Résumé des TP des Systèmes à 2 degrés de Liberté:
Circuit électrique symétrique de deux oscillateurs RLC série identiques, à faible amortissement et couplés par un condensateur de capacité `C_0`
- Générateur Basses Fréquences de tension à vide `e(t)` ` (V)` de fréquence `f` `(Hz) `.
- `R` : résistance `(Ω)` .
- `L` : inductance des selfs (bobines) `(H)`
- `C_0`, `C` : capacités des condensateurs `(F)`
- `v_{C0} (t)` , `v_{C1} (t)` et `v_{C2} (t)` : tensions instantanées aux bornes des condensateurs `(V)`
- `q_0 (t)` , `q_1 (t)` et `q_2 (t)` : charges instantanées emmagasinées dans les condensateurs `(C)`
- `i_0 (t)`, `i_1 (t)` et `i_2 (t)` : courants électriques instantanés circulant dans les branches du circuit électrique `(A)`
Relations entre charges, courants et tensions électriques
-
Courant-charge :
##i_0 (t)=\dfrac{dq_0 (t)}{dt} , i_1 (t)=\dfrac{dq_1 (t)}{dt}, i_2 (t)=\dfrac{dq_2 (t)}{dt}## ou ##q_0 (t)=\int{i_0 (t)dt} ,q_1 (t)=\int{i_1 (t)dt} , q_2(t)=\int{i_2 (t)dt} ##
-
Tension-charge :
##v_{C0} (t)=\dfrac{q_0 (t)}{C_0} , v_{C1} (t)=\dfrac{q_1 (t)}{C} , v_{C2} (t)=\dfrac{q_2 (t)}{C} ## ou ## q_{0}(t)=C_0v_{C0}(t) , q_{1}(t)=Cv_{C1}(t) , q_{2}(t)=Cv_{C2}(t)##
-
Courant-tension :
##i_0 (t)=C_0 \dfrac{dv_{C0}(t)} {dt} , i_1 (t)=C \dfrac{dv_{C1}(t)} {dt} , i_2 (t)=C \dfrac{dv_{C2}(t)} {dt} , ## ou ##v_{C0}(t)=\dfrac{1}{C_0}\int{i_0(t)dt} , v_{C1}(t)=\dfrac{1}{C}\int{i_1(t)dt} , v_{C2}(t)=\dfrac{1}{C}\int{i_2(t)dt}##
Coefficient de couplage `K`
Par définition:
## K=\dfrac{C}{C+C_0}\implies## ## 0≤{K}≤{1}##
Les valeurs extrèmes correspondent à :
- ##K=0 : C_0=\infty## (court-circuit)
- `K=1 : C_0 = 0 ` (circuit ouvert)
## K=\dfrac{C}{C+C_0} \implies## ## K=\dfrac{\dfrac{C}{C_0}}{1+\dfrac{C}{C_0}}\implies## ## K({1+\dfrac{C}{C_0}})=\dfrac{C}{C_0}\implies## ## K+K\dfrac{C}{C_0}=\dfrac{C}{C_0}\implies## ## K=\dfrac{C}{C_0}-K\dfrac{C}{C_0}\implies K=\dfrac{C}{C_0}(1-K)\implies##
##\dfrac{C}{C_0}=\dfrac{K}{1-K}##
Equations différentielles en tension
Afficher/Cacher l'établissement des équations différentielles en tension
##\begin {cases} L \dfrac{di_1}{dt}+R i_1+\dfrac{1}{C} \int{i_1 dt}+
\dfrac{1}{C_0} \int{i_0 dt}=e(t)\\ L \dfrac{di_2}{dt}+R
i_2+\dfrac{1}{C} \int{i_2 dt}+ \dfrac{1}{C_0} \int{i_0 dt}= 0 \\
i_0=i_2-i_1 \end {cases} \implies##
## \begin {cases} L \dfrac{di_1}{dt}+R
i_1+\dfrac{1}{C} \int{i_1 dt}+ \dfrac{1}{C_0} \int{(i_1-i_2)
dt}=e(t)\\ L \dfrac{di_2}{dt}+R i_2+\dfrac{1}{C} \int{i_2 dt}+
\dfrac{1}{C_0} \int{(i_2-i_1) dt}= 0 \end {cases} ##
En utilisant
les relations tension-courant ## \left(i=C \dfrac{dv_{C}}
{dt}\right)## et la relation ##\dfrac{C}{C_0}=\dfrac{K}{1-K}## , on
exprime les équations différentielles en tension.
##\begin {cases}
LC\ddot{v}_{C1} +RC\dot{v}_{C1} + v_{C1}+ \dfrac{K}{1-K}
(v_{C1}-v_{C2}) =e(t)\\ LC\ddot{v}_{C2} +RC\dot{v}_{C2} + v_{C2}+
\dfrac{K}{1-K} (v_{C2}-v_{C1}) = 0 \\ \end {cases} \implies## ## \begin
{cases} \ddot{v}_{C1} +2\dfrac{R}{2L}\dot{v}_{C1} +\dfrac{1}{LC}
v_{C1}+ \dfrac{K}{1-K} (v_{C1}-v_{C2}) = \dfrac{1}{LC}e(t))\\
\ddot{v}_{C2} +2\dfrac{R}{2L}\dot{v}_{C2} +\dfrac{1}{LC} v_{C2}+
\dfrac{K}{1-K} (v_{C2}-v_{C1}) = 0 \\ \end {cases} \implies ##
## \begin {cases} \ddot{v}_{C1} +2δ\dot{v}_{C1} +ω_0^2 v_{C1}+
\dfrac{K}{1-K}ω_0^2 (v_{C1}-v_{C2}) = ω_0^2 e(t)\\
\ddot{v}_{C2} +2δ\dot{v}_{C2} +ω_0^2 v_{C2}+ \dfrac{K}{1-K}ω_0^2
(v_{C2}-v_{C1}) = 0 \\ \end {cases} ## où
##δ=\dfrac{R}{2L} , ω_0^2=\dfrac{1}{LC} et
K=\dfrac{C}{C+C_0}##
Ces deux équation différentielles sont couplées, du fait de la présence de `v_{C1}` et `v_{C2}` dans chaque équation.
Régime transitoire
Tension carrée d'amplitude `e_0` et de fréquence `f`
## e(t)= \begin{cases} +e_0 0≤ t≤\dfrac{T}{2}\\ -e_0
\dfrac{T}{2}≤ t≤T \end{cases} ## où
`T (=\frac{1}{f})` est la période.
Modes propres
Equations differentielles découplées
Additionnons et retranchons les deux équations différentielles en tension de la rubrique précédente "Equations différentielles :
## \begin {cases} \ddot{v}_{C1} +2δ\dot{v}_{C1} +ω_0^2 v_{C1}+
\dfrac{K}{1-K}ω_0^2 (v_{C1}-v_{C2}) =± ω_0^2 e_0\\
\ddot{v}_{C2} +2δ\dot{v}_{C2} +ω_0^2 v_{C2}+ \dfrac{K}{1-K}ω_0^2
(v_{C2}-v_{C1}) = 0 \end {cases}
\implies##
##
\begin {cases} (\ddot{v}_{C1}+\ddot{v}_{C2})
+2δ(\dot{v}_{C1}+\dot{v}_{C2}) +ω_0^2 ({v}_{C1}+{v}_{C2})=±
ω_0^2 e_0\\ (\ddot{v}_{C1}-\ddot{v}_{C2})
+2δ(\ddot{v}_{C1}-\ddot{v}_{C2}) +\dfrac{1+K}{1-K}
ω_0^2(v_{C1}-v_{C2}) = ± ω_0^2 e_0 \end {cases} ##
Posons
## \begin{cases}
v_1=v_{C1}+v_{C2}\\
v_2=v_{C1}-v_{C2}
\end{cases}##
##\implies##
## \begin {cases} \ddot{v}_1 +2δ\dot{v}_1 +ω_0^2 {v}_1=±
ω_0^2 e_0\\ \ddot{v}_2 +2δ\dot{v}_2 +\dfrac{1+K}{1-K}
ω_0^2v_2= ± ω_0^2 e_0 \end {cases} ##
Ce changement de variables a permis de découpler les deux équations
différentielles. Ces deux variables `v_1` et `v_2` sont les tensions
propres des deux modes propres de ce circuit électrique.
Expression et graphe de la tension propre `v_1(t)` et paramètres mesurables
##\ddot{v}_1 +2δ\dot{v}_1 +ω_0^2 {v}_1=± ω_0^2 e_0 \implies ##
##{v}_1(t)= Ae^{-δt} cos(\sqrt{ω_0^2-δ^2} t+φ_1 )± e_0##
`v_1` une ocsillation électrique amortie de coefficient
d'amortissement `δ`, pseudopériodique de pseudo-pulsation
`ω_{a1}=\sqrt{ω_0^2-δ^2}` et de pulsation propre `\Omega_{1}=ω_0`,
oscillant autour d'une tension moyenne `e_1=± e_0`.
Dans le cas des très faibles amortissements `(δ≪ω_0) `, on peut confondre la pseudo-pulsation `ω_{a1}` à la pusation propre `\Omega_{1}`:
$$ ω_{a1}=\sqrt{ω_0^2-δ^2}\implies ω_{a1}≅ω_0\implies ω_{a1}≅\Omega_1 $$ Par conséquent:
## {v}_1≅ Ae^{-δt} cos\left( \Omega_{1}t+φ_1 \right)± e_0##
Expression et graphe de la tension propre `v_2(t)` et paramètres mesurables
##\ddot{v}_2 +2δ\dot{v}_2 +\dfrac{1+K}{1-K} ω_0^2v_2= ±
ω_0^2 e_0 \implies##
##{v}_2(t)= Be^{-δt} cos(\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}ω_0^2-δ^2}
t+φ_2 ) ± \dfrac{1-K}{1+K}e_0##
`v_2` une ocsillation électrique amortie de coefficient
d'amortissement `δ`, pseudopériodique de pseudo-pulsation
##ω_{a2}=\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}ω_0^2-δ^2}## et de pulsation propre
##\Omega_{2}=\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}ω_0##, oscillant autour d'une
tension moyenne ##e_2=± \dfrac{1-K}{1+K}e_0##.
Dans le cas des très faibles amortissements `(δ≪ω_0) ` et de couplage faible `(K≪1) `, on peut confondre la pseudo-pulsation `ω_{a2}` à la pusation propre `\Omega_{2}`.
## ω_{a2}=\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}ω_0^2-δ^2}\implies## ##
ω_{a2}≅\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}ω_0 \implies ω_{a2}≅\Omega_{2}. ## Par
conséquent:
## {v}_2= Be^{-δt} cos\left(\Omega_{2}t+φ_2 \right) ±
\dfrac{1-K}{1+K}e_0##
Variation des pulsations propres en fonction de K
On suppose que seule la capacité `C_0` est variable et les autres paramètres constants.##Ω_1=\dfrac{1}{LC}\implies Ω_1## est indépendante de K.
##\Omega_{2}=\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}\dfrac{1}{LC}\implies Ω_2## est une fonction de K.
## F_2^2=\dfrac{1}{4\pi^2}\Omega_2^2\implies
F_2^2=\dfrac{1}{4\pi^2}\dfrac{1+K}{1-K}\dfrac{1}{LC}\implies## ##
F_2^2=\dfrac{1}{4\pi^2}\dfrac{1+\dfrac{C}{C+C_0}}{1-\dfrac{C}{C+C_0}}\dfrac{1}{LC}\implies## ##
F_2^2=\dfrac{1}{4\pi^2}\dfrac{1}{LC}\dfrac{2C+C_0}{C_0}\implies## ##
F_2^2=\dfrac{1}{4\pi^2}\dfrac{1}{LC}(\dfrac{2C}{C_0}+1)\implies ##
Le graphe de la fonction
Remarquons que : ##A=\dfrac{A+B}{2}+\dfrac{A-B}{2} ## et ## B=\dfrac{A+B}{2}-\dfrac{A-B}{2}##.
Chacune des deux tensions, `v_{C1}` et `v_{C2}`, est une superposition de 2 vibrations harmoniques de pulsation ##\Omega_0## ## \left(=\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2}\right) ## modulées par des fonctions pseudopériodiques de pseudo-pulsation ##\Omega_M ## ##\left(=\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2}\right) ## et de coefficient d'amortissement `\delta`.
##e_{v_{C0}}##, la valeur moyenne de ##v_{C0}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période, mesurable sur le graphe de ##v_{C0}(t) ## visualisé sur l'écran de l'oscilloscope
##e_{v_{C1} }##, la valeur moyenne de ##v_{C1}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période , mesurable sur le graphe de ##v_{C1}(t)## visualisé sur l'écran de l'oscilloscope
##e_{v_{C2} }##, la valeur moyenne de ##v_{C2}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période , mesurable sur le graphe de ##v_{C2}(t)## visualisé sur l'écran de l'oscilloscope
##e_{v_{C1}+v_{C2} }##, la valeur moyenne de ##v_{C1}(t)+v_{C2}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période, mesurable sur le graphe de ##v_{C1}(t)+v_{C2}(t)## visualisé sur l'écran de l'oscilloscope
##e_{v_{C1}-v_{C2}}##, la valeur moyenne de ##v_{C1}(t)-v_{C2}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période, ne peut être mesurée directement sur oscilloscope. Elle peut être calculée des valeurs moyennes ##e_{v_{C1} }## et ##e_{v_{C2} }## ##(e_{v_{C1}-v_{C2}}=e_{v_{C1} }-e_{v_{C2} })##
Remplaçons les deux condensateurs en parallèle `C_0 ` et `C` par un seul condensateur équivalent de capacité : ##C//C0=C_0+C ##
`\bar{v}_{C1}=\bar{V}_{C1} e^{jωt}` et `\bar{v}_{C2}=\bar{V}_{C2} e^{jωt}`
Le système d'équations différentielles s'écrit alors :
Exprimons `\bar{v}_{C1}` et `\bar{v}_{C2}` en utilisant ces formes polaires:
Posons: ##\phi_1=\psi_n-\psi_{d1}-\psi_{d2}## et ##\phi_2=-\psi_{d1}-\psi_{d2}## et déterminons les expressions réelles de ces ceux tensions :
##F_2^2=\dfrac{1}{2\pi^{2}L}\dfrac{1}{C_0}+\dfrac{1}{4\pi^{2}LC}
##
Le graphe de la fonction
##F_2^2=g\left(\dfrac{1}{C_0}\right)##
est une droite de pente positive,
##a=\dfrac{1}{2\pi^2L} ##
, et d'ordonnée à l'origine positive,
##b= \dfrac{1}{4\pi^2LC}##
Battement
Conditions pour observer les battements
Pour observer les battements, il faut d'une part exciter les deux modes et d'autre part avoir un couplage faible (K≪1).Expressions des tensions `v_{C1}(t)` et `v_{C2} (t)`
Afficher/Cacher l'établissement des expressions
Déterminons les expressions des deux tensions `v_{C1}(t)` et `v_{C2} (t)` à partir des tensions propres `v_1(t)` et `v_2(t)` établies dans la rubrique "modes propres de vibration":
$$ \begin
{cases} v_{C1}+v_{C2}≅ Ae^{-δt} cos(\Omega_1 t+φ_1 )± e_0\\
v_{C1}-v_{C2}≅ Be^{-δt} cos(\Omega_2 t+φ_2 ) ±
\dfrac{1-K}{1+K}e_0 \end {cases} $$
Divisons par 2 ces deux dernières
équations puis additionnons les et retranchons les :
$$ \begin
{cases} v_{C1}≅ \dfrac{A}{2}e^{-δt} cos(\Omega_1 t+φ_1 )+
\dfrac{B}{2}e^{-δt} cos(\Omega_2 t+φ_2 ) ±
\dfrac{1}{1+K}e_0\\ v_{C2}≅\dfrac{A}{2}e^{-δt} cos(\Omega_1
t+φ_1 ) -\dfrac{B}{2}e^{-δt} cos(\Omega_2 t+φ_2 ) ±
\dfrac{K}{1+K}e_0\\ \end {cases} \implies $$
Transformons ce
système afin de faire apparaitre les pulsations d'oscillations et
de battements.Remarquons que : ##A=\dfrac{A+B}{2}+\dfrac{A-B}{2} ## et ## B=\dfrac{A+B}{2}-\dfrac{A-B}{2}##.
$$ \begin {cases} v_{C1}≅ \dfrac{e^{-δt}}{2}
\left(\left(\dfrac{A+B}{2}+\dfrac{A-B}{2}\right)cos\left(\Omega_1
t+φ_1 \right)+
\left(\dfrac{A+B}{2}-\dfrac{A-B}{2}\right)cos\left(\Omega_2
t+φ_2 \right)\right) ± \dfrac{1}{1+K}e_0\\
v_{C2}≅\dfrac{e^{-δt}}{2}
\left(\left(\dfrac{A+B}{2}+\dfrac{A-B}{2}\right) cos\left(\Omega_1
t+φ_1 \right) -\left(\dfrac{A+B}{2}-\dfrac{A-B}{2}\right)
cos\left(\Omega_2 t+φ_2 \right)\right) ± \dfrac{K}{1+K}e_0\\
\end {cases}
$$
$$ \begin {cases}
v_{C1}≅ \dfrac{e^{-δt}}{2}
\left( \dfrac{A+B}{2}\left( cos\left(\Omega_1 t+φ_1
\right)+ cos\left(\Omega_2 t+φ_2 \right)\right)
+\dfrac{A-B}{2}\left( cos\left(\Omega_1 t+φ_1 \right)-
cos\left(\Omega_2 t+φ_2 \right)\right)\right) ±
\dfrac{1}{1+K}e_0\\ v_{C2}≅\dfrac{e^{-δt}}{2} \left(
\dfrac{A+B}{2}\left( cos\left(\Omega_1 t+φ_1 \right)-
cos\left(\Omega_2 t+φ_2 \right)\right) +\dfrac{A-B}{2}\left(
cos\left(\Omega_1 t+φ_1 \right)+ cos\left(\Omega_2
t+φ_2 \right)\right)\right) ± \dfrac{K}{1+K}e_0 \end{cases}
$$
Comme ##cos(a+π)=-cos(a)##.
$$ \begin {cases} v_{C1}≅ \dfrac{e^{-δt}}{2} \left(
\dfrac{A+B}{2}\left( cos\left(\Omega_1 t+φ_1 \right)+
cos\left(\Omega_2 t+φ_2 \right)\right) +\dfrac{A-B}{2}\left(
cos\left(\Omega_1 t+φ_1 \right)- cos\left(\Omega_2
t+φ_2 +\pi\right)\right)\right) ± \dfrac{1}{1+K}e_0\\
v_{C2}≅\dfrac{e^{-δt}}{2} \left( \dfrac{A+B}{2}\left(
cos\left(\Omega_1 t+φ_1 \right)+ cos\left(\Omega_2
t+φ_2 +\pi\right)\right) +\dfrac{A-B}{2}\left(
cos\left(\Omega_1 t+φ_1 \right)+ cos\left(\Omega_2
t+φ_2 \right)\right)\right) ± \dfrac{K}{1+K}e_0 \end
{cases}
$$
De plus : ##cos(a)+cos(b)= 2
cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)= 2
cos\left(\dfrac{b-a}{2}\right)cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)##
$$
\begin {cases} v_{C1}≅ \dfrac{e^{-δt}}{2} \left( \left(A+B\right)
cos\left(\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_2 - φ_1
}{2}\right) cos\left(\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_1 +
φ_2 }{2}\right) +\left(A-B\right)
cos\left(\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_2 -φ_1
}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right) cos\left(\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2}
t+ \dfrac{φ_2 +φ_1 }{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)\right) ±
\dfrac{1}{1+K}e_0\\ v_{C2}≅\dfrac{e^{-δt}}{2} \left(
\left(A+B\right) cos\left(\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} t+
\dfrac{φ_2 -φ_1 }{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)
cos\left(\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_2 +φ_1
}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right) +\left(A-B\right)
cos\left(\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_2 - φ_1
}{2}\right) cos\left(\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_1 +
φ_2 }{2}\right) \right) ± \dfrac{K}{1+K}e_0 \end{cases}
$$
$$
\begin {cases} v_{C1}≅ \dfrac{A+B}{2}e^{-δt}
cos\left(\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_2 - φ_1
}{2}\right) cos\left(\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_2 +
φ_1 }{2}\right) +\dfrac{A-B}{2}e^{-δt}
cos\left(\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_2 -φ_1
}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right) cos\left(\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2}
t+ \dfrac{φ_2 +φ_1 }{2}+\dfrac{\pi}{2}\right) ±
\dfrac{1}{1+K}e_0\\ v_{C2}≅\dfrac{A+B}{2}e^{-δt}
cos\left(\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} t+ \dfrac{φ_2 -φ_1
}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right) cos\left(\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2}
t+ \dfrac{φ_2 +φ_1 }{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)
+\dfrac{A-B}{2}e^{-δt} cos\left(\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} t+
\dfrac{φ_2 - φ_1 }{2}\right) cos\left(\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2}
t+ \dfrac{φ_2 + φ_1 }{2}\right) ± \dfrac{K}{1+K}e_0 \end{cases}
$$
$$ \begin{cases} v_{C1}≅ E_1e^{-δt} cos\left(\Omega_M
t+\psi_2\right) cos\left(\Omega_0 t+\psi_1\right)
+E_2e^{-δt}cos\left(\Omega_M t+\psi_2+\dfrac{\pi}{2}\right)
cos\left(\Omega_0 t+\psi_1+\dfrac{\pi}{2}\right) ±
\dfrac{1}{1+K}e_0\\ v_{C2}≅E_1e^{-δt}cos\left(\Omega_M
t+\psi_2+\dfrac{\pi}{2}\right) cos\left(\Omega_0
t+\psi_1+\dfrac{\pi}{2}\right) +E_2e^{-δt}cos\left(\Omega_M
t+\psi_2\right) cos\left(\Omega_0 t+\psi_1\right)±
\dfrac{K}{1+K}e_0 \end{cases} $$
où ##E_1=\dfrac{A+B}{2}## ,
##E_2=\dfrac{A-B}{2}## , ##\psi_1=\dfrac{φ_2 + φ_1 }{2}## ,
##\psi_2=\dfrac{φ_2 - φ_1 }{2}## ,
##\Omega_M=\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} ## ,
##\Omega_0=\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2} ##
comme ##K\lt\lt {1}##
## \begin{cases} \Omega_1=\omega_0\\ \Omega_2=\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}\omega_0 \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} \Omega_1=\omega\\ \Omega_2≅\sqrt{(1+K)(1+K)}\omega_0=\omega_0 \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \Omega_1=\omega\\ \Omega_2≅(1+K)\omega_0 \end{cases} ##
et
## \begin{cases} \Omega_0=\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2}\\ \Omega_M=\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \Omega_0≅\dfrac{({1+K})\omega_0+\omega_0}{2}\\ \Omega_M≅\dfrac{({1+K})\omega_0-\omega_0}{2} \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \Omega_0≅\omega_0\\ \Omega_M=\dfrac{K}{2}\omega_0 \end{cases} \implies ## ##\Omega_M\lt\lt {\Omega_0}##
## \begin{cases} \Omega_1=\omega_0\\ \Omega_2=\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}\omega_0 \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} \Omega_1=\omega\\ \Omega_2≅\sqrt{(1+K)(1+K)}\omega_0=\omega_0 \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \Omega_1=\omega\\ \Omega_2≅(1+K)\omega_0 \end{cases} ##
et
## \begin{cases} \Omega_0=\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2}\\ \Omega_M=\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2} \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \Omega_0≅\dfrac{({1+K})\omega_0+\omega_0}{2}\\ \Omega_M≅\dfrac{({1+K})\omega_0-\omega_0}{2} \end{cases} \implies## ## \begin{cases} \Omega_0≅\omega_0\\ \Omega_M=\dfrac{K}{2}\omega_0 \end{cases} \implies ## ##\Omega_M\lt\lt {\Omega_0}##
Chacune des deux tensions, `v_{C1}` et `v_{C2}`, est une superposition de 2 vibrations harmoniques de pulsation ##\Omega_0## ## \left(=\dfrac{\Omega_2+\Omega_1}{2}\right) ## modulées par des fonctions pseudopériodiques de pseudo-pulsation ##\Omega_M ## ##\left(=\dfrac{\Omega_2-\Omega_1}{2}\right) ## et de coefficient d'amortissement `\delta`.
Graphe de `v_{C1} (t)` et paramètres mesurables
-
Mesure de `T_M` :
Les expressions théoriques de tension des deux envellopes , en fonction du temps, qui ont permis de tracer les courbes en traits discontinus rouges et verts, peuvent être déterminées à partir de l'expression de `v_{c1}(t)`. En effet, dans le cas des amortissemsents et couplage faibles, on a `A≅B`, `v_{c1}(t)` peut être approximée à:
##v_{C1}≅ E_1e^{-δt} cos\left(\Omega_M t+\psi_2\right) cos\left(\Omega_0 t+\psi_1\right)+ \dfrac{1}{1+K}e_0 ##Les expressions recherchées sont obtenues en posant ##cos\left(\Omega_0 t+\psi_1\right)=±1##
## \begin{cases} v_{rouge}≅ +E_1e^{-δt} cos\left(\Omega_M t+\psi_2\right)+ \dfrac{1}{1+K}e_0\\ v_{vert}≅ -E_1e^{-δt} cos\left(\Omega_M t+\psi_2\right)+ \dfrac{1}{1+K}e_0 \end{cases} ##Ces deux envellopes ont une pseudopériode égale à `T_M (=\frac{2\pi}{\Omega_M})`. Dans le cas pratique, elles ne sont pas visualisées sur l'écran de l'oscilloscope, il faut les imaginer en longeant les pics de `v_{C1}`. Ce tracé virtuel permet de déterminer leurs points d'intersection avec la droite en traits discontiues, valeur moyenne de `v_{C1}``(=frac{1}{1+K}e_0)` sur cette première demi-période . Deux points consécutifs délimitent un fuseau de durée égale à ## T_B=\dfrac{T_M}{2}##, appelée période de battement.
Dans la seconde demi-pèriode,on a représenté le cas pratique et déterminé les points d'intersection tout en imaginant les deux envellopes. -
Mesure de `T_0`
La durée entre deux maximums ou minimums consécutifs d'un même fuseau est égale à `T_0`. Dans le cas pratique, on mesure la durée `\Delta t` entre `n+1` maximums ou minimuns consécutifs d'un même fuseau puis on détermine `T_0`:
$$ \Delta t=n T_0\implies T_0=\dfrac{\Delta t}{n} $$ Sur le graphe, on a choisi 9 minimums d'un même fuseau :
$$ \Delta t=8 T_0\implies T_0=\dfrac{\Delta t}{8} $$
Graphe de ` v_{C2} (t)` et paramètres mesurables
-
Mesure de `T_M` :
Les expressions théoriques de tension des deux envellopes , en fonction du temps, qui ont permis de tracer les courbes en traits discontinus rouges et verts, peuvent être déterminées à partir de l'expression de `v_{c1}(t)`. En effet, dans le cas des amortissemsents et couplage faibles, on a `A≅B`, `v_{c1}(t)` peut être approximée à:
$$ v_{C2}≅E_1e^{-δt}cos\left(\Omega_M t+\psi_2+\dfrac{\pi}{2}\right) cos\left(\Omega_0 t+\psi_1+\dfrac{\pi}{2}\right)+ \dfrac{K}{1+K}e_0 $$Les expressions recherchées sont obtenues en posant ##cos\left(\Omega_0 t+\psi_1+\dfrac{\pi}{2}\right)=±1##$$ \begin{cases} v_{rouge}≅ +E_1e^{-δt} cos\left(\Omega_M t+\psi_2+\dfrac{\pi}{2}\right)+ \dfrac{K}{1+K}e_0\\ v_{vert}≅ -E_1e^{-δt} cos\left(\Omega_M t+\psi_2+\dfrac{\pi}{2}\right)+ \dfrac{K}{1+K}e_0 \end{cases} $$Ces deux envellopes ont une pseudopériode égale à `T_M (=\frac{2\pi}{\Omega_M})`. Dans le cas pratique, elles ne sont pas visualisées sur l'écran de l'oscilloscope, il faut les imaginer en longeant les pics de `v_{C2}`. Ce tracé virtuel permet de déterminer leurs points d'intersection avec la droite en traits discontiues, valeur moyenne de `v_{C2}``(=frac{K}{1+K}e_0)` sur cette première demi-période . Deux points consécutifs délimitent un fuseau de durée égale à ## T_B=\dfrac{T_M}{2}##, appelée période de battement.
Dans la seconde demi-pèriode, on a représenté le cas pratique et déterminé les points d'intersection tout en imaginant les deux envellopes. -
Mesure de `T_0`
La durée entre deux maximums ou minimums consécutifs d'un même fuseau est égale à `T_0`. Dans le cas pratique, on mesure la durée `\Delta t` entre `n+1` maximums ou minimuns consécutifs d'un même fuseau puis on détermine `T_0`:
$$ \Delta t=n T_0\implies T_0=\dfrac{\Delta t}{n} $$ Sur le graphe, on a choisi 9 minimums d'un même fuseau :
$$ \Delta t=8 T_0\implies T_0=\dfrac{\Delta t}{8} $$
Méthode rapide pour la détermination des expressions théoriques des tensions moyennes des différents condensateurs
Les condensateurs sont complétement chargés et les différents courants sont nuls. Dans ce cas on peut remplacer les résistances et les selfs par des fils conducteurs de résistance nulle.
##e_{v_{C0}}##, la valeur moyenne de ##v_{C0}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période, mesurable sur le graphe de ##v_{C0}(t) ## visualisé sur l'écran de l'oscilloscope
##e_{v_{C1} }##, la valeur moyenne de ##v_{C1}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période , mesurable sur le graphe de ##v_{C1}(t)## visualisé sur l'écran de l'oscilloscope
##e_{v_{C2} }##, la valeur moyenne de ##v_{C2}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période , mesurable sur le graphe de ##v_{C2}(t)## visualisé sur l'écran de l'oscilloscope
##e_{v_{C1}+v_{C2} }##, la valeur moyenne de ##v_{C1}(t)+v_{C2}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période, mesurable sur le graphe de ##v_{C1}(t)+v_{C2}(t)## visualisé sur l'écran de l'oscilloscope
##e_{v_{C1}-v_{C2}}##, la valeur moyenne de ##v_{C1}(t)-v_{C2}(t)## sur la `1^{ière}` demi-période, ne peut être mesurée directement sur oscilloscope. Elle peut être calculée des valeurs moyennes ##e_{v_{C1} }## et ##e_{v_{C2} }## ##(e_{v_{C1}-v_{C2}}=e_{v_{C1} }-e_{v_{C2} })##
D'après le schéma du circuit électrique, on a :
## \begin{cases} e_{v_{C1} }+e_{v_{C2} }=±e_0\\ e_{v_{C0}
}=e_{v_{C2} } \end{cases} ##
##\implies##
## \begin{cases} e_{v_{C1} +v_{C2} }=±e_0\\ e_{v_{C0} }=e_{v_{C2} }
\end{cases} ##
Remplaçons les deux condensateurs en parallèle `C_0 ` et `C` par un seul condensateur équivalent de capacité : ##C//C0=C_0+C ##
## Q_{C}=Q_{C//C0} \implies Ce_{v_{C1}}=(C_0+C) e_{v_{C2}}\implies## ##
e_{v_{C2}}=\dfrac{C}{C+C_0} e_{v_{C1}}\implies##
##e_{v_{C0}}=e_{v_{C2}}=Ke_{v_{C1}} ##
## \begin{cases} e_{v_{C1} }+e_{v_{C2} }=±e_0\\
e_{v_{C0}}=e_{v_{C2}}=Ke_{v_{C1}} \end{cases} \implies## ##
\begin{cases}
e_{v_{C1} }+Ke_{v_{C1}} =±e_0\\ e_{v_{C0}}=e_{v_{C2}}=Ke_{v_{C1}}
\end{cases} \implies \begin{cases} e_{v_{C1} } =±\dfrac{e_0}{1+K}\\
e_{v_{C0}}=e_{v_{C2}}=Ke_{v_{C1}} \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} e_{v_{C1} } =±\dfrac{1}{1+K}e_0\\
e_{v_{C0}}=e_{v_{C2}}=±\dfrac{K}{1+K}e_0 \end{cases}\implies ##
## e_{v_{C1} }-e_{v_{C2} }=±\dfrac{1-K}{1+K}e_0 ##
Différentes expressions du coefficient de couplage K
En fonction des tensions moyennes
-
##e_{v_{C0}}=e_{v_{C2}}=Ke_{v_{C1}}\implies##
## K=\dfrac{e_{v_{C2}}}{e_{v_{C1}}}=\dfrac{e_{v_{C0}}}{e_{v_{C1}}} ##
-
## \begin{cases} e_{v_{C1}-v_{C2} }=±e_0\\ e_{v_{C0} }=
±\dfrac{K}{1+K}e_0 \end{cases} \implies## ##
\dfrac{K}{1+K}=\dfrac{e_{v_{C0} }}{e_{v_{C1} -v_{C2} }} \implies
##
## K=\dfrac{e_{v_{C0} }}{e_{v_{C1} -v_{C2} }-e_{v_{C0} }} ##
En fonction des fréquences ou périodes
-
Modes propres
Du graphe ##v_{C1}(t) +v_{C2}(t)## (mode 1) ##\implies T_1≅T_{a1}⇒F_1≅\dfrac{1}{T_{a1}} ##
Du graphe ##v_{C0}(t)## (mode 2) ##\implies T_2≅T_{a2}⇒F_2≅\dfrac{1}{T_{a2}} ##
On a : ## \begin{cases} F_1 =\dfrac{\omega_0}{2\pi}\\ F_2=\dfrac{\omega_0}{2\pi}\sqrt{\dfrac{1-K}{1+K}} \end{cases} \implies ## ##\dfrac{F_2^2}{F_1^2}=\dfrac{1-K}{1+K} \implies## ## \dfrac{F_2^2}{F_1^2}{(1+K)}={1-K} \implies## ## K=\dfrac{\dfrac{F_2^2}{F_1^2}-1}{\dfrac{F_2^2}{F_1^2}+1} \implies #### K=\dfrac{F_2^2-F_1^2}{{F_2^2+F_1^2}}≅## ##\dfrac{T_{a1}^2-T_{a2}^2}{{T_{a1}^2+T_{a2}^2}} ## -
Battement
Du graphe ##v_{C1}(t)## ou ##v_{C2}(t)## (battement) ##\implies T_M ## et ##T_0##
On a : ## \begin{cases} F_M=\dfrac{1}{T_M}\\ F_0=\dfrac{1}{T_0}\\ F_0 ≅\dfrac{F_2+F_1}{2}\\ F_M≅\dfrac{F_2-F_1}{2} \end{cases} \implies ## ##\begin{cases} F_1 ≅\dfrac{F_0-F_M}{2}\\ F_2≅\dfrac{F_0+F_M}{2} \end{cases} ##
Comme ## K=\dfrac{F_2^2-F_1^2}{{F_2^2+F_1^2}} \implies## ## K≅\dfrac{(F_0+F_M)^2-(F_0-F_M)^2}{(F_0+F_M)^2+(F_0-F_M)^2} \implies #### K≅\dfrac{2F_0F_M}{F_0^2+F_M^2} ## ou bien ## K≅\dfrac{2T_0T_M}{T_0^2+T_M^2} ##
Régime permanent
Tension harmonique d'amplitude `e_0` et de fréquence `f`
## e(t)=e_0 cos(2\pi ft) ##
Expressions de `v_{C1}` et `v_{C2}` en fonction du temps `t` en régime permanent
Etablissement des expressions
Appliquons la méthode complexe. Les solutions recherchées sont de la forme :`\bar{v}_{C1}=\bar{V}_{C1} e^{jωt}` et `\bar{v}_{C2}=\bar{V}_{C2} e^{jωt}`
Le système d'équations différentielles s'écrit alors :
$$ \begin{cases}
\ddot{\bar{v}}_{C1}+2δ\dot{\bar{v}}_{C1}+4\pi^2f_0^2
{\bar{v}}_{C1}+4\pi^2f_0^2 \dfrac{C}{C_0}
({\bar{v}}_{C1}-{\bar{v}}_{C2})=4\pi^2f_0^2 e_0 e^{jωt}\\
\ddot{\bar{v}}_{C2}+2δ\dot{\bar{v}}_{C2}+4\pi^2f_0^2
{\bar{v}}_{C2}+4\pi^2f_0^2 \dfrac{C}{C_0}
({\bar{v}}_{C2}-{\bar{v}}_{C1})=0 \end{cases} $$
Comme:##\begin{cases} \dot{\bar{v}}_{C1}=j2πf\bar{V}_{C1} e^{j2πft}
=j2πf\bar{v}_{C1}\\
\ddot{\bar{v}}_{C1}=j2πf\dot{\bar{v}}_{C1}=-4π^2 f^2\bar{v}_{C1}\\
\dot{\bar{v}}_{C2}=j2πf\bar{V}_{C2} e^{j2πft} =j2πf\bar{v}_{C2}\\
\ddot{\bar{v}}_{C2}=j2πf\dot{\bar{v}}_{C2}=-4π^2
f^2\bar{v}_{C2} \end{cases} \implies##
## \begin{cases} -4π^2
f^2\bar{v}_{C1}+4jδπf\bar{v}_{C1}+4\pi^2f_0^2
{\bar{v}}_{C1}+4\pi^2f_0^2 \dfrac{C}{C_0}
({\bar{v}}_{C1}-{\bar{v}}_{C2})=4\pi^2f_0^2 e_0 e^{jωt}\\ -4π^2
f^2\bar{v}_{C2}+4jδπf\bar{v}_{C2}+4\pi^2f_0^2
{\bar{v}}_{C2}+4\pi^2f_0^2 \dfrac{C}{C_0}
({\bar{v}}_{C2}-{\bar{v}}_{C1})=0 \end{cases} ##
Simplifions par `4π^2`:
## \begin{cases} -
f^2\bar{v}_{C1}+j\dfrac{δ}{π}f\bar{v}_{C1}+f_0^2
{\bar{v}}_{C1}+f_0^2 \dfrac{C}{C_0}
({\bar{v}}_{C1}-{\bar{v}}_{C2})=f_0^2 e_0 e^{jωt}\\ -
f^2\bar{v}_{C2}+j\dfrac{δ}{π}f\bar{v}_{C2}+f_0^2
{\bar{v}}_{C2}+f_0^2 \dfrac{C}{C_0}
({\bar{v}}_{C2}-{\bar{v}}_{C1})=0 \end{cases} ##
puis ordonnons le système d'équations algébriques : ## \begin{cases}
\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-
f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right)\bar{v}_{C1}-\dfrac{C}{C_0}f_0^2\bar{v}_{C2}=f_0^2
e_0 e^{jωt}\\
-\dfrac{C}{C_0}f_0^2\bar{v}_{C1}+\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-
f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right)\bar{v}_{C2}=0 \end{cases} ##
Utilisons la méthode de Cramer pour résoudre ce système. Le
déterminant de ce système est égal à :
##det S= \left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-
f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right)^2-\left(\dfrac{C}{C_0}f_0^2\right)^2
\implies##
## det S=\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-
f^2+j\dfrac{δ}{π}f+\dfrac{C}{C_0}f_0^2\right)
\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-
f^2+j\dfrac{δ}{π}f-\dfrac{C}{C_0}f_0^2\right) \implies## ## det
S=\left(
\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right)
\left(f_0^2- f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right) ##
## \begin{cases}
\bar{v}_{C1}=\dfrac{\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-
f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right)}{\left(
\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right)
\left(f_0^2- f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right)}f_0^2 e_0 e^{jωt}\\
\bar{v}_{C2}=\dfrac{\dfrac{C}{C_0}f_0^2}{\left(
\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right)
\left(f_0^2- f^2+j\dfrac{δ}{π}f\right)}f_0^2 e_0 e^{jωt} \end{cases}
##
Exprimons chaque complexe sous sa forme polaire :
## \left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2- f^2+j\dfrac{δ}{π}f= \sqrt{\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} e^{j\psi_n} ## où ## \psi_n=arccos\left(\dfrac{\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2}{{\sqrt{\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2\right)^2 +\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}}\right) ## et ## sin(\psi_{n})≥0##
## \left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2- f^2+j\dfrac{δ}{π}f= \sqrt{\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} e^{j\psi_n} ## où ## \psi_n=arccos\left(\dfrac{\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2}{{\sqrt{\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2\right)^2 +\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}}\right) ## et ## sin(\psi_{n})≥0##
## \left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2+j\dfrac{δ}{π}f=
\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} e^{j\psi_{d1}}##
où ##
\psi_{d1}=arccos\left(\dfrac{\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2}{{\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2
+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}}\right) ## et ##
sin(\psi_{d1})≥0##
## f_0^2-
f^2+j\dfrac{δ}{π}f=\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} e^{j\psi_{d2}}
## où ##
\psi_{d2}=arccos\left(\dfrac{f_0^2-f^2}{{\sqrt{\left(\left(f_0^2-f^2\right)\right)^2
+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}}\right) ## et ##
sin(\psi_{d2})≥0##
Exprimons `\bar{v}_{C1}` et `\bar{v}_{C2}` en utilisant ces formes polaires:
## \begin{cases}
\bar{v}_{C1}=\dfrac{\sqrt{\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} e^{j\psi_n}
}
{\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} e^{j\psi_{d1}}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} e^{j\psi_{d2}}}f_0^2
e_0 e^{jωt}\\
\bar{v}_{C2}=\dfrac{\dfrac{C}{C_0}f_0^2}{\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} e^{j\psi_{d1}}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} e^{j\psi_{d2}}}f_0^2
e_0 e^{jωt} \end{cases} \implies ##
##
\begin{cases}
\bar{v}_{C1}=\dfrac{\sqrt{\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
}
{\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}f_0^2
e_0 e^{j(ωt+\psi_n-\psi_{d1}-psi_{d2})}\\
\bar{v}_{C2}=\dfrac{\dfrac{C}{C_0}f_0^2}{\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}f_0^2
e_0 e^{j(ωt-\psi_{d1}-psi_{d2})} \end{cases}##
Posons: ##\phi_1=\psi_n-\psi_{d1}-\psi_{d2}## et ##\phi_2=-\psi_{d1}-\psi_{d2}## et déterminons les expressions réelles de ces ceux tensions :
## \begin{cases}
{v}_{C1}=\dfrac{\sqrt{\left(\left(1+\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
}
{\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}f_0^2
e_0 cos\left(ωt+\phi_1\right)\\
{v}_{C2}=\dfrac{\dfrac{C}{C_0}f_0^2}{\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{C}{C_0}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}f_0^2
e_0 cos\left(ωt+\phi_2\right) \end{cases}##
Introduisons le
coefficient de couplage : ##K=\dfrac{C}{C+C_0} \implies## ##
\dfrac{C}{C_0}=\dfrac{K}{1-K} ##
## \begin{cases}
{v}_{C1}=\dfrac{\sqrt{\left(\left(1+\dfrac{K}{1-K}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
}
{\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{K}{1-K}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}f_0^2
e_0 cos\left(ωt+\phi_1\right)\\
{v}_{C2}=\dfrac{\dfrac{K}{1-K}f_0^2}{\sqrt{\left(\left(1+2\dfrac{K}{1-K}\right)f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}f_0^2
e_0 cos\left(ωt+\phi2\right) \end{cases} ##
Si on mesure `e_1` et `e_2` on peut calculer `K` et `e_0` :
## \begin{cases} e_1≅\dfrac{1}{1+K} e_0 \\ e_2=\dfrac{K}{1+K} e_0 \end{cases} \implies ##
Identification:
Lorsque ##0≤K\lt 1 \implies e_1>e_2##, par conséquent, la courbe d'amplitude dont la valeur de l'ordonnée à l'origine est la plus élevée correspond à l'amplitude de la tension `v_{C1}`.
Pour le cas particulier `K=1` (c'est à dire `C_0= 0 F`), les deux courbes sont identiques.
Les résonances charges se produisent exactement aux fréquencess propres, `F_1` et `F_2`, du circuit électrique avec des amplitudes infinies :
##\begin{cases}
{v}_{C1}=\dfrac{\sqrt{\left(\dfrac{1}{1-K}f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
f_0^2 }
{\sqrt{\left(\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}} e_0
cos\left(ωt+\phi_1\right)\\
{v}_{C2}=\dfrac{\dfrac{1}{1-K}f_0^4}{\sqrt{\left(\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}} e_0
cos\left(ωt+\phi_2\right) \end{cases} ##
où
##
\phi_1=arccos\left(\dfrac{\dfrac{1}{1-K}f_0^2-f^2}{{\sqrt{\left(\dfrac{1}{1-K}f_0^2\right)^2
+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}}\right)##
##-arccos\left(\dfrac{\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2}{{\sqrt{\left(\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2\right)^2
+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}}\right)##
##-arccos\left(\dfrac{f_0^2-f^2}{\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2
+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}\right) ##
et
et
##
\phi_2=-arccos\left(\dfrac{\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2}{{\sqrt{\left(\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2\right)^2
+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}}\right)## ##
-arccos\left(\dfrac{f_0^2-f^2}{\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2
+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}}\right) ##
Les deux tensions `v_{C1}`
et `v_{C2}` sont des vibrations harmoniques de fréquence `f`; leurs
amplitudes et phases sont fonctions de `f`.
Expressions et graphes des amplitudes `V_{C1}` et `V_{C2}` des tensions `v_{C1}` et `v_{C2}` en fonction de la fréquence `f` et paramètres mesurables
Amplitude `V_{C1}(f)`
$$
{V}_{C1}(f)=\dfrac{\sqrt{\left(\dfrac{1}{1-K}f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2} f_0^2
}
{\sqrt{\left(\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}} e_0
$$
Amplitude `V_{C2}(f)`
$$
{V}_{C2}=\dfrac{\dfrac{1}{1-K}f_0^4}{\sqrt{\left(\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2\right)^2+
\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}
\sqrt{\left(f_0^2-f^2\right)^2+\left(\dfrac{δ}{π}f\right)^2}} e_0
$$
Différentes expressions de `K` et `e_0` et identification des courbes d'amplitude
En fonction des tensions
Etablissement des formules
Dans le cas des amortissements faibles, les valeurs des amplitudes des tensions lorsque la fréquence est voisine de la valeur nulle, qu'on notera par `e_1` et `e_2`, sont environs égales à :
## \begin{cases} {V}_{C1}(0)=e_1≅\dfrac{\dfrac{1}{1-K}f_0^2}
{\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2 f_0^2} f_0^2 e_0 \\
{V}_{C2}(0)=e_2≅\dfrac{\dfrac{K}{1-K}f_0^2} {\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2
f_0^2} f_0^2 e_0 \end{cases} \implies##
## \begin{cases}
e_1≅\dfrac{\dfrac{1}{1-K}} {\dfrac{1+K}{1-K}} e_0 \\
e_2=\dfrac{\dfrac{K}{1-K}} {\dfrac{1+K}{1-K}} e_0 \end{cases}
\implies ##
##\begin{cases} e_1≅\dfrac{1}{1+K} e_0 \\
e_2=\dfrac{K}{1+K} e_0 \end{cases} ##
Si on mesure `e_1` et `e_2` on peut calculer `K` et `e_0` :
## \begin{cases} e_1≅\dfrac{1}{1+K} e_0 \\ e_2=\dfrac{K}{1+K} e_0 \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} K≅\dfrac{e_2}{e_1} \\ e_0≅e_1+e_2 \end{cases} ##
Identification:
Lorsque ##0≤K\lt 1 \implies e_1>e_2##, par conséquent, la courbe d'amplitude dont la valeur de l'ordonnée à l'origine est la plus élevée correspond à l'amplitude de la tension `v_{C1}`.
Pour le cas particulier `K=1` (c'est à dire `C_0= 0 F`), les deux courbes sont identiques.
En fonction des fréquences
Etablissement des formules
Dans le cas idéal, `δ=0 s^{-1}`, les expressions des amplitudes `V_{C1}` et `V_{C2}` se simplifient :
$$ \begin{cases}
{V}_{C1}=\dfrac{\left\lvert\dfrac{1}{1-K}f_0^2-f^2\right\rvert}
{\left\lvert\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2\right\rvert \left\lvert
f_0^2-f^2\right\rvert}f_0^2 e_0 \\
{V}_{C2}=\dfrac{\dfrac{1}{1-K}f_0^2}{\left\lvert\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2\right\rvert
\left\lvert f_0^2-f^2\right\rvert}f_0^2 e_0 \end{cases} $$
Les résonances charges se produisent exactement aux fréquencess propres, `F_1` et `F_2`, du circuit électrique avec des amplitudes infinies :
## \left\lvert\dfrac{1+K}{1-K}f_0^2-f^2\right\rvert
\left\lvert f_0^2-f^2\right\rvert=0 \implies## ## \begin{cases}
F_{1}=f_0\\ F_{2}=\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}f_0 \end{cases} ##
et l'antirésonance, `v_{C1}(t)=0 V ∀t`, se produit à la fréquence :
Dans le cas où l'amortissement est faible, les fréquences de résonance charge sont pratiquement égales aux fréquences propres du circuit électrique avec des amplitudes finies et le minimum de `v_{C1}` se produit à une fréquence pratiquement égale à la fréquence antirésonance.
et l'antirésonance, `v_{C1}(t)=0 V ∀t`, se produit à la fréquence :
$$ \left\lvert\dfrac{1}{1-K}f_0^2-f^2\right\rvert=0 \implies
F_{anti}=\sqrt{\dfrac{1}{1-K}}f_0 $$
Dans le cas où l'amortissement est faible, les fréquences de résonance charge sont pratiquement égales aux fréquences propres du circuit électrique avec des amplitudes finies et le minimum de `v_{C1}` se produit à une fréquence pratiquement égale à la fréquence antirésonance.
## \begin{cases} f_{R1}≅F_1\\ f_{R2}≅F_2=F_1
\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}\\ f_{min}≅F_{anti}=F_1
\sqrt{\dfrac{1}{1-K}} \end{cases} \implies## ## \begin{cases}
f_{R1}≅\dfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\\ f_{R2}≅f_{R1}
\sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}\\ f_{min}≅f_{R1} \sqrt{\dfrac{1}{1-K}}
\end{cases} ##
On relie à l'aide de 3 fils électriques les points `A`, `D` et `M` du circuit aux entrées `CH2`, `CH1` et `GND` de l'oscilloscope respectivement. On inverse l'entrée `CH2` et on additionne les deux signaux de l'entrée `CH1` et l'entrée inversée `-CH2` à l'aide du sélecteur `ADD` de l'oscilloscope. Les deux calibres des entrées `CH1` et `CH2` doivent être impérativement positionnés à la même valeur.
Entrée inversée `-CH2`: `-(v_A (t)-v_M (t))`
Entrée `CH1`: `v_D (t)-v_M (t)`
L'addition de ces deux signaux est égale à :
`v_D (t)-v_M (t)-(v_A (t)-v_M (t))=v_D (t)-v_A (t)=v_{C0} (t)`.
Le signal observé est donc la tension aux bornes du condensateur de couplage `C_0`.
Explicitons `v_{C0} (t)` :
##v_{C0} (t)=\dfrac{1}{C_0} (q_2-q_1 )=\dfrac{C}{C_0} (v_{C1}-v_{C2} )## Or ## \dfrac{C}{C_0} =\dfrac{K}{1-K}\implies## ## v_{C0} (t)=\dfrac{K}{1-K} (v_{C1}-v_{C2} )##
` v_{C0} (t)` est proportionnelle à `(v_{C1}-v_{C2} )`, par conséquent on observe sur l'écran un signal proportionnel à celui du mode propre 2.
Si on mesure `f_{R1}`, `f_{R2}` et `f_{min}`, on peut calculer `K` de
2 manières différentes :
## \begin{cases} f_{R1}≅\dfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\\ f_{R2}≅f_{R1} \sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}\\ f_{min}≅f_{R1} \sqrt{\dfrac{1}{1-K}} \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} f_{R1}≅\dfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\\ f_{R2}≅f_{R1} \sqrt{\dfrac{1+K}{1-K}}\\ f_{min}≅f_{R1} \sqrt{\dfrac{1}{1-K}} \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} f_{R1}≅\dfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\\
K≅\sqrt{\dfrac{f_{R2}^2-f_{R1}^2}{f_{R2}^2+f_{R1}^2 }}\\
K≅1-\left(\dfrac{f_{R1}}{f_{min} }\right)^2 \end{cases} ##
Branchement de l'oscilloscope pour visualiser les différentes tensions
Choix de l'oscilloscope
On doit choisir un oscilloscope à deux entrées CH1 et CH2 dont l'une est inverseuse. Cette oscilloscope doit posséder la fonction ADD permettant de visualiser sur l'écran l'addition des deux signaux introduits dans les deux entrées `CH1 + CH2` ou bien `CH1 - CH2` si `CH2` est inversée .
Tension propre `v_1 (t)`
Tension propre `v_2 (t)`
On relie à l'aide de 3 fils électriques les points `A`, `D` et `M` du circuit aux entrées `CH2`, `CH1` et `GND` de l'oscilloscope respectivement. On inverse l'entrée `CH2` et on additionne les deux signaux de l'entrée `CH1` et l'entrée inversée `-CH2` à l'aide du sélecteur `ADD` de l'oscilloscope. Les deux calibres des entrées `CH1` et `CH2` doivent être impérativement positionnés à la même valeur.
Entrée inversée `-CH2`: `-(v_A (t)-v_M (t))`
Entrée `CH1`: `v_D (t)-v_M (t)`
L'addition de ces deux signaux est égale à :
`v_D (t)-v_M (t)-(v_A (t)-v_M (t))=v_D (t)-v_A (t)=v_{C0} (t)`.
Le signal observé est donc la tension aux bornes du condensateur de couplage `C_0`.
Explicitons `v_{C0} (t)` :
##v_{C0} (t)=\dfrac{1}{C_0} (q_2-q_1 )=\dfrac{C}{C_0} (v_{C1}-v_{C2} )## Or ## \dfrac{C}{C_0} =\dfrac{K}{1-K}\implies## ## v_{C0} (t)=\dfrac{K}{1-K} (v_{C1}-v_{C2} )##
` v_{C0} (t)` est proportionnelle à `(v_{C1}-v_{C2} )`, par conséquent on observe sur l'écran un signal proportionnel à celui du mode propre 2.
Tension `v_{C1} (t)`
$$v_A (t)-v_M (t)=v_{C1} (t)$$
Tension ` v_{C2} (t)`
$$v_B (t)-v_M (t)-(v_A (t)-v_M (t))=v_B (t)-v_A (t)=v_{C2} (t)$$