Circuit électrique RLC série oscillant
- Générateur Basses Fréquences de tension à vide `e(t) (V)` et de fréquence `f (Hz) `, et de résistance interne `r_{g} (Ω)` notée aussi `r`.
- `R_P` : Résistance résiduelle ou parasite due au fils de connexion, des contacts… `(Ω)`.
- `r_L` : Résistance de la self `(Ω)`.
- `R_V` : Résistance variable (boite à décade) `(Ω)`
- `L` : inductance da self (bobine) `(H)`
- `C` : capacité du condensateur `(F)`
- `v_C (t)` : tension instantanée aux bornes du condensateur
- `q(t)` : charge instantanée emmagasinée dans le condensateur
- `i(t)` : courant électrique circulant dans le circuit électrique
Relations entre charges, courants et tensions électriques
-
Courant-charge :
##i (t)=\dfrac{dq (t)}{dt}## ou ##q (t)=\int{i (t)dt} ##
-
Tension-charge :
##v_{C} (t)=\dfrac{q (t)}{C} ## ou ##q(t)=Cv_{C}(t)##
-
Courant-tension :
##i (t)=C \dfrac{dv_{C}(t)} {dt}## ou ##v_{C}(t)=\dfrac{1}{C}\int{i(t)dt}##
Equation différentielle en tension
##\ddot{v}_{C} +2δ\dot{v}_{C} +ω_0^2 v_{C} = ω_0^2 e(t)
## où ## δ=\dfrac{R}{2L} ω_0^2=\dfrac{1}{LC}
##
Afficher/Cacher l'établissement de l'équation différentielle en tension
D'après la loi des mailles, on a:
$$ L\dfrac{di}{dt}+R i+\dfrac{1}{C} \int{idt}= e(t) $$ En utilisant la relation tension-courant ## \left(i=C \dfrac{dv_{C}} {dt}\right)##, on exprime l'équation différentielle en tension:
##LC\ddot{v}_{C} +RC\dot{v}_{C} + v_{C} = e(t) \implies## ## \ddot{v}_{C} +2\dfrac{R}{2L}\dot{v}_{C} +\dfrac{1}{LC} v_{C} = \dfrac{1}{LC}e(t)\implies## ##\ddot{v}_{C} +2δ\dot{v}_{C} +ω_0^2 v_{C} = ω_0^2 e(t)## où ##δ=\dfrac{R}{2L} ω_0^2=\dfrac{1}{LC} ##
Caractéristiques de l'oscillateur électrique
Coefficient d'amortissement :
##δ=\dfrac{R_T}{2L} ##
Pulsation propre :
## ω_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} ##
##\implies##
Fréquence propre
## f_0=\dfrac 1{2\pi}\dfrac{1}{\sqrt{LC}} ##
##\implies##
Période propre
## T_0=2\pi{\sqrt{LC}} ##
Pseudo-pulsation :
## ω_a=\sqrt{ω_0^2-\delta^2} ##
##\implies##
Pseudo-fréquence
## f_a=\sqrt{f_0^2-\left(\dfrac{\delta}{2\pi}\right)^2} ##
##\implies##
Pseudopériode
##T_a=\dfrac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\delta^2} } ## ou bien
##T_a=\dfrac{1}{\sqrt{f_0^2-\left(\dfrac{\delta}{2\pi}\right)^2} }##
Régime transitoire
Tension carrée d'amplitude `e_0` et de fréquence `f`
## e(t)= \begin{cases} +e_0 0≤ t≤\dfrac{T}{2}\\ -e_0
\dfrac{T}{2}≤ t≤T \end{cases} ## où
`T (=\frac{1}{f})` est la période.
Pour simplifier l'écriture de l'expression de la tension carrée, on la notera par `± e_0 `.
Equation différentielle en tension
## \ddot{v}_{C} +2δ\dot{v}_{C} +ω_0^2 v_{C} =± ω_0^2 e_0
où δ=\dfrac{R}{2L} ω_0^2=\dfrac{1}{LC} ##
Expressions et graphe de la tension instantanée du condensateur ##v_C(t)##
-
Amortissement fort ## δ>2πf_0 ## :
## v_C (t)=\begin{cases} V_{11}e^{\left(-δ-\sqrt{δ^2-4\pi^2f_0^2}\right)t}+V_{12}e^{\left(-δ+\sqrt{δ^2-4\pi^2f_0^2}\right)t}+e_0 0≤ t≤\dfrac{T}{2}\\ V_{21}e^{\left(-δ-\sqrt{δ^2-4\pi^2f_0^2}\right)t}+V_{22}e^{\left(-δ+\sqrt{δ^2-4\pi^2f_0^2}\right)t}-e_0 \dfrac{T}{2}≤ t≤T \end{cases} ##
-
Amortissement critique ##δ_{c}=2πf_0 ## :
## v_C (t)= \begin{cases} (V_1+V_1^\prime t)e^{-δt}+e_0 0≤ t≤\dfrac{T}{2}\\ (V_2+V_2^\prime t)e^{-δt}-e_0 \dfrac{T}{2}≤ t≤T \end{cases} ##
-
Amortissement faible ##δ_{c} <{2πf_0} ##
:
## v_C (t)= \begin{cases} V_1e^{-δt}cos(2\pi f_at +\phi_1)+e_0 0≤ t≤\dfrac{T}{2}\\ V_2e^{-δt}cos(2\pi f_at +\phi_2)-e_0 \dfrac{T}{2}≤ t≤T \end{cases} ## où ##f_a=\sqrt{f_0^2-\left(\dfrac{δ}{2\pi}\right)^2}## est la pseudo-pulsation
Paramètres mesurables à partir du graphe ` v_C (t)`
Amortissement critique ##\dfrac{δ_c}{2πf_0}=1 ##
On détermine par mesure expérimentale la plus petite valeur de la résistance variable `R_V` qu'on note `R_{VCrit}`, pour laquelle la tension du condensateur observées sur l'écran de l'oscilloscopes, n'est plus oscillatoire.Amortissement faible ##\dfrac{δ_c}{2πf_0}<1 ##
Les mesures expérimentales permettent de calculer la pseudopériode `T_a`, le décrément logarithmique `D` et le coefficient de qualité Q.La pseudopériode `T_a`
La valeur de `T_a` est obtenue en mesurant la durée `Δt` entre `n_1+1` pics consécutifs (soient des maximums ou soient des minimums) sur le graphe `V_C(t)`:Pseudopériode :
## T_a=\dfrac{Δt}{n_1} ##
## \implies ## Pseudo-pulsation:
## \omega_a=2\pi\dfrac{n_1}{Δt} ##
Le décrément logarithmique `D`
La valeur de `D` est obtenue en choisissant deux pics (2 maximums ou 2 minimums) séparés de `n_2 T_a` et dont le rapport de leurs écarts par rapport à la valeur moyenne d'oscillation `( e_0` ou `-e_0)`, `ΔV_{C1}` et `ΔV_{C2}`, est environ égal à 2 (dans la mesure du possible) :Décrément logarithmique: :
## D=\dfrac1{n_2} Ln\left(\dfrac{ΔV_{C1}}{ΔV_{C2} }\right) ##
Coefficient de qualité `Q`
Par définition ##Q=2π \dfrac{E(t)}{E(t)-E(t+T_a)}## où `E(t)` et `E(t+T_a)` sont les surplus d'énergie électrique emmagasinés dans le circuit aux instants `t` et `t+T_a` respectivement.Expression exacte dans le cas des faibles amortissements ##\left(\dfrac{δ}{2πf_0}<1\right)##:
## Q=2π \dfrac{1}{1-e^{-2δT_a }}## ou bien ## Q=2π
\dfrac{1}{1-e^{-2D}}##
Expression approchée dans le cas des très faibles amortissements ##\left(\dfrac{δ}{2πf_0}<<1 \right)## :
$$Q≅\dfrac{2π}{2δT_a}=\dfrac{π}{D}=\dfrac{ω_a}{2δ}$$
Afficher/Cacher l'établissement de l'expression approchée
Développons l'exponentielle au voisinage de zéro.
## Q=2π \dfrac{1}{1-exp\left(-2D\right)} \implies## ## Q≅2π
\dfrac{1}{1-\left(1-2D\right)} \implies## ## Q≅2π \dfrac{1}{2D}
\implies Q≅\dfrac{π}{D} ##
Calculons l'erreur relative commise lorsque l'expression approchée est utilisée.
##\dfrac{\Delta D}{D}= \dfrac{
\dfrac{2π}{1-exp\left(-2 D\right)}- \dfrac{π}{ D}}{
\dfrac{2π}{1-exp\left(-2 D\right)}} \implies## ## \dfrac{\Delta
D}{D}{=}1-\dfrac{1-exp\left(-2D\right)}{2D} ##
Déterminons l'expression de ##\left(\dfrac{2\pi f_0}{\delta}\right)## en fonction de `D`.
## D=δT_a\implies ##
## D=δ\dfrac{2\pi}{\sqrt{\left(2\pi f_0\right)^2-\delta^2}}\implies##
##D=δ\dfrac{2\pi}{\delta\sqrt{\left(\dfrac{2\pi
f_0}{\delta}\right)^2-1}} \implies##
##D=\dfrac{2\pi}{\sqrt{\left(\dfrac{2\pi
f_0}{\delta}\right)^2-1}}\implies##
##D^2=\dfrac{4{\pi}^2}{\left(\dfrac{2\pi
f_0}{\delta}\right)^2-1}\implies##
## D^2\left(\left(\dfrac{2\pi
f_0}{\delta}\right)^2-1\right)=4{\pi}^2\implies ##
##D^2
\left(\dfrac{2\pi f_0}{\delta}\right)^2=4{\pi}^2+D^2\implies##
##
\left(\dfrac{2\pi
f_0}{\delta}\right)^2=\dfrac{4{\pi}^2+D^2}{D^2}\implies ##
##
\dfrac{\delta}{2\pi f_0}=\dfrac{D}{\sqrt{4{\pi}^2+D^2}} ##
Selon l'erreur relative tolérée, on détermine les intervalles de `D` et ## \left(\dfrac{2\pi f_0}{\delta}\right) ## par des méthodes numériques itératives (Newton).
$$ 0\%<\dfrac{\Delta
D}{D}{<}1\%\implies 0{<}D{<}0,0101 ou
0{<}\left(\dfrac{2\pi
f_0}{\delta}\right){<}0,00160 \\
0\%<\dfrac{\Delta
D}{D}{<}5\%\implies 0{<}D{<}0,0518 ou
0{<}\left(\dfrac{2\pi
f_0}{\delta}\right){<}0,00823 \\
0\%<\dfrac{\Delta
D}{D}{<}10\%\implies 0{<}D{<}0,107 ou
0{<}\left(\dfrac{2\pi
f_0}{\delta}\right){<}0,0171
$$
Exemple
Exemple : les valeurs permettant de calculer `T_a` et de `D` sont reportées sur le graphe.
Calculons les valeurs de `δ` et `ω_0^2` de cet exemple :
Comme:
## \begin {cases} D=δT_a \\ ω_a^2=ω_0^2-δ^2 \\
ω_a=\dfrac{2π}{T_a} \end {cases} \implies## ## \begin {cases} δ=\dfrac
D{T_a} \\ ω_0^2=\dfrac{4π^2+D^2}{T_a^2} \end {cases} \implies## ## \begin
{cases} δ=\dfrac {1,04}{1,05\times 10^{-3}}=990 s^{-1} \\
ω_0^2=\dfrac{4π^2+1,04^2}{(1,05\times10^{-3})^2}= 36 790 132
rd^2/s^2 \end {cases} \implies## ## \begin {cases} δ=990 s^{-1} \\ ω_0=
6065 rd/s \end {cases} ##
L'amortissement est faible puisque ##\left(\dfrac{δ}{ω_0}=0,15 <1 \right)##. Comme Il n'est pas très faible, on utilisera l'expression exacte pour calculer le coefficient de qualité :
## Q=2π \dfrac{1}{1-e^{-2D }}\implies## ## Q=2π \dfrac{1}{1-e^{-2\times
1,04 }}\implies## ## Q=1,15 ##
Régime permanent
Tension harmonique d'amplitude `e_0` et de fréquence `f` : `e(t)=e_0cos(2\pift)`
Equation différentielle en tension
## \ddot{v}_{C} +2δ\dot{v}_{C} +ω_0^2 v_{C} = ω_0^2 e_0
cos(ω t) où ## ## δ=\dfrac{R_T}{2L}
ω_0^2=\dfrac{1}{LC} ##
Tension instantanée du condensateur `v_C (t)`
##v_C(t)=V_C (f)cos(2πft+ϕ(f))##
La tension `v_C (t)` est une oscillation électrique harmonique de fréquence `f` dont l'amplitude `V_C(f)` et la phase à l'origine `phi (f)` sont fonction de `f`.
Amplitude ## V_C (f)## de la tension `v_C (t)`
Expression et graphe de ##V_C (f)##
##V_C (f)=\dfrac{ f_0^2}{\sqrt{(f_0^2-f^2
)^2+4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2f^2 }}e_0##
Gandeurs mesurables à partir du graphe de l'amplitude ` V_C (f)` dans le cas où `δ\lt\frac{2πf_0}{\sqrt2}`
- Fréquence de résonance : `f_R`
- Fréquences de coupure :`f_{c1}` , `f_{c2}`
- Tension à la résonance : `V_{C max}`
- Tension à la fréquence nulle : `e_0`
Expressions des Gandeurs mesurables en fonction de `f_{0}` et `\delta` dans le cas où `δ<\frac{2πf_0}{\sqrt2}`
-
Valeur à l'origine :
`V_C (0 )=e_0`
-
Valeur à l'infini :
##V_C (+\infty )=0 V##
-
Fréquence de résonance `f_R` :
## f_R=\sqrt{f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}##
Afficher/Cacher l'établissement de la fréquence de résonance
## \dfrac{dV_C}{df}=0\implies## ##\dfrac{d}{df}\left(\dfrac{f_0^2}{\sqrt{(f_0^2-f^2 )^2+4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2f^2 }}e_0\right)=0 \implies## ##\dfrac{d}{df}\left((f_0^2-f^2 )^2+4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2f^2 \right)^{-\dfrac{1}{2}}=0\implies## ##-\dfrac{1}{2}((-4f)(f_0^2-f^2 )+8\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2f)=0 \implies## ##f(-f_0^2+f^2+2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2)=0\implies## ##\begin{cases} f=0 Hz (minimum)\\ f=\sqrt{f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2} (maximum) \end{cases} \implies ## ## f_R=\sqrt{f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}##
-
Amplitude maximale :
##V_{C max}=V_C (f_R)= \dfrac{f_0^2 }{2\left(\dfrac{δ}{2π}\right) \sqrt{f_0^2- \left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 }}e_0\left(= \dfrac{ f_0^2}{2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)f_a }e_0 \right)##
-
Fréquences de coupure: `V_C (f_{c1}` ou `f_{c2})`
`=\frac{V_{C max}}{\sqrt2}`:
##\begin{cases} f_{c1}=\sqrt{f_R^2- 2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}}\\ f_{c2}=\sqrt{f_R^2+2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}} \end{cases}## ou bien ##\begin{cases} f_{c1}=f_R\sqrt{1- 2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2}}\\ f_{c2}=f_R\sqrt{1+ 2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2}} \end{cases}##
Afficher/Cacher l'établissement des fréquences de coupure
## V_C (f_{c1} ou f_{c2}) =\dfrac{V_{C max}}{\sqrt2}\implies## ## \dfrac{e_0 f_0^2}{\sqrt{(f_0^2-f^2 )^2+4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2f^2 }}= \dfrac{e_0 f_0^2 }{2\sqrt{2}\left(\dfrac{δ}{2π}\right) \sqrt{f_0^2- \left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 }}\implies ## ## f^4-2\left(f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \right) f^2 +f_0^4-8\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 f_0^2+8\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^4=0 ##
Déterminons le discriminant de cette équations bicarrée :
##Δ=\left(f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \right)^2 -\left(f_0^4-8\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 f_0^2+8\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^4 \right)\implies## ## Δ=4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \left(f_0^2-\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \right)## ##\implies\sqrt\Delta=2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_0^2-\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}##
Les solutions sont:
## \begin{cases} f_{c1}^2=\left(f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \right)- 2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_0^2-\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}\\ f_{c2}^2=\left(f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \right)+2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_0^2-\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2} \end{cases}##
Comme ##f_R^2=\left(f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \right)##, on peut exprimer ces fréquences de coupure en fonction de `f_R` et `\delta`:
##\begin{cases} f_{c1}^2=f_R^2- 2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}\\ f_{c2}^2=f_R^2+2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2} \end{cases}\implies## ##\begin{cases} f_{c1}=\sqrt{f_R^2- 2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}}\\ f_{c2}=\sqrt{f_R^2+2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}} \end{cases}## ou bien ##\begin{cases} f_{c1}=f_R\sqrt{1- 2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2}}\\ f_{c2}=f_R\sqrt{1+ 2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2}} \end{cases}##
Expression exacte de δ en fonction des grandeurs mesurables `f_R`, `f_{c1}` et `f_{c2}`
##δ=2π\sqrt{\dfrac{-f_R^2+\sqrt{f_R^4+\left(\dfrac{f_{c2}^2-f_{c1}^2}{4}\right)^2}}{2}}##
ou bien
##δ=2πf_R\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+\left(\dfrac{f_{c2}^2-f_{c1}^2}{4f_R^2}\right)^2}}{2}}##
Afficher/Cacher l'établissement de l'expression
La soustraction et l'addition des deux équations de `f_{c1}^2` et `f_{c2}^2` (voir rubrique précédente) permettent d'écrire :
$$
\begin{cases} f_{c1}^2+f_{c2}^2=2f_R^2\\
f_{c2}^2-f_{c1}^2=4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}
\end{cases} $$
La dernière équation permet de déterminer
l'expression exacte de `\delta` en fonction de `f_R`, `f_{c1}` et
`f_{c2}`:
##f_{c2}^2-f_{c1}^2=4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}
\implies##
##
(f_{c2}^2-f_{c1}^2)^2=16\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2\left(f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2\right)
\implies##
##
\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^4+f_R^2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2-\left(\dfrac{f_{c2}^2-f_{c1}^2}{4}\right)^2=0
##
La résolution de cette denière équation bicarrée permet d'obtenir
l'expression recherchée.Expression exacte de δ en fonction des grandeurs mesurables `f_R`, `V_{C max}` et `e_0`
##δ=π\sqrt{2}f_R\sqrt{\dfrac{V_{C max}}{\sqrt{V_{C
max}^2-e_0^2}}-1}## ou bien
##δ=π\sqrt{2}f_R\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{{1-\left(\dfrac{e_0}{V_{C
max}}\right)^2}}}-1}##
Afficher/Cacher l'établissement de l'expression
On peut aussi exprimer `δ` en utilisant l'expression de `V_{C max}` :
##V_{C max}= \dfrac{e_0 f_0^2 }{2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)
\sqrt{f_0^2- \left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 }}\implies##
## V_{C
max}^2=\dfrac{e_0^2
\left(f_R^2+2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2\right)^2}
{2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2\left(f_R^2+
\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \right)}\implies ##
## \left(\dfrac{δ}{2π}\right)^4+f_R^2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2-
\dfrac{e_0^2f_R^4}{4\left(V_{C max}^2-e_0^2\right)}=0 ##
La
résolution de cette denière équation permet d'aboutir à
l'expression recherchée.Expression exacte du coefficient de qualité Q
Il est possible de calculer `Q` en remplaçant dans son expression exacte la valeur `\delta` calculée (voir les deux rubriques précedentes) : ## Q=2π \dfrac{1}{1-e^{-2δT_a }}\implies##
## Q=2π
\dfrac{1}{1-exp\left(-{\dfrac{2δ}{\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}}
}\right)}##
Expressions approchées de δ et de Q en fonction des grandeurs mesurables ` f_R` , `f_{c1}` , `f_{c2}`, `V_{C max}` et `e_0`
a) Dans le cas où ## 0,01≤ \dfrac{δ}{2πf_R} ≤0,1##
## f_0=\sqrt{f_R^2+2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 } \implies
f_0=f_R\left(1+2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\implies
f_0≅f_R\left(1+\dfrac{1}{2}2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2\right)\implies
f_0≅f_R\left(1+\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2\right)\implies
(1+0,0001)f_R≤{f_0}≤(1+0,01)f_R \implies
1,0001f_R≤{f_0}≤1,01f_R
##
##
f_a=\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 }\implies
f_a=f_R\left(1+\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\implies
f_a≅f_R\left(1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2\right)\implies
(1+0,5\times0,0001)f_R≤{f_0}≤(1+0,5\times0,01)f_R \implies
1,00005f_R≤{f_0}≤1,005f_R
##
Dans ce cas on peut confondre `f_0` et `f_a` à `f_R` avec une erreur relative `(|f_0-f_R |/f_R et |f_a-f_R |/f_R )` inférieure à 1 % :
$$ f_0= f_a= f_R $$
Expressions approchées de δ :
Pour le calcul de `δ`, on utilisera une de ses 2 expressions exactes en confondant `f_0` et `f_a` à `f_R` :
##δ=2πf_R\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+\left(\dfrac{f_{c2}^2-f_{c1}^2}{4f_R^2}\right)^2}}{2}}##
ou bien ##δ=π \dfrac{e_0}{V_{C max}}
f_R##
Expressions approchées de Q :
Pour le calcul de Q , on utilisera son expression exacte en confondant `f_0` et `f_a` à `f_R` :## Q=2π \dfrac{1}{1-e^{-\dfrac{2δ}{f_a} }}\implies## ## Q=2π \dfrac{1}{1-e^{-\dfrac{2δ}{f_R} }}\implies##
##Q=2π
\dfrac{1}{1-e^{-4π\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+\left(\dfrac{f_{c2}^2-f_{c1}^2}{4f_R}\right)^2}}{2}}}
}## ou bien ##Q=2π \dfrac{1}{1-e^{-2π
\dfrac{e_0}{V_{C max}} }}##
b) Dans le cas où ## \dfrac{δ}{2πf_R} ≤0,01##
Expressions approchées de δ :
##δ=π(f_{c2}-f_{c1})=π\Delta f## ou bien
##δ=π \dfrac{e_0}{V_{C max}} f_R##
Afficher/Cacher l'établissement de l'expression
##\begin{cases} f_{c1}=f_R\sqrt{1-
2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2}}\\
f_{c2}=f_R\sqrt{1+
2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)^2}}
\end{cases} \implies##
## \begin{cases} f_{c1}≅f_R\sqrt{1-
2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)}\\ f_{c2}≅f_R\sqrt{1+
2\left(\dfrac{δ}{2πf_R}\right)} \end{cases} \implies##
##
\begin{cases} f_{c1}≅f_R\left(1- \dfrac{δ}{2πf_R}\right)\\
f_{c2}≅f_R\left(1+\dfrac{δ}{2πf_R}\right) \end{cases}##
##\implies \Delta f=f_{c2}-f_{c1}=\dfrac{δ}{π} \implies##
##δ=π(f_{c2}-f_{c1})=π\Delta f## ou bien
##δ=π \dfrac{e_0}{V_{C max}} f_R##
Expressions approchées de Q :
##Q=\dfrac{f_R}{\Delta f}## ou bien ##
Q=\dfrac{e_0}{V_{C max}} ##
Afficher/Cacher l'établissement de l'expression
## Q=2π \dfrac{1}{1-exp\left(-{\dfrac{2δ}{f_R} }\right)}
\implies
##
##Q=2π \dfrac{1}{1-\left(1-{\dfrac{2δ}{f_R} }\right)}\implies ##
## Q=2π \dfrac{1}{\dfrac{2δ}{f_R} } \implies##
## Q=2π
\dfrac{1}{\dfrac{2π \Delta f}{f_R} } \implies##
##Q=\dfrac{f_R}{\Delta f}##
## Q=2π \dfrac{1}{1-e^{-2π \dfrac{e_0}{V_{C max}} }} \implies## ## Q=2π \dfrac{1}{1-\left(1-2π \dfrac{e_0}{V_{C max}}\right) } \implies## ## Q=2π \dfrac{1}{2π \dfrac{e_0}{V_{C max}} } \implies## ## Q=\dfrac{e_0}{V_{C max}} ##
## Q=2π \dfrac{1}{1-e^{-2π \dfrac{e_0}{V_{C max}} }} \implies## ## Q=2π \dfrac{1}{1-\left(1-2π \dfrac{e_0}{V_{C max}}\right) } \implies## ## Q=2π \dfrac{1}{2π \dfrac{e_0}{V_{C max}} } \implies## ## Q=\dfrac{e_0}{V_{C max}} ##
Phase `ϕ(f)` de la tension `v_C (t)`
Expression et graphe de la phase `ϕ(f)`
## ϕ(f)=-arccos\left (\dfrac{f_0^2-f^2}{\sqrt{(f_0^2-f^2
)^2+4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 f^2 }}\right) et
sin(ϕ(f))≤ 0 ##
Valeurs particulières du graphe de la phase `ϕ(f)`
-
Valeur à l'origine :
`ϕ(0)=-arccos(1)= 0 rd`
-
Valeur à la fréquence propre `f_0` :
`ϕ(f_0 )= -arccos(0)=-\fracπ2 rd `
-
Valeur à l'infini :
$$ \lim_{f \to +\infty} ϕ(f)=-\pi $$
Gandeurs mesurables à partir du graphe de la phase ` ϕ(f)`
-
La fréquence propre `f_0`:
##ϕ(f_0)=-\dfrac{\pi}{2}rd##
-
La fréquence `f_1`:
##ϕ(f_1)=-\dfrac{\pi}{4}rd##
-
La fréquence `f_2`:
##ϕ(f_2)=-\dfrac{3\pi}{4}rd##
Détermination graphique de δ à partir du graphe de la phase `ϕ(f)`
`δ=π(f_{2}-f_{1}) ` où `
ϕ(f_1)=-\frac{π}{4}` et `ϕ(f_2 )=-\frac{3π}{4}`
Afficher/Cacher l'établissement de l'expression de `\delta`
Fréquences particulières `f_1` et `f_2` correspondantes aux phases `-\frac{π}{4}rd` et `-\frac{3π}{4}rd` respectivement :
##
\begin{cases}
ϕ(f_1)=-\dfrac{π}{4}\\
ϕ(f_2 )=-\dfrac{3π}{4}
\end{cases}
\implies##
##
cos^2(ϕ(f_{1,2} ))=\dfrac {1}{\left(\sqrt{2}\right)^2}\implies##
##
\dfrac{(f_0^2-f_{1,2}^2)^2} {\left(\sqrt{(f_0^2-f_{1,2}^2
)^2+4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 f_{1,2}^2 }\right)^2}
=\dfrac{1}{2}\implies##
## (f_0^2-f_{1,2}^2 )^2+4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 f_{1,2}^2
=2(f_0^2-f_{1,2}^2)^2\implies##
##(f_0^2-f_{1,2}^2)^2-4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 f_{1,2}^2 =0\implies##
##\left(f_0^2-f_{1,2}^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)f_{1,2}\right)\left(f_0^2-f_{1,2}^2
+2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)f_{1,2}\right)=0 \implies##
##
\begin{cases} f_{1}^2+2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)f_{1}-f_0^2=0\\
f_{2}^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)f_{2}-f_0^2=0\\ \end{cases}
\implies##
## \begin{cases}
f_{1}=-\dfrac{δ}{2π}+\sqrt{\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2+f_0^2}\\
f_{2}=\dfrac{δ}{2π}+\sqrt{\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2+f_0^2}
\end{cases} \implies ##
##f_{2}-f_{1} =2\dfrac{δ}{2π}\implies ## ##δ=π(f_{2}-f_{1})##
Mesure du déphasage entre 2 vibrations `v_1` et `v_2` de même fréquence `f` et de phases à l'origine `ϕ_1` et `ϕ_2`: `v_1 (t)=V_1 cos(2πft+ϕ_1 )` et `v_2 (t)=V_2 cos(2πft+ϕ_2 )`
##Δϕ=ϕ_2-ϕ_1##
Décalage temporel `Δt`
##Δt=t_{2max}-t_{1max}=t_{2min}-t_{1mmin}=t_{2nul}-t_{1nul}
et 0 s≤|Δt|≤ \dfrac{T}2##
La période T est la durée séparant deux maximums ou deux minimums consécutifs ou trois valeurs nulles consécutives d'une même courbe.
Relation entre le décalage temporel `Δt` et le déphasage `Δϕ` entre deux vibrations
$$ Δϕ=ϕ_2-ϕ_1=-2πfΔt=-2π \dfrac{Δt}T
où 0 s≤|Δt|≤ \dfrac{T}2 $$
Si ##t_{2max}>t_{1max}\implies Δϕ<{0}\implies ##
la vibration `v_2` est en retard de phase par rapport à la
vibration `v_1`.
Si ##t_{2max}<{t_{1max}}\implies Δϕ<{0}\implies ## la vibration `v_2` est en avance de phase par rapport à la vibration `v_1`
Si ##t_{2max}<{t_{1max}}\implies Δϕ<{0}\implies ## la vibration `v_2` est en avance de phase par rapport à la vibration `v_1`
Déphasages Δϕ particuliers
Mesure du déphasage `Δϕ` en Travaux Pratiques
Dans le cas pratique, il est impossible de mesurer directement à l'aide d'un oscilloscope le déphasage entre la tension à vide ##e(t)=e_0 cos(2πft)## du GBF et la tension ##v_C (t)## aux bornes du condensateur. En effet lorsque le circuit est branché aux bornes du GBF, la tension délivrée par ce dernier subit une chûte de tension due au passage du courant `i(t)` à travers la résistance interne `r_g` : ##v_0 (t)=e(t)-r_g i(t)##. Ainsi on ne peut visualiser sur l'écran de l'oscilloscope que les deux courbes de `v_C (t)` et `v_0 (t)`. La tension `v_0 (t`) est une tension harmonique de même fréquence `f` que `e(t)`, déphasée par rapport à `e(t)` de `φ_0 (f)` et d'amplitude `V_0 (f)` : ##v_0 (t)=V_0 (f)cos(2πft+ ϕ_0 (f))##. Elle est reliée à `v_C (t)` par l'équation différentielle suivante :
##L \dfrac{di}{dt}+(R_T-r_g )i+v_C=v_0 (t)## or ##
i=C\dfrac{dv_C}{dt} \implies##
##LC \dfrac{d^2v_C}{dt^2}+(R_T-r_g )C \dfrac{dv_C}{dt}+v_C=v_0 (t)\implies##
##
\dfrac{d^2v_C}{dt^2}+2\left(\dfrac{R_T-r_g}{2L}\right)
\dfrac{dv_C}{dt}+\dfrac{1}{LC} v_C= \dfrac{1}{LC} v_0 (t)\implies##
##\dfrac{d^2v_C}{dt^2}+2δ \dfrac{dv_C}{dt}+ω_0^2 v_C=ω_0^2 v_0
(t)\implies## ## \dfrac{d^2v_C}{dt^2}+2δ \dfrac{dv_C}{dt}+ω_0^2 v_C=ω_0^2
V_0 (f)cos(2πft+ϕ_0 (f))## où
##δ=\dfrac{R_T-r_g}{2L}## ,
## ω_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} ## et
##f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}##
La résolution de cette équation différentielle permet d'exprimer `v_C (t)` :
##v_C (t)=\dfrac{f_0^2 V_0 (f) }{\sqrt{(f_0^2-f^2
)^2+4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 f^2 }} cos(2πft+ϕ_0 (f)+ ϕ(f))##
où
##ϕ(f)=-arccos\left(\dfrac{f_0^2-f^2}{\sqrt{(f_0^2-f^2
)^2+4\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 f^2 }}\right)## et
##sin(ϕ(f))≤0##
Le déphasage entre ces deux tensions, `v_C (t)` et `v_0 (t)`, est alors égal à `ϕ(f)`:
##Δϕ(f)=ϕ_0 (f)+ ϕ(f)-ϕ_0 (f)## ##⟹##
##Δϕ(f)=ϕ(f)##