `D`:
## \begin{cases} x_D=ODcos(θ) \\ \\ y_D=ODsin(θ) \end{cases} \implies## ## \begin{cases} x_D=\dfrac{L}{4}cos(θ) \\ \\ y_D=\dfrac{L}{4}sin(θ) \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \dot{x}_D=-\dfrac{L}{4} \dotθ sin(θ) \\ \\ \dot{y}_D=\dfrac{L}{4}\dotθ cos(θ) \end{cases} \implies## ## v_D^2=\dot{x}_D^2+\dot{y}_D^2=\dfrac{1}{16}L^2 \dot{θ}^2 ##


Energie cinétique :
Lorsque l'axe de rotation (∆) est fixe, on calcule l'énergie cinétique à partir de la formule suivante :
## E_c=\dfrac{1}{2} J_{/(∆)} Ω^2 ##
où `Ω` est la vitesse angulaire de la tige autour de cet axe fixe `(∆),` elle est égale à ##\dotθ##, `J_{/(∆)}` est le moment d'inertie par rapport à cet axe `(∆),` on utilise le théorème de Huygens pour le calculer :
## J_{/(∆)}=J_{/{(Δ^\prime)}}+Md^2 ##
où `J_{/(Δ^\prime)}` est l'axe passant par le centre de masse `C` de la tige et parallèle à l'axe de rotation `(Δ)`, `d` la distance entre ces deux axes, égale à ##\dfrac L4,## et `M` la masse de la tige. L'axe `(Δ^\prime)` est perpendiculaire à la tige homogène au point `C,` centre de masse et milieu de la tige, c'est donc un axe principal. Par conséquent, `J_{(Δ^\prime)}` est un moment principal de la tige, il est égal à :
## J_{/{(Δ^\prime)}}=\dfrac{1}{12}ML^2\\##
## E_c=\dfrac{1}{2} J_{/(∆)} Ω^2\implies## ##E_c= \dfrac{1}{2} \left(J_{/{(Δ^\prime)}}+Md^2\right) \dotθ^2\implies## ## E_c=\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{12}ML^2+M\left(\dfrac{L}{4}\right)^2\right) \dotθ^2\implies## ## E_c=\dfrac12 \left(\dfrac7{48} ML^2 \right)\dotθ^2 ##


Energie potentielle :
L'énergie potentielle `E_p` du système est égale à la somme des deux énergies potentielles élastique du ressort`E_{pr}` et de gravitation `E_{pg}` de `m`:
##E_p=E_{pr}+E_{pg} ##
Comme θ est petit, le déplacement du ressort est supposé pratiquement vertical :
## E_p=\dfrac1{2} K\left(y_C+Δ {ℓ}_{equ} \right)^2+mgy_C\implies## ## E_p=\dfrac1{2} K\left(-\dfrac{L}{4}sin(θ)+Δ {ℓ}_{equ} \right)^2-mg\dfrac{L}{4}sin(θ) ##

A l' équilibre :
## {\left(\dfrac{∂E_P}{∂θ}\right)}_{(θ=0)}=0\implies## ##Δ {ℓ}_{equ}=\dfrac{mg}K##
L'expression de `E_p`se simplifie:
## E_p=\dfrac1{2} K\left(-mg\dfrac{L}{4}sin(θ) +\dfrac{mg}K\right)^2-mg\dfrac{L}{4}sin(θ) \implies## ## E_p=\dfrac1{2} K\dfrac{L^2}{16}sin^2(θ) ##

Pour les angles petits, on peut encore faire l'approximation suivante:##sin(θ)=θ##
## E_p=\dfrac1{2} K\dfrac{L^2}{16}θ^2 ##

Lagrangien :
## ℒ=E_c-E_p\implies## ## ℒ=\dfrac12 \left(\dfrac7{48} ML^2 \right)\dotθ^2-\dfrac1{2} K\dfrac{L^2}{16}θ^2 ##


Fonction de dissipation :
## 𝒟=\dfrac1{2}\alpha v_A^2+\dfrac1{2}\alpha v_D^2\implies## ## 𝒟=\dfrac1{2} \alpha \left(\dfrac{9}{16}L^2 \dot{θ}^2\right)+\dfrac1{2} \alpha \left(\dfrac{1}{16}L^2 \dot{θ}^2\right)\implies## ## 𝒟=\dfrac1{2}\dfrac{5}{8} \alpha L^2 \dot{θ}^2 ##


Equation du mouvement :
## \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{∂{ℒ}} {∂\dotθ}\right)-\dfrac{∂{ℒ}} {∂θ}= -\dfrac{∂{𝒟}} {∂\dotθ} \implies## ## \dfrac7{48} ML^2\ddotθ+K\dfrac{L^2}{16}θ=-\dfrac{5}{8} \alpha L^2 \dotθ \implies##
## \ddotθ+ 2\dfrac{15\alpha }{7M} \dotθ+\dfrac{3K}{7M } θ=0 ##


Caractéristiques de l'oscillateur :
Pulsation propre:
## ω_0=\sqrt{\dfrac{3K}{7M }} ##


et coefficient d' amortissement:
## δ=\dfrac{15\alpha }{7M} ##

2/ En déduire les valeurs de `\alpha ` et `K.`

Réponse

Décrément logarithmique :
## \begin{cases} D=\dfrac1n Ln\left(\dfrac{θ(t)}{θ(t+nT_a)}\right) \\ t=0 s,  n=4  et  θ(4T_a)=0,1θ(0) \end{cases} \implies## ## D=\dfrac14 Ln\left(\dfrac{θ(0)}{θ(4T_a)}\right)\implies## ## D=\dfrac14 Ln\left(\dfrac{1}{0,1}\right)\implies## ##D=\dfrac14 Ln(10) ##

Le coefficient de frottement visqueux:

## \begin{cases} δ=\dfrac{D}{T_a} \\ δ=\dfrac{15\alpha }{7M} \end{cases} \implies## ##\dfrac{15\alpha }{7M}= \dfrac{D}{T_a} \implies## ## \alpha =\dfrac{7MD}{15T_a}\implies## ## \alpha \dfrac{7\times10\times\dfrac14 Ln(10)}{15\times0,6}\implies##
##\alpha=4,48 kg/s ##

Constante de raideur :
## ω_a^2=ω_0^2-δ^2 \implies## ## ω_0^2=ω_a^2+δ^2 \implies## ## \dfrac{3K}{7M }= \left(\dfrac{2π}{T_a}\right)^2 +\left(\dfrac{D}{T_a}\right)^2 \implies## ## K=\dfrac{7M}{3}\dfrac{4π^2+D^2}{T_a^2}\implies## ## K=\dfrac{7\times10}{3}\dfrac{4\timesπ^2+\left(\dfrac{Ln(10)}{4}\right)^2}{0,6^2}\implies##
##K=2580N/m ##

3/ Calculer le coefficient de frottement visqueux qui permettra à la tige de revenir le plus rapidement à l'équilibre (régime critique).

Réponse

En régime critique:

## δ=ω_0\implies## ##\dfrac{15\alpha }{7M}=\sqrt{\dfrac{3K}{7M }}\implies## ##\alpha =\dfrac{\sqrt{21KM}}{15}\implies## ## \alpha =\dfrac{\sqrt{21\times2580\times10}}{15}\implies##
##\alpha=49,1kg/s ##