Vibrations Mécaniques des Systèmes Libres à 1 Degré de Liberté
Exercice n°5 : Cylindre roulant à l'intérieur d'un tuyau (5 points) :
Un cylindre homogène de masse `m` et de rayon `r` roule sans
glisser sur la surface interne d'un tuyau cylindrique
de rayon `R.` On repérera la position de ce cylindre par
l'abscisse curviligne `s` de son centre de gravité `G,`
mesurée à partir de la position d'équilibre.
1/ Déterminer le lagrangien du système, `ℒ`.
Réponse
On repère le centre de masse `G` du cylindre dans le repère fixe `(O,x,y,z)` par l'angle `θ` compté à partir de
`(Oy)` et contenu dans le plan Oxy. L'axe `(Oz)` est perpendiculaire au plan de figure.
On considère le repère barycentrique `(G,X,Y,Z)` relatif au repère fixe. Les trois axes de ce repère barycentrique
sont parallèles à ceux du repère fixe, `(GX)` à `(Ox),` `(GY)` à `(Oy)` et `(GZ)` à `(Oz).`
L'axe instantané de rotation `(∆),` génératrice du cylindre au contact de la surface interne du tuyau, est parallèle à l'axe
barycentrique `(GZ)` axe de révolution du cylindre. La distance orthogonale entre ces deux axes, `(∆)` et `(GZ),` est égale
au rayon du cylindre, r. Pour un observateur lié au référentiel barycentrique, le centre de masse G et l'axe `(GZ)` sont fixes
et tous les points du cylindre subissent la même rotation autour de l'axe `(GZ).`
Soit `M` un point de la périphérie du cylindre contenu dans le plan `GXY`. On repère ce point `M` dans le repère barycentrique
`(G,X,Y,Z),` par l'angle de rotation `φ` compté à partir de l'axe `(GY).`
On considère un deuxième point A de la périphérie du cylindre contenu dans le plan `GXY` et différent de `M` ;
l'angle ##(\overrightarrow{GM},\overrightarrow{GA})## est noté par `ψ.` La relation existante entre ces 3 angles `φ,` `θ` et `ψ` est (voir figure):
$$
φ=θ-ψ
$$
Le cylindre lorsqu'il roule sur la surface
interne du grand cylindre, son centre de
masse `G` se déplace sur un arc de cercle de
rayon égal à `R-r`. L'abscisse curviligne `s`
est égale à l'arc de cercle :
$$
s=(R-r)θ\implies θ=\dfrac{s}{R-r}
$$
Comme le cylindre roule sans glisser sur la surface interne
du tuyau, l'arc ##{\overset{ \huge\frown}{AM}}_{cylindre}## est égal à l'arc
##{\overset{ \huge\frown}{AM}}_{tuyau}##. Cette égalité permet de déterminer la relation entre `ψ` et `s` :
##
{\overset{ \huge\frown}{AM}}_{cylindre}={\overset{ \huge\frown}{AM}}_{tuyau}\implies##
##
rψ=Rθ\implies##
## ψ=\dfrac{R}{r} θ\implies##
## ψ=\dfrac{R}{r(R-r)}s
##
Ainsi, on peut exprimer l'angle de rotation `φ` en fonction de `s` :
##
φ=θ-ψ\implies## ## φ=\dfrac{s}{R-r}-\dfrac{R}{r(R-r)}s\implies ## ##φ=-\dfrac{s}{r}
##
et par conséquent la vitesse angulaire ##\dotφ## autour de l'axe `GZ` en fonction
de la vitesse linéaire ##\dot{s}## du centre de masse `G` :
$$
\dotφ= -\dfrac{\dot{s}}{r}
$$
Pour un solide de masse `m`, en rotation autour de l'axe `(GZ)`, son énergie cinétique
`E_c` peut être déterminée par la formule suivante (Kœnig) :
où `v_G` est la vitesse linéaire du centre de masse `G` définie dans le repère fixe `(O,x,y,z)`, elle égale à ##\dot{s}##, `Ω` vitesse angulaire autour de l'axe de `(GZ)`, elle est égale à ##\dotφ## et `I_{/(GZ)}` moment d'inertie par rapport à l'axe `(GZ)`, axe de révolution du cylindre, c'est un axe principal, `I_{/(GZ)}` est égal à `frac{1}{2} mr^2`.
##E_c=\dfrac12 \dfrac{mr^2}{2} \dotφ ̇^2+\dfrac12 m\dot{s}^2\implies## ##E_c=\dfrac12 \dfrac{mr^2}{2} \left(\dfrac{-\dot{s}} {r}\right)^2+ \dfrac12 m\dot{s}̇^2\implies## ##E_c=\dfrac12 \dfrac32 m\dot{s}̇^2##
Energie potentielle :
Il n'y a que l'énergie potentielle de gravitation à considérer, elle est égale à :
##E_p=E_{pg}\implies## ##E_p=-mg ̅y_G\implies## ##E_p=-m(-g)(-(R-r) cos(θ) )\implies## ##E_p=-mg(R-r) cos\left(\dfrac{s}{R-r}\right)##
Lagrangien :
2/ Etablir l'équation du mouvement de ce cylindre.
Réponse
Equation du mouvement : Pour les systèmes conservatifs, l'équation de Lagrange se réduit à :
3/ Dans le cas des mouvements de faible amplitude, déterminer la pulsation propre du système `ω_0` puis exprimer s en fonction du temps t.
Réponse
Pour les faibles amplitudes, `θ` est petit donc ##\dfrac{s}{R-r}## aussi. On peut approximer ##sin(\dfrac{s}{R-r})## à :
$$
sin\left(\dfrac{s}{R-r}\right)=\dfrac{s}{R-r}
$$
l'équation du mouvement s'écrit alors:
$$
\ddot{s}+\dfrac{2}{3}\dfrac{g}{R-r}s=0
$$
Pulsation propre:
La solution de cette équation différentielle est harmonique de pulsation propre `ω_0` :